2023届江苏省苏州中学高三上学期10月阶段质量评估数学试题含解析

这是一份2023届江苏省苏州中学高三上学期10月阶段质量评估数学试题含解析，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题，双空题等内容，欢迎下载使用。
2023届江苏省苏州中学高三上学期10月阶段质量评估数学试题 一、单选题1．已知均为子集，且，则（    ）A． B．M C．N D．【答案】B【分析】分类讨论再结合韦恩图求解即可.【详解】当时，，所以.当时，如图所示： .故选：B2．若复数，则（    ）A．2 B． C．4 D．5【答案】B【分析】先化简复数z，再利用复数的模求解.【详解】因为复数，所以，所以，故选：B3．设等比数列的公比为q，则是为单调递增数列的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】D【分析】通过做差，结合充分条件、必要条件的定义判断即可【详解】若,则,则为单调递减数列所以是为单调递增数列的不充分条件若为单调递增数列,则,则即或,所以故是为单调递增数列的不必要条件故是为单调递增数列的既不充分也不必要条件故选：D4．已知，且，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用二倍角公式化简方程，解方程可得，进而可得.【详解】，解得，又，则，，故选：A.5．在中，点是线段上任意一点，是线段的中点，若存在实数和，使得，则A． B．C． D．【答案】D【分析】由题意结合中点的性质和平面向量基本定理首先表示出向量，，然后结合平面向量的运算法则即可求得最终结果.【详解】如图所示，因为点D在线段BC上，所以存在，使得，因为M是线段AD的中点，所以：，又，所以，，所以.本题选择D选项.【点睛】(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．6．斜三棱柱中，侧面BB1C1C的面积为S，侧棱AA1到侧面BB1C1C的距离为a，则该斜三棱柱的体积为（    ）A． B． C． D．Sa【答案】C【分析】斜三棱柱补形为平行六面体，求平行六面体的体积即可得解.【详解】在斜三棱柱的一侧补上一个三棱柱，使之成为一个平行六面体，如图，显然，它的体积为，所以斜三棱柱的体积为.故选：C7．已知△ABC中，sinA=3sinCcosB，且AB=2，则△ABC的面积的最大值为（    ）A．3 B． C．9 D．【答案】A【分析】法一：根据正弦定理，将角化边，从而利用三角形面积公式，半角公式及三角函数有界性求出面积的最大值；法二：根据正弦定理，将边化角，得到，画出图形，作出辅助线，设，得到，利用基本不等式求出三角形面积的最大值.【详解】法一：由正弦定理得：，法二：由正弦定理得：，所以故，如图所示：过点A作AD⊥BC于点D，设，则，由勾股定理得：，所以当且仅当时，等号成立，故选：A.8．若关于x的不等式对于任意恒成立，则整数k的最大值为（    ）A．-2 B．-1 C．0 D．1【答案】C【分析】参变分离将恒成立问题转化为求函数最值问题，然后利用导数求最值可得.【详解】对于任意恒成立等价于对于任意恒成立令，则令，则所以在上单调递增，又所以在有且仅有一个根，满足，即当时，，即，函数单调递减，时，，即，函数单调递增，所以由对勾函数可知，即因为，即，，所以.故选：C 二、多选题9．已知函数 ，则（    ）A．在单调递增B．有两个零点C．在点处切线的 斜率为 D．是奇函数【答案】AC【分析】求导，运用导函数的符号判断单调性，并由此判断零点数量，运用定义法判断奇偶性.【详解】 时，， 在 上单调递增，A正确；当 时， ，单调递减，∴ 在 处有极小值， ，有且仅有一个零点，错误； ，C正确；为偶函数，错误；故选：.10．