2023届内蒙古高三上学期10月大联考数学（文）试题含解析

2023届内蒙古高三上学期10月大联考数学（文）试题

一、单选题

1．已知集合，或，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据补集的定义先求，再根据交集的定义求.

【详解】，，．

故选：C．

2．已知复数，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用复数的运算即可求解.

【详解】．∴.

故选：A．

3．已知向量，，若，则（    ）

A．10 B． C．2 D．

【答案】B

【分析】根据向量垂直的坐标表示确定，再根据向量的模的坐标表示直接求解.

【详解】向量，．∵，∴，解得，

∴，∴．

故选：B．

4．为庆祝中国共产党成立100周年，某市举办“红歌大传唱”主题活动，以传承红色革命精神，践行社会主义路线，某高中有高一、高二、高三分别600人、500人、700人，欲采用分层抽样法组建一个18人的高一、高二、高三的红歌传唱队，则应抽取高三（       ）

A．5人 B．6人 C．7人 D．8人

【答案】C

【分析】利用分层抽样的性质直接求解.

【详解】依题意得：

某高中有高一、高二、高三分别600人、500人、700人，

欲采用分层抽样法组建一个18人的高一、高二、高三的红歌传唱队，

则应抽取高三的人数为：

.

故选：C.

5．已知抛物线与圆交于A，B两点，则（    ）

A．2 B． C．4 D．

【答案】C

【分析】先联立抛物线与圆求出A，B横坐标，再代入抛物线求出纵坐标即可求解.

【详解】由对称性易得A，B横坐标相等且大于0，联立得，解得，

则，将代入可得，则.

故选：C.

6．执行如图所示的程序框图，若输入，则输出的值是（    ）

A．6 B．14 C．16 D．18

【答案】D

【分析】根据循环结构逐步运算即可.

【详解】第一次执行循环体得，；

第二次执行循环体得，；

第三次执行循环体得，，满足，输出．

故选：D．

7．函数的部分图象大致为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用排除法，先判断函数的奇偶性，再取特殊值进行判断即可.

【详解】函数的定义域为，，

∴函数为偶函数，其图象关于y轴对称，故排除选项C，D；

又，，故排除选项A．

故选：B．

8．设等差数列的前n项的和为，若，则（    ）

A．17 B．34 C．51 D．102

【答案】C

【分析】利用等差数列的求和公式即可.

【详解】等差数列的前n项的和为，，，

∴，

故选：C．

9．已知实数x，y满足，，则目标函数的最大值为（    ）

A． B．3 C． D．

【答案】B

【分析】画出约束条件作出可行域结合图形可得答案.

【详解】由约束条件作出可行域如图所示：

由，得，由图可知，

当直线过点A时，直线在y轴上的截距最大，

由可得，

z有最大值为．

故选：B．

10．如图，在正方体中，分别为的中点，则（    ）

A．平面 B．平面

C．平面 D．平面

【答案】C

【分析】以点为原点，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，结合法向量对选项逐一判断即可.

【详解】

以点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设，则.，.

设平面的一个法向量为，则取，

因为与不平行，所以与平面不垂直，错误；

因为与不平行，所以与平面不垂直，B错误；

因为，且线在面外，所以平面，C正确；

因为，所以与平面不平行，D错误

11．若对任意成立，，则（    ）

A．0 B．1 C．2 D．

【答案】C

【分析】根据已知判断的关系即可求解.

【详解】由已知且

所以，故

.

故选：C

12．已知函数，若在上为增函数，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由可得，然后结合条件可建立不等式求得，然后可分析出答案.

【详解】令，整理得，

故，解得，，

∵，∴k＝0时，；k＝1时，；

时，∵，故不符合题意．综上所述，．

故选：D．

二、填空题

13．已知幂函数过点，则______．

【答案】

【分析】设，用待定系数法求出，即可求出.

【详解】设幂函数，

由过点，得：，解得：

∴，∴.

故答案为：

14．从4名男生和2名女生中任选2人参加志愿者活动，则选中的2人都是男生的概率为______．

【答案】##0.4##40%

【分析】根据组合数及古典概型概率公式即得.

【详解】根据题意，从4名男生和2名女生中任选2人参加志愿者活动，共有种选法，

选中的2人都是男生的选法有种，

所以选中的2人都是男生的概率为．

故答案为：．

15．已知等比数列的前n项和为，且，则______．

【答案】8

【分析】根据，作差得到等比数列的公比为，再求出，最后根据等比数列的通项公式计算可得.

【详解】解：等比数列的前项和为，且，

∴，

∴，∴，故等比数列的公比为．

在中，

令，可得，∴，则．

故答案为：8．

16．双曲线的离心率为，F是C的下焦点，若P为C上支上的动点，设点P到C的一条渐近线的距离为d，则的最小值为______．

【答案】7

【分析】根据离心率求出，设双曲线的上焦点为，利用双曲线的定义，转化为，再由到直线的距离可得答案．

【详解】由已知可得，，解得，

则双曲线方程为，，双曲线的渐近线方程为，

如图，由双曲线的定义得：，则，

到直线的距离为，

∴，即的最小值为7．

故答案为：7．

三、解答题

17．在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知．

(1)求A；

(2)若，求的面积．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）用正弦定理化简即可得到角A；

（2）先用余弦定理计算c，再用面积公式计算面积.

【详解】（1）由正弦定理，

因为，所以，所以

因为，所以，所以.

（2）由余弦定理，或（舍）

所以.

