2023届湖北省黄冈市高三上学期9月调研考试数学试题含解析

2023届湖北省黄冈市高三上学期9月调研考试数学试题

一、单选题

1．若集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】解对数不等式确定集合，解分式不等式确定集合，然后由交集的定义计算．

【详解】由题意，

，，或，即或，

所以．

故选：B．

2．设，，则是的（    ）条件

A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要

【答案】B

【分析】构造函数，其中，利用导数分析函数的单调性，结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.

【详解】构造函数，其中，则，

由，可得；由，可得.

所以，函数的单调递减区间为，单调递增区间为，

若，则，即，所以，，

若，则，则，所以，，

所以，是的必要不充分条件.

故选：B.

3．在中，，D为边上一点，且，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据余弦定理计算长度，进而可判断三角形为直角三角形，利用勾股定理即可求解长度.

【详解】由以及余弦定理得,

进而可得,所以为直角三角形，故

,

故选：A

4．已知有两个不同零点a，b，则下列结论成立的是（    ）

A．最小值为2 B．最小值为2

C．最小值为4 D．最小值为1

【答案】C

【分析】结合的单调性可得，且，进而利用基本不等式的性质对选项逐一分析，即可得到答案.

【详解】有两个不同的零点，

当时，单调递减；当时，单调递增；

，即，

不妨设，则，

解得，

，当且仅当，即时，等号成立，显然由可知等号不成立，故A错误；

，当且仅当，即时，等号成立，显然由可知等号不成立，故B错误；

，当且仅当，即时，等号成立，显然由可知等号成立，故C正确；

，当且仅当，即时，等号成立，显然由可知等号不成立，故D错误；

故选：C.

5．已知等比数列的前n项和为，若，则（    ）

A．32 B．28 C．48 D．60

【答案】D

【分析】根据等比数列前n项和为的特征即可按比例求解.

【详解】由可知公比，所以，

因此，

故选：D

6．已知，，，则的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】对进行变形，构造函数，利用导数研究函数的单调性得，再构造函数，利用导数研究函数的单调性，进而得到，即可得解．

【详解】，，，

令，

则，令，则，

当时，，∴在上单调递减，

∴，即，

∴，即；

令，

∴，令，则，

当时，，∴在上单调递减，

∴，即，

∴，即，

综上可知：．

故选：A．

7．已知函数，是的一个极值点，是与其相邻的一个零点，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据题中条件求出的值，结合的取值范围可求得的值，可得出函数的解析式，然后代值计算可得的值.

【详解】由题意可知，函数的最小正周期为，，

，

因为是的一个极值点，则，则，

因为，，则，

因此，.

故选：D.

8．已知数列满足，则（    ）

A．231 B．234 C．279 D．276

【答案】B

【分析】根据奇数项和偶数项的特征，根据分组求和得，进而根据奇数项的特点即可求解.

【详解】由可知：

当为偶数时，当为奇数时，

所以，即，由此解得，

所以，

故选：B

二、多选题

9．下列区间中能使函数单调递增的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】BD

【分析】利用导数的正负与函数单调性的关系及复合函数的单调性的解决办法即可求解.

【详解】由，得，解得或，

所以函数的定义域为.

令，则，

由，得，

令即，解得，或，

当或时，；

所以在和上单调递增；

所以在定义域内是单调递增函数,

所以函数在和上单调递增.

故选：BD.

10．下列各式中，值为的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABD

【分析】对于A，采用降幂公式，结合特殊角三角函数，可得答案；

对于B，根据特殊角三角函数，结合正切的和角公式，可得答案；

对于C，根据辅助角公式，结合特殊角三角函数，可得答案；

对于D，根据积化和差公式，结合特殊角三角函数，可得答案.

【详解】对于A，

，故A正确；

对于B，，故B正确；

对于C，

，故C错误；

对于D，

，故D正确；

故选：ABD.

11．在平面四边形中，，若点E为线段上的动点，则的值可能为（    ）

A．1 B． C．2 D．

【答案】BC

【分析】由数量积的定义及性质，得出，，由余弦定理求得BD，进一步根据几何关系得为正三角形，.

即可以D为原点，DC为x轴，DA为y轴建立平面直角坐标系，利用向量坐标法可表示出，，讨论值域即可

【详解】由题，

，又，则，

则，为正三角形，，

故以D为原点，DC为x轴，DA为y轴建立平面直角坐标系，如图所示，

则，，，设，则，

则，

则当时，取最小值；当时，取最大值3，故.

故选：BC

12．已知函数对于任意的，均满足，其中是的导函数，则下列不等式成立的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABC

【分析】构造函数，其中，利用导数分析函数的单调性，结合单调性可判断各选项中不等式的正误.

【详解】令，其中，则，

当时，，则，

当时，，则，

所以，函数的单调递减区间为，单调递增区间为，

对于A选项，因为，则，即，

所以，，A对；

对于B选项，，

因为，则，即，

所以，，即，B对；

对于CD选项，，

因为，则，即，

所以，，即，C对D错.

故选：ABC.

三、填空题

13．已知向量，满足，且向量与的夹角为，则__________.

【答案】

【分析】直接利用向量的模的运算法则，结合向量的数量积求解即可．

【详解】解：因为向量，满足，且向量与的夹角为，

所以．

故答案为：．

14．等差数列的前n项和为，公差是函数的极值点，则__________．

【答案】21

【分析】求导得函数的极值点，进而可求解公差，利用公式即可求解.

【详解】由得，

令或，由，

进而，所以，

故答案为：21

15．已知函数，则不等式的解集为______________．

【答案】

【分析】先根据函数特点构造，得到其奇偶性和单调性，再对不等式变形得到，根据单调性得到，解不等式求出答案.