关于函数的描述正确的是（    ）A．图象可由的图象向左平移个单位得到B．在单调递减C．的图象关于直线对称D．的图象关于点对称【答案】ACD【分析】利用三角恒等变换得到，根据平移变换判定A正确；整体法求解出在单调递减，判定B错误；整体法求解出函数的对称轴和对称中心，从而判断CD正确；【详解】向左平移个单位后变为，对，则，所以在单调递减，在不是单调减函数，错.，则当时，，的其中一条对称轴，C对，则，当时，，的其中一个对称中心为，D对，故选：.11．在四棱锥中，底面为梯形，，则（    ）A．平面内存在无数条直线与平面平行B．平面和平面的交线与底面平行C．平面和平面的交线与底面平行D．平面内任意一条直线都不与平行【答案】ACD【分析】用线面平行的判定定理，可判断A;用反证的方法来推出与已知相矛盾的结论，可以判断BD;用线面平行的判定以及性质定理可判定C【详解】解：设平面平面，在平面内存在无数条直线与平行，且不含于平面，则在平面内存在无数条直线与平面平行，故正确；若平面平面，平面平面，则，同理，，则，这与四边形为梯形矛盾，故B错误；设平面平面平面平面，平面，又平面平面，平面，平面，故C正确；若平面内存在一条直线与平行，则平面平面，平面平面，则矛盾，平面内任意一条直线都不与平行，故D正确，故选：ACD12．已知函数，则下列说法中正确的是（    ）A．B．的最大值是C．在上单调递增D．若函数在区间上恰有个极大值点，则的取值范围为【答案】ABD【分析】利用二倍角公式进行化简，再根据函数的的性质分别判断各选项.【详解】，A选项：，A选项正确；B选项：设，则，解得，，即，即的最大值为，B选项正确；C选项：因为，所以在上不单调，C选项错误；D选项：，令，解得，即或，，当，时，，函数单调递减，当当，时，，函数单调递增，所以函数的极大值点为，，，，又函数在区间上恰有个极大值点，则，即，D选项正确；故选：ABD. 三、填空题13．平面向量满足，则实数的值为___________.【答案】或【分析】根据向量垂直的坐标表示可得关于的方程，从而可求的值.【详解】，即或2.故答案为：或.14．（tan50°+tan60°）sin20°=___________.【答案】1【分析】利用同角关系以及诱导公式、倍角公式作恒等变换求解即可.【详解】；故答案为：1.15．若，则的最小值为_________．【答案】【分析】把表示成的函数，再借助均值不等式求解作答.【详解】依题意，，，则，当且仅当，即时取“=”，此时，，所以，当时，取最小值.故答案为： 四、解答题16．已知函数（）部分图象如图所示，函数的图象过点.(1)求函数的解析式；(2)当，求函数的值域.【答案】(1)；(2). 【分析】（1）由题设及周期公式得，再由点在图象上求得、，即可得解析式；（2）应用诱导公式、辅助角公式得，根据自变量范围及正弦型函数的性质求值域.【详解】(1)因为，则，所以.由，则，，解得，，所以.由，则，所以.(2)，因为，所以，则.所以函数值域为.17．已知数列满足，数列满足对任意正整数均有成立．(1)求的通项公式；(2)求的前99项和．【答案】(1)(2)825 【分析】(1)利用递推式的性质，可求出.(2)根据，可得，利用等差数列求和公式求解即可.【详解】(1)因为，所以当时，，两式相减得，，又时，，也符合．所以．(2)由（1）知，，因为对任意的正整数，均有，故数列的前99项和．18．在中，角的对边分别为，且．（1）求角A的值；（2）若边上的中线，求的面积．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）利用正弦定理、两角和的正弦公式化简题设中的边角关系可得（2）结合（1）可得为等腰三角形，在中利用余弦定理可求，从而可求的面积.【详解】（1）由正弦定理可得，整理得到，因为，故，故，因为，故.（2）因为，，故，故为等腰三角形且.