2023届江苏省姜堰中学、如东中学、沭阳如东中学高三上学期10月联考数学试题含解析

2023届江苏省姜堰中学、如东中学、沭阳如东中学高三上学期10月联考数学试题

一、单选题

1．已知，则＝（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】解根式不等式求集合A，由对数单调性解不等式求集合B，再由集合并运算求结果.

【详解】由题设，

所以.

故选：D

2．已知满足，则在上的投影向量为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据投影向量的定义进行求解即可.

【详解】在上的投影向量为，

故选：B

3．已知函数的定义域是，则的定义域是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用复合函数求函数的定义域的原则及分式有意义即可求解.

【详解】因为函数的定义域是，

所以，所以

所以函数的定义域为，

要使有意义，则需要，解得，

所以的定义域是.

故选：D.

4．中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美”．如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分体现了相互转化、对称统一的形式美、和谐美．在平面直角坐标系中，如果一个函数的图象能够将某个圆的周长和面积同时平分，那么称这个函数为这个圆的“优美函数”．则下列说法中错误的有（    ）

A．函数可以是某个圆的“优美函数”

B．函数 可以是无数个圆的“优美函数”

C．函数可以同时是无数个圆的“优美函数”

D．若函数是“优美函数”，则函数y＝f（x）的图象一定是中心对称图形

【答案】D

【分析】对于A，通过判断函数的奇偶性结合“优美函数”的定义判断，对于B，通过二次求导求出三次函数的对称中心，再结合“优美函数”的定义判断，对于C，利用正弦函数的性质求出其对称中心，再结合“优美函数”的定义判断，对于D，举例判断.

【详解】对于A，定义域为，因为，所以为奇函数，所以函数可以是单位圆的“优美函数”，所以A正确，

对于B，由，得，令，则，令，得，

则，

所以的图象关于点对称，

所以可以是圆的“优美函数”，这样的圆有无数个，所以B正确，

对于C，，则由，得，所以的对称中心为，所以以为圆心，为半径的圆都能被函数的图象平分，所以C正确，

对于D，若的图象是中心对称图形，则此函数一定是“优美函数”，但“优美函数”不一定是中心对称图形，如图所示，所以D错误，

故选：D

5．已知，则的大小关系为（    ）

A．  B．  C．  D．

【答案】C

【分析】利用不等式(时取等号)和（时取等号）的结论即可求解.

【详解】设，则

令即，解得.

令即，解得

所以函数在上单调递增，在上单调递减.

当时，函数取的最小值为，即

当时，即，

设，则，

令即，解得.

令即，解得

所以函数在上单调递增，在上单调递减.

当时，函数取的最小值为，即

所以，即，

所以.

故选：C.

6．若不等式的解集为，则当时，函数的最小值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先令，从而解得到，再利用对数的运算法则及换底公式化简，令，将等价为，求得其最小值，即为的最小值.

【详解】令，则可化为，即，解得，

故，由的单调性易求得，即，

又因为，

令，则因为，由的单调性可得，

而开口向下，对称轴为，

故在上单调递增，在上单调递减，

当时，；当时，；

所以的最小值为，即的最小值为.

故选：A.

7．若命题是命题的充分不必要条件，下列说法正确的是（    ）

A．命题：；命题：恒成立

B．命题：；命题：

C．命题：；命题：恒成立

D．命题：；命题：，使得

【答案】A

【分析】令，结合对勾函数单调性可求得，由推出关系可知A正确；解绝对值不等式可求得命题，由推出关系可知B错误；当时，可由反例可知不恒成立，由此可知C错误；当时，令，利用导数可求得，可知D错误.

【详解】对于A，令，则，

在上单调递增，，则，即命题：；

，，命题是命题的充分不必要条件，A正确；

对于B，由得：或，即命题：或；

或，或，命题是命题的必要不充分条件，B错误；

对于C，当时，令，则，

不恒成立，即，充分性不成立，C错误；

对于D，当时，令，则，

当时，；当时，；

在上单调递增，在上单调递减，，

即不存在，使得；

即，使得，充分性不成立，D错误.