【详解】令，定义域为R，

且，

所以为奇函数，

变形为，

即，

其，当且仅当，即时，等号成立，

所以在R上单调递增，

所以，解得：，

所以解集为.

故答案为：

16．对任意的，不等式恒成立，则a的范围为__________．

【答案】

【详解】解：由题意可知,

设，则问题转化为在上成立，

因为=,

令，

则，

所以在上单调递增，

因为当趋于时，趋于，

因为在上单调递增，在上单调递减，

由指数函数和反例函数的图象可知与在上只有一个交点，

即在上只有一个根.

所以，使，

即有，

当时，，即，单调递减；

当时，，即，单调递增；

所以====.

所以成立，

即，

因为，所以.

所以，当且仅当，即时，等号成立.

所以，

所以，即.

故答案为：.

【点睛】本题考查了转化思想，利用导数确定函数的单调性和求最值，属于难题.

四、解答题

17．设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c已知向量，且．

(1)求角B的大小；

(2)若，求的最大值．

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）利用数量积的坐标表示，结合正弦定理边化角即可计算作答.

（2）由（1）的结论，利用正弦定理结合三角恒等变换及正弦函数的性质求解作答.

【详解】(1)在中，因，，，

则有，由正弦定理得：，而，

因此，即，，

所以.

(2)由（1）知，，而，由正弦定理得：，即，

而，则，

其中锐角由确定，而，有，

则当且仅当，即时，取最大值1，，

所以的最大值为.

18．已知数列各项均为正数且满足，数列满足，且．

(1)求的通项公式；

(2)若，求的前n项和．

【答案】(1)，；

(2)

【分析】（1）由化简可得到的通项公式，将左右两边同除以可得是等差数列，即可得到的通项公式；

（2）分别求出的前n项和，然后用分组求和法直接求出

【详解】(1)由可得，

，

，左右两边同除以，得，所以数列是公差为1的等差数列，

，，；

(2)设的前n项和为，的前n项和为

由（1）可得的前n项和，

的前n项和①

所以②

②①得

所以，

因为，所以的前n项和

19．已知函数．

(1)记，若对定义域内任意的x，恒成立，求实数a的范围；

(2)试讨论函数的单调性．

【答案】(1)

(2)见解析

【分析】（1）求导得因式分解，根据对数函数的性质，分类讨论的最值即可求解，

（2）分类讨论导函数的正负即可得函数的单调性.

【详解】(1)显然，

即，对恒成立，

当时，；

当时，．

综上，．

(2)由（1）知

①当时，，

当时，单调递增，

当时，，单调递减，

即当时在上递减，上递增                          

②当时，

当时，由（1）知在单调递增           

当时，当时，，当时,故当和时，，当时，,因此在上单调递减，在上单调递增         

当时，当时，，当时,故当和时，，当时，,在上递减，上递增

20．如图，某污水处理厂要在一个矩形污水处理池的池底水平铺设污水净化管道（三条边，是直角顶点）来处理污水，管道越长，污水净化效果越好.要求管道的接口是的中点，分别落在线段上，已知米，米，记.

(1)试将污水净化管道的总长度（即的周长）表示为的函数，并求出定义域；

(2)问取何值时，污水净化效果最好？并求出此时管道的总长度.

【答案】（1），； （2）或时，L取得最大值为米．.

【分析】（1）解直角三角形求得得EH、FH、EF的解析式，再由 L=EH+FH+EF得到污水净化管道的长度L的函数解析式，并注明θ的范围．

（2）设sinθ+cosθ=t，根据函数 L= 在[，]上是单调减函数，可求得L的最大值．

所以当时，即 或 时，L取得最大值为米．

【详解】由题意可得，，，由于 ，，

所以，，

，

即，

设，则，由于，

由于在上是单调减函数，

当时，即或时，L取得最大值为米．

【点睛】三角函数值域得不同求法：

1.利用和的值域直接求

2.把所有的三角函数式变换成 的形式求值域

3.通过换元，转化成其他类型函数求值域

21．已知函数

(1)求在处的切线方程；

(2)求在上的最小值（参考数据：）

【答案】(1)；

(2)1.

【分析】（1）求出函数的导数，再利用导数的几何意义求解作答.

（2）利用导数探讨函数的单调性，再求出其最小值作答.

【详解】(1)函数求导得：，

而，，由，得，

所以在处的切线方程为.

(2)，由（1）知，令，，

当时，，当时，，则函数，即在上递增，在上递减，

则有，即当时，，而，

使，当时，，当时，，

因此当时，，函数在上单调递增，在上单调递减，

令，当时，求导得，即函数在上单调递增，

则，即，，于是得，而，则，

所以在上的最小值是1.

【点睛】结论点睛：函数y=f(x)是区间D上的可导函数，则曲线y=f(x)在点处的切线方程为：.

22．已知数列为数列的前n项和，且．

(1)求数列的通项公式；

(2)求证：；

(3)证明：．

【答案】(1)

(2)证明见解析

(3)证明见解析

【分析】（1）利用得到，变形后求出通项公式；

（2）构造，利用导函数得到其单调性，得到，再令，则证明出结论；

（3）先不等式两边取对数，再构造，，利用导函数得到其单调性，得到，从而对不等式放缩得到，利用累加法和放缩法证明出不等式.

【详解】(1)

当时，

得：

，，即，

变形为，

，经检验时也适合．

.

(2)构造函数，，

在上递减，

，

时．

∵，

∴令，则有

(3)，，原不等式等价于证明：

，

令，，

则，

所以在上单调递减，

所以，

所以，

令，然后累加得：

．原不等式得证．

【点睛】利用导函数证明数列相关的不等式，要结合不等式特点，构造相关的函数，再将数列代入即可，本题第三问要构造，，得到，再进行相应的放缩.