设，则，由余弦定理可得，故，所以，故.【点睛】在解三角形中，如果题设条件是边角的混合关系，那么我们可以利用正弦定理或余弦定理把这种混合关系式转化为边的关系式或角的关系式，另外解三角形时注意分析已知哪些条件，这样就可以选择合适的定理来解决问题.19．如图，已知斜三棱柱中，平面⊥平面，为上一点，，为锐角：(1)求证：⊥平面；(2)若平面，求证：是等腰三角形.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析 【分析】（1）证明直线和平面垂直，就是要证明直线和这个平面内的两条相交直线垂直，而题目没有直接告诉我们平面内的两条相交直线，此时我们可以由，结合面面垂直的性质定理，想到要在平面内找到一条与相交的直线，进而想到过点作一条垂直于的辅助线，即可得出证明；（2）由（1）的证明可知，，要证明，则点为中点，看到中点想到中位线，于是想到可以连接构造中位线，所以，当我们连接，就可以较易得出证明.【详解】(1)证明：在平面中，过作，又为锐角，∴与必有交点，设为，∵平面平面，平面平面，，平面，∴平面，又平面，∴，平面，平面，∴平面.(2)证明：连接交于点，在斜三棱柱中，四边形为平行四边形，∴为的中点，连接，∵平面，平面，平面平面，∴，又在中，为的中点，∴为中点，又平面，平面，∴，在中，为中点，∴，是等腰三角形.20．已知函数（a为常数），函数.(1)证明：（i）当时，；（ii）当时，；(2)证明：当时，曲线与曲线有且只有一个公共点.【答案】(1)（i）证明见解析；（ii）证明见解析(2)证明见解析 【分析】(1)构造函数利用导数证明单调性即可证明;(2) 由利用分类讨论结合单调性,最值来证明.【详解】(1)令,所以,则,所以在上单调递增，且，所以当时，,即,所以；当时，,即,所以(2)解法一:由，得，设，则 .令，由上述推理可得或.① 当时，，因为，当且仅当，所以在上单调递增，又因为，所以的零点有且仅有一个为0.② 当时，列表如下：00000极大值极小值 首先在上无零点；取且从而在上有且仅有一个零点.综上所述，曲线与曲线有且仅有一个公共点.解法二:令令①当时，在上单调递增，注意到,所以在上有唯一的零点.②当时，令或,且当时，单调递增；当时，单调递减；当时，单调递增,且当时，无零点当时，，当时，.，令,,在上有唯一的零点，证毕!21．已知函数.(1)若过原点的一条直线与曲线相切，求切点的横坐标；(2)若有两个零点，且，证明：①；②.【答案】(1)；(2)①证明见解析；②证明见解析. 【分析】（1）根据导数的几何意义即得；（2）由题可得，设，进而可得，，然后通过构造函数，利用导数研究函数的单调性，进而即得.【详解】(1)由可得，设切点，则切线方程为，代入，解得；(2)令，得，因为有两个零点，所以，设，则，且，所以，从而，故，，①令，则，令，则，所以在上单调递增，又，所以当时，，即，所以在上单调递增，又，所以，即；②令，则，令，则，当时，，所以当时，，因此在上单调递增，而，所以当时，，故，从而在上单调递增，又因为，所以，即.【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 五、双空题22．某小区有一个半径为r米，圆心角是直角的扇形区域，现计划照图将其改造出一块矩形休闲运动场地，然后在区域I（区域ACD），区域II（区域CBE）内分别种上甲和乙两种花卉（如图），已知甲种花卉每平方米造价是a元，乙种花卉每平方米造价是3a元，设∠BOC=θ，中植花卉总造价记为，现某同学已正确求得：，则___________；种植花卉总造价最小值为___________.【答案】          【分析】根据Ⅰ，Ⅱ的面积均为扇形面积减去三角形面积，结合扇形的面积公式可得，再根据可得；再对求导分析函数的极值点与最值求解最小值即可.【详解】，在单调递减，在单调递增，故故答案为：；