18．四棱锥中，侧面为等边三角形且垂直于底面 ,

（1）证明：直线平面;

（2）若△面积为，求四棱锥的体积.

【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）

【分析】试题分析：证明线面平有两种思路，一是寻求线线平行，二是寻求面面平行；取中点，由于平面为等边三角形，则，利用面面垂直的性质定理可推出底面ABCD，设，表示相关的长度，利用的面积为，求出四棱锥的体积.

试题解析：

（1） 在平面内，因为,所以

又平面平面故平面

（2）取的中点，连接

由及

得四边形为正方形，则.

因为侧面为等边三角形且垂直于底面，平面平面，

所以底面

因为底面，所以,

设，则，取的中点，连接，则,所以，

因为的面积为，所以，

解得（舍去），

于是

所以四棱锥的体积

【详解】19．在能源和环保的压力下，新能源汽车无疑将成为未来汽车的发展方向．年月，为促进新能源汽车发展，实施差异化交通管理政策，公安部启用新能源汽车专用号牌．年月，国务院办公厅印发《新能源汽车产业发展规划（年）》，要求深入实施发展新能源汽车国家战略，推动中国新能源汽车产业高质量可持续发展．下表是年至年新能源汽车年销量（单位：十万辆）情况：

(1)完成下表：

(2)试建立年销量关于年份编号的线性回归方程；

(3)根据（2）中的线性回归方程预测年新能源汽车的年销量．

参考公式：，．

【答案】(1)表格见解析；

(2)；

(3)万辆．

【分析】（1）根据题目所给数据计算，依次完成表格；

（2）根据题意由线性回归方程计算公式，计算可得答案；

（3）把代入线性回归方程，计算结果,预测年新能源汽车的年销量.

【详解】（1），，

填表如下：

（2），，

∴年销量关于年份编号的线性回归方程为；

（3）年的年份编号为，当时，，

∴预测年新能源汽车的年销量为万辆．

20．如图，曲线是以原点为中心，、为焦点的椭圆的一部分，曲线是以为顶点、为焦点的抛物线的一部分，是曲线和的一个交点，且为钝角，，．

(1)求曲线和所在椭圆和抛物线的方程；

(2)过作一条与轴不垂直的直线，分别和曲线和交于、、、四点，若为的中点，为的中点，是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由．

【答案】(1)椭圆方程为，抛物线方程为．

(2)是，且

【分析】（1）设椭圆方程为，利用椭圆定义可求得的值，设、、，利用两点间的距离公式和抛物线的定义可得出关于、、的方程组，结合已知条件得出，解出的值，即可得出椭圆和抛物线的方程；

（2）设、、、，设直线的方程为，其中，将直线的方程分别与椭圆、抛物线的方程联立，列出韦达定理，结合韦达定可计算出的值，即可得出结论.

【详解】（1）解：设椭圆方程为，则，得，

设、、，抛物线方程为，其中，

则，，

两式相减得，由抛物线定义可知，

因为为钝角，则，解得，

所以，椭圆方程为，抛物线方程为．

（2）解：设、、、，

设直线的方程为，其中，

联立可得，

由韦达定理可得，，

联立可得，由韦达定理可得，，

所以，

.

【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：

（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；

（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．

21．已知函数，．

(1)证明：当时，函数，的图象只有一个交点；

(2)设A是函数，的交点，证明曲线在点A处的切线也是曲线的切线．

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【分析】（1）构造函数，证明函数在上只有一个零点；

（2）由已知，得出点A的横坐标的关系式，根据导数的几何意义求得曲线在点A处的切线，证明过A点的切线的斜率恰好等于在点A处的切线的斜率即可.

【详解】（1）证明：设，，

∴函数在上单调递增．

∵，，

由函数零点存在定理知在只有一个零点，在没有零点，

即在只有一个零点.

∴当时，函数，的图象只有一个交点．

（2）证明：设点A的横坐标为，则，

整理得，

又，

曲线在点处的切线l方程为，

即．

设切点，求导得，令，

直线AM的斜率为：，

∴曲线在点A处的切线也是曲线的切线．

22．在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为

（1）求曲线的直角坐标方程

（2）已知点的直角坐标为，与曲线交于两点，求

【答案】（1）．（2）．

【分析】（1）由转化为可化极坐标方程为直角坐标方程；

（2）直线参数方程代入曲线的直角坐标方程，应用韦达定理得，利用参数的几何意义求解．

【详解】（1）由得，又，所以．即．

（2）把直线参数方程方程，得，

，由于，所以异号．

．

【点睛】思路点睛：本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查直线的参数方程，在直线与相交问题时，涉及到直线的线段长问题有时用直线的参数方程比较方便，如直线参数方程是（为参数），是直线的倾斜角，，直线与交线交点为，则对应的参数值有：，，如果是直线向上的方向，则为正，否则为负．

23．已知．

(1)解不等式；

(2)若关于x的不等式在R上恒成立，求实数m的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）分别讨论，去掉绝对值，分别求出每个不等式的解集，再求并集即可.

（2）由题可得，再利用绝对值三角不等式求出，解不等式即可.

【详解】（1）解：

①当时，可化为，解得，无解；

②当时，可化为，解得，故；

③当时，可化为，解得，故．

综上所示，不等式的解集为；

（2）关于x的不等式在R上恒成立，即，

∵，

当且仅当，即时等号成立，∴，

∴，解得，

故实数m的取值范围为．