2023届河北省高三上学期10月阶段性检测（一）数学试题含解析

2023届河北省高三上学期10月阶段性检测（一）数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】分别求出集合A中函数的定义域和集合B中函数的值域，再求两个集合的交集.

【详解】根据题意可得：，，

所以，

故选：C.

2．已知复数z满足，复数复数z的共轭复数，则复数的虚部为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用复数的运算及基本概念求解即可.

【详解】解：根据题意，.

所以，复数的虚部为.

故选：B.

3．已知，，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用题目中涉及的指数函数、对数函数、幂函数和正弦函数的单调性比较大小.

【详解】，∴，

函数是减函数，函数在定义域内是增函数，函数在定义域内是增函数，

∴，，

∴，

故选：C.

4．降水量（precipitation[amount]）：从天空降落到地面上的液态或固态（经融化后）水，未经蒸发､渗透､流失，而在水平面上积聚的深度.降水量以mm为单位，气象观测中一般取一位小数，现某地10分钟的降雨量为，小王在此地此时间段内用口径为的圆柱型量筒收集的雨水体积约为（    ）（其中）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】利用圆柱体积公式求解即可.

【详解】解：根据题意，口径为的圆柱型量筒的半径为，

故体积.

故选：D.

5．在中，满足，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据给定条件，利用平面向量的线性运算逐项判断作答.

【详解】在中，满足，，

，B不正确；

，，A不正确；

，C正确；

，，，D不正确.

故选：C

6．已知函数的大致图像如图所示，将函数的图像向右平移后得到函数的图像，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据图象先求得A和，得到，再将代入求得，再利用平移变换得到即可.

【详解】解：依题意，，，故，

故，故，

将代入可知，，

解得，故，

故，

则.

故选：A.

7．现有三名学生与两名教师随机地排一排照相，则每名学生都至少与一名教师相邻的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据排列求出每名学生都至少与一名教师相邻的排法种数 ，再由古典概型求解即可.

【详解】由已知三名学生不相邻○○或是如下排列○○，○○时，满足条件，

其中代表学生，○代表老师.

共有种，

故概率，

故选：D.

8．已知小于2的正数m，n满足，则的最小值（    ）

A． B． C．3 D．

【答案】B

【分析】首先设，根据在上单调递增，得到，再利用基本不等式求解即可.

【详解】根据题意，，

可得，

设函数，函数在上单调递增，

所以可得，

.

当时，取得最小值.

故选：B

二、多选题

9．已知，，则（    ）

A． B． C． D．3

【答案】AD

【分析】由条件结合两角差的正切公式求，再由二倍角公式求.

【详解】因为，又，，所以，

因为，所以，所以，

解得或3，

故选：AD.

10．若复数z在复平面对应的点为Z，则下列说法正确的有（    ）

A．若，则

B．若，则Z在复平面内的轨迹为圆

C．若，满足，则的取值范围为

D．若，则的取值范围为

【答案】ABD

【分析】根据复数和圆的知识可判断ABC，对于D，设，由可得，然后，然后将此式平方可求出答案.

【详解】对于A，若，则，，，依次循环，

所以，故A正确；

对于B，设，，则有，

可知在复平面内的轨迹为圆，故B正确；

对于C，因为复数z满足，所以点的轨迹为以为圆心，以1为半径的圆，

设，即，当此直线与圆相切时有，解得，

所以的取值范围为，故C不正确；

对于D，设，，若，则有，

令

，

则.

令，可得，

所以，于是得，故D正确.

故选：ABD

11．已知，且，则下列说法正确的是（    ）

A．的最大值为 B．的最小值为

C．的最小值为 D．的最小值为

【答案】ACD

【分析】由基本不等式判断ABC，利用平面上两点间距离公式求解判断D．

【详解】对于A，因为，且，

所以设，

当，时，即，时取等号，故A正确；

对于B，，

即的最小值为，故B不正确；

对于C，，

由B知，的最小值为，

所以的最小值为，故C正确；

对于D，因为，且，

所以由题意可得：

可视为点到点与点到点的距离之和，

所以最小值为点到点的距离，即为，故D正确.

故选：ACD．

12．如图所示，已知几何体由两个棱长为1的正方体堆叠而成，G为的中点，则下述选项正确的是（    ）

A．平面平面

B．三棱锥的体积为

C．平面与平面夹角的正弦值为

D．若P为空间一动点，且，则P点运动轨迹与该几何体表面相交的长度为

【答案】AD

【分析】对于A，由面面垂直的判定定理判断，对于B，根据题意由求解，对于C，如图建立空间直角坐标系求解，对于D，如图可知轨迹与几何体表面所交部分为6个半径为1的圆.