故选：A.

8．已知平面向量满足对任意都有成立，且，则的值为（    ）

A．1 B． C．2 D．

【答案】A

【分析】设，，即可得到，，设平面向量共起点，从而得到其平面图形，由余弦定理求出，从而求出，即可得解.

【详解】解：设，，则，

因为任意都有，故是向量的模的最小值，

故是的最小值即，即，同理，

设平面向量共起点，因为，故的终点在的终点的中垂线上，

故的终点和起点可构成如下图形：

因为，故，而，则，

所以，因，，

故，，，四点共圆（据此可得，在直径的同侧，否则与矛盾），

故，所以；

故选：A.

二、多选题

9．已知复数，则下列说法正确的是（    ）

A．复数在复平面内对应的点在第四象限 B．复数的虚部为

C．复数的共轭复数 D．复数的模

【答案】BCD

【分析】化简得，再得到其在复平面内对应的点的象限，虚部，共轭复数，模即可得到答案.

【详解】，

，所以复数在复平面内对应的点在第三象限，故A错误；

虚部为，故B正确；

复数的共轭复数，故C正确；

复数的模，故D正确；

故选：BCD.

10．要得到函数的图像，需要把函数的图像向   移动（    ）

A．右    B．左    C．右    D．左   

【答案】ACD

【分析】设向右移得到，则有，化简可得，逐个验证选项是否成立即可.

【详解】设向右移得到，则有，

即，∴，

对A，向右移，则，A对；

对B，向左移，则，B错；

对C，向右移，则，C对；

对D，向左移，则由，D对.

故选：ACD.

11．下列命题中真命题有（    ）

A．已知，若与的夹角为锐角，则

B．若函数f（x）是奇函数，函数f（x－1）为偶函数，则f（2）＝0

C．复数z满足|z|2＝z2

D．函数的最大值是5

【答案】BD

【分析】根据平面向量夹角的坐标表示公式、奇偶函数的性质，结合复数模的定义和乘方运算、导数的性质逐一判断即可.

【详解】A：因为，所以，

当与同向时，有，即，

显然，显然当时，与的夹角不是锐角，故本命题不是真命题；

B：因为函数f（x－1）为偶函数，所以，

又因为函数f（x）是奇函数，所以，即，所以本命题是真命题；

C：当时，，所以本命题是假命题；

D：的定义域为，

，

当时，单调递增，当时，单调递减，所以，因此本命题是真命题，

故选：BD

【点睛】关键点睛：利用导数求函数的最值是解题的关键.

12．下列不等式正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】AB

【分析】根据题意，构造函数，结合函数的单调性，对选项进行逐一判断即可.

【详解】构造函数，则

∴在递增，递减，

对于A选项：∵，则，即，∴，A正确

对于B选项：∵，则，即，

∴，B正确

对于C选项：∵，则，即，

∴，C错误

对于D选项：∵，则，即，∴，D错误

故选:AB.

三、填空题

13．若复数z满足，则z＝_________.

【答案】

【分析】设，代入中根据复数相等的条件可求出，从而可求得结果.

【详解】设，

因为复数z满足，

所以，

所以，解得，

所以，

故答案为：

14．在中，，且，设为平面上的一点，则的最小值是_________.

【答案】

【分析】利用向量的数量积公式，建立平面直角坐标系，写出相关点的坐标，再利用向量的线性运算及数量积运算的坐标表示即可求解.

【详解】由，且，得

以A为坐标原点，为x轴建立直角坐标系，则

设，则

所以当时，的最小值是

故答案为：.

15．已知函数，若成立，则a的取值范围为_________.

【答案】

【分析】先判断函数的奇偶性与单调性，再根据奇偶性与单调性解不等式即可得答案.

【详解】函数的定义域为，

，

所以函数为偶函数，

当时，，

所以函数在区间上单调递增，

所以，

解得，

所以a的取值范围为．

故答案为：

16．已知，，则的最小值_________.

【答案】20

【分析】设，利用表示，利用得到，再变形得到，利用基本不等式求出最小值.

【详解】令，则，

去分母化简得：，所以，

所以，

当且仅当时，等号成立．

故答案为：20

四、解答题

17．已知集合，中.

(1)若，求m的值；

(2)已知命题，命题，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）解一元二次不等式求集合A，结合交集的结果并讨论、求参数值，最后验证结果即可；

（2）由题设有，列不等式组求参数范围即可.

【详解】(1)由题设，，又，

当时，此时，则，显然不符题设；

当时，此时，则，满足题设；

所以.

(2)由题设，

当，，可得；

当，，可得；

所以.

18．设.

(1)求f（x）的单调增区间及对称中心；

(2)当时，，求cos2x的值.

【答案】(1)单调递增区间是；对称中心

(2)

【分析】（1）先利用二倍角公式及诱导公式化简得到，整体法求解函数的单调递增区间及对称中心；

（2）先求出，结合得到，

从而求出，利用余弦差角公式进行求解.

【详解】(1)由题意得：，

由，可得；

所以的单调递增区间是；

令，，解得：，，此时函数值为-1，

所以对称中心为．

(2)∵

∴，

∵，∴，

∵当时，，

∴

∴，

．

19．已知中，D为BC边上一点，且，.

(1)求证：；

(2)若，求面积的最大值.

【答案】(1)证明见解析

(2)24

【分析】（1）由得，由正弦定理得、，两式左右相除可得，讨论两角范围即可得出结论；

（2）延长到E使得，可证得，可得，则，结合范围讨论最值即可

【详解】(1)，,

在中， ①；在中， ②，

两式相比得，又，且

所以

(2)延长到E使得，

由，∴，

∴，∴，,

∴，

所以面积的最大值为24．

20．已知函数，.

(1)若函数的值域为R，求实数的取值范围；

(2)若方程有且只有一解，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）将函数的值域为转化为的值域要包含的所有取值，再利用列不等式求的范围即可；

（2）将只有一个解转化为只有一个解，再分析的单调性画出函数图象，利用图象分析即可.

【详解】(1)因为函数的值域为，所以的值域要包含的所有取值，所以或

所以.

(2)∵，

∴，∴，

方程只有一个解，即只有一个解，

，

当时，在单调递增，

当时，在单调递减，

所以当时，，函数图象如下所示：

由图可知：

当时，无解，此时没有解，

当时，只有一解，此时有且只有一解，

当时，有两解，此时有两解，

所以.

21．已知函数.

(1)当时，求函数的单调区间；

(2)若恒成立，求正实数的取值范围.

【答案】(1)增区间为；减区间为

(2)

【分析】（1）利用基本初等函数的导数公式及导数法则，结合导函数与函数的单调性的关系即可求解；

（2）将恒成立问题转化为最值问题，再利用导数法求函数的最值即可求解.

【详解】(1)当时，

由题意可知，函数的定义域为，

当时，的增区间为

当时，的减区间为

(2)

令

当时，

令

当时，的增区间为

当时，的减区间为

所以，∴恒成立

当时，因为，所以不恒成立

综上，正实数的取值范围为．

22．已知函数，.

(1)证明：对，直线都不是曲线的切线；

(2)若，使成立，求实数的取值范围.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）假设直线与曲线相切，利用导数的几何意义列等式求得，不符合要求，说明原命题不成立；

（2）构造函数，利用函数的单调性得到，再分类讨论求的范围即可.

【详解】(1)若直线与曲线相切，直线过定点，设切点，

由得定义域为，，所以，

整理得①，又在上单调递增，

当且仅当时，①成立，这与矛盾，结论得证．

(2)原不等式可整理为：，

令，在上单调增，

，

当时，，令，

当时，，单调递减，

∴；

当时，不存在；

当时，

当时，，单调递增，当时，，单调递减，

∴，∴；

综上．

【点睛】不等式有解问题：

（1）若存在使成立，则；

（2）若存在使成立，则；

（3）若存在使成立，则；

（4）若存在使成立，则.