【详解】对于A，连接，因为平面，平面，所以，因为，∥，所以，因为，平面，所以平面，则A正确；

对于B，，所以B错误；

对于C，如图以为原点，以所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，则，

所以,

设平面的法向量为，则

，令，则

设平面的法向量为，则

，令，则，

设平面与平面夹角为，由图可知为锐角，

所以，

所以，所以平面与平面夹角的正弦值为，所以C错误；

对于D，由如图可知轨迹与几何体表面所交部分为6个半径为1的圆，则长度为，所以D正确.

故选：AD.

三、填空题

13．已知平面向量，满足，，与的夹角为，则___________.

【答案】6

【分析】根据给定条件，利用向量数量积的性质及运算律求解作答.

【详解】因，，与的夹角为，则，

所以.

故答案为：6

14．已知中，，，，则的外接圆面积为___________.

【答案】

【分析】利用余弦定理求解边长，再利用正弦定理求解外接圆半径，即可得外接圆面积.

【详解】解：根据题意，由余弦定理可得

，

该的外接圆的半径为r，

则由正弦定理得：.

故答案为：.

15．定义在R上的函数单调递减，且满足，对于任意的，满足恒成立，则的最大值为___________.

【答案】

【分析】利用函数的对称性、单调性建立不等式，再利用辅助角公式、基本不等式求解.

【详解】根据题意，可得函数关于中心对称，

所以可得，又，

所以，所以，

根据函数单调性可得，即，（其中），

所以，所以，当且仅当时取等号.

故答案为：.

16．在一个密闭的箱子中，一共有20个大小､质量､体积等完全相同的20个小球，其中有n个黄球，其余全为蓝球，从这一个密闭的箱子中一次性任取5个小球，将“恰好含有两个黄球”的概率记为，则当___________时，取得最大值.

【答案】8

【分析】由题意：，当最大时取得最大值时，设，当时，，当，，所以最大，因此，当时，取得最大值.

【详解】根据题意：，取得最大值，

也即是取最大，所以，设，

则

当时，，当，，

所以最大，因此，当时，取得最大值.

故答案为：8

四、解答题

17．设向量，，函数.

(1)求的最小正周期及其图像的对称中心；

(2)若，求函数的值域.

【答案】(1)最小正周期为，对称中心为

(2)

【分析】（1）先将函数化简为的形式，再根据三角函数性质求解；

（2）由x的范围，求得的范围，再得到的值域.

【详解】(1)因为

即，所以的最小正周期为.

令，解得，

所以函数的对称中心为.

(2)因为，即设，

根据图像分析可得：，

所以函数的值域为.

18．已知四棱锥中，，为面积为的等边三角形，，.

(1)证明：平面平面；

(2)若E为线段的中点，求直线与平面所成角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）取的中点E，连接､，易证，，从而得到平面，再根据面面垂直的判定即可得到平面平面.

（2）以E为原点，分别为轴，平行的直线为轴，建立空间直角坐标系，再利用空间向量法求解即可.

【详解】(1)取的中点E，连接､，如图所示：

因为，所以.

因为面积为，所以.

在中，，，.

因为，所以，

因为是等边三角形，E为线段AB中点，所以，

又因为，所以平面，

而平面，所以平面平面.

(2)以E为原点，分别为轴，平行的直线为轴，建立空间直角坐标系，

如图所示：

则，，，，

，，，

设为平面的法向量，

则，令，则，.即，

设直线与平面所成角为，

则，，

∴直线与平面所成角的余弦值为.

19．某新型智能家电在网上销售，由于安装和使用等原因，必须有售后服务人员上门安装和现场教学示范操作，所以每个销售地区需配备若干售后服务店.A地区通过几个月的网上销售，发现每月利润（万元）与该地区的售后服务店个数有相关性.下表中x表示该地区的售后服务店个数，y表示在有x个售后服务店情况下的月利润额.

(1)求y关于x的线性回归方程.

(2)假设x个售后服务店每月需消耗资金（单位：万元），请结合（1）中的线性回归方程，估算A地区开设多少个售后服务店时，才能使A地区每月所得利润平均到每个售后服务店最高.

附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：，.参考数据：.

【答案】(1)

(2)4个

【分析】（1）利用最小二乘法求线性回归方程；

（2）由每月的净利润求得其平均利润,利用基本不等式求最大值成立的条件

【详解】(1)根据题意，可得：，，

，

∴，，

回归直线方程为.

(2)每月的净利润为，

其平均利润为（万元），

当且仅当时，取等号.

∴开设4个售后服务店时，才能使A地区每月所得利润平均到每个售后服务店最高.

20．已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中，.

(1)若点D为的中点且，求的余弦值；

(2)若的角平分线与相交于点E，当取得最大值时，求的长.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）延长到F，构造平行四边形，转化角后由余弦定理计算；

（2）设，，由余弦定理用表示出，由面积把用表示，然后计算出，利用基本不等式得最大值．

【详解】(1)根据题意，延长到F，使得，连接，

可得四边形为平行四边形，

所以；

(2)设，，

可得，

因此，

又

当且仅当时等号成立，

所以.

21．已知边长为2的正方体中，，，平面与相交于点G，与相交于点H.

(1)当，求，的值；

(2)若，求平面与平面所成锐二面角的正切值.

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）利用线面平行的判定定理与性质定理，即可判断，的值；

（2）利用体积转化得点到平面的距离，建立空间直角坐标系，设点的坐标， 利用距离公式求得点的坐标，从而确定点的坐标，再利用平面与平面夹角公式求余弦值，从而得正切值.

【详解】(1)解：如图所示，连接，在上取一点，使得，连接

当时，为中点，又为中点

在正方体中，平面平面

又平面，所以平面

又共面，平面平面

所以，又

所以，则，即，故；

因为，即，且

故四边形为平行四边形，所以

所以，则四边形为平行四边形

则，所以平面

同理因为共面，平面平面，所以

所以，则，则

由于，

所以，则.

(2)解：根据题意，，

因为边长为2，所以，，，

，则

所以，

，

以为坐标原点，为x轴，为y轴，为z轴，

可得，，，，

向量，，，

设平面的法向量为，

所以，，

令，所以，平面的一个法向量为，

所以则点到平面的距离为：，解得或（舍）

所以点F在上靠近的三等分点，

由（1）可知，则

所以

又平面，所以是平面的一个法向量

向量，，

设平面的法向量为，

所以，，

令，所以，平面的一个法向量为，

则，所以

平面与平面所成锐二面角的正切值为.

22．新型冠状病毒肺炎（CoronaVirusDisease2019，COVID-19），简称“新冠肺炎”，是指2019新型冠状病毒感染导致的肺炎.2019年12月以来，部分医院陆续发现了多例不明原因肺炎病例，证实为2019新型冠状病毒感染引起的急性呼吸道传染病，为防止该病症的扩散与传染，某检测机构在某地区进行新冠病毒疾病调查，需要对其居民血液进行抽样化验，若结果呈阳性，则患有该疾病；若结果为阴性，则未患有该疾病.现有个人，每人一份血液待检验，有如下两种方案：方案一：逐份检验，需要检验n次；方案二：混合检验，将n份血液分别取样，混合在一起检验，若检验结果呈阴性，则n个人都未患有该疾病；若检验结果呈阳性，再对n份血液逐份检验，此时共需要检验次.

(1)若，且其中两人患有该疾病，

①采用方案一，求恰好检验3次就能确定患病两人的概率；

②将这10人平均分成两组，则这两患者分在同一组的概率；

(2)已知每个人患该疾病的概率为.

（i）采用方案二，记检验次数为X，求检验次数X的期望；

（ii）若，判断方案一与方案二哪种方案检查的次数更少？并说明理由.

【答案】(1)①；②

(2)（i）；（ii）答案见解析

【分析】（1）①根据分步乘法公式计算即可得解；②根据固定点概型计算即可；

（2）（i）写出随机变量的所有可能取值，求出对于概率，再根据期望公式计算即可；

（ii）求出分别求出两种方案的期望，再根据幂函数的单调性即可得出结论.

【详解】(1)解：①根据题意可得：；

②根据题意可得：；

(2)解：（i）根据题意：X的取值为1，，

，，

所以；

（ii）当时，方案一：检验的次数为5次，

方案二：检查的次数期望为，

，

记，

因为，所以单调递增，

当时，，

所以当时，，则，

当时，，则，

故当时，选择方案二；

当时，选择方案一；

当时，选择两种方案检查次数一样.