2023届陕西省安康市高三上学期9月联考数学（文）试题含解析

2023届陕西省安康市高三上学期9月联考数学（文）试题

一、单选题

1．已知集合，集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据二次不等式求解集合，再求交集即可.

【详解】由得，故，所以，又，所以．

故选：B．

2．已知复数（i是虚数单位），则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据复数的乘、除法运算求出z，进而求出，结合复数的几何意义即可求解.

【详解】，得，

则．

故选:A

3．设向量，，满足，，与的夹角为，则（    ）

A． B． C．4 D．

【答案】A

【分析】首先求出，再根据及数量积的运算律计算可得.

【详解】解：因为，，与的夹角为，

所以，

所以，

所以．

故选：A．

4．下列函数中，既是偶函数且在上又是减函数的是（    ）

①；②；③；④．

A．①④ B．②③ C．③ D．②

【答案】C

【分析】根据偶函数的定义和函数的单调性逐个分析判断.

【详解】对于①，因为，所以此函数是偶函数，但在上不是单调函数，所以①错误，

对于②，因为，所以此函数不是偶函数，所以②错误，

对于③，定义域为，因为，所以此函数为偶函数，且在上单调递减，所以③正确，

对于④，定义域为，因为，所以此函数为奇函数，所以④错误，

故选：C．

5．若，则（    ）

A．3 B． C． D．

【答案】B

【分析】由题意，根据同角三角函数的关系式进行弦化切，结合正切函数的和角公式，可得答案.

【详解】因为，所以，解得，

所以．

故选：B．

6．已知，，，，若“p且q”是真命题，则实数a的取值范围是（    ）

A． B． C．或 D．且

【答案】C

【分析】分类讨论为真和为真时，的取值，进而利用集合的交集关系，即可求解

【详解】若p真，则；若q真，则或．又因为“p且q”是真命题，所以或．

故选：C．

7．已知正项等比数列中，成等差数列，其前n项和为，若，则为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据等差等比数列的性质，列出相应的方程，求出，进而利用等比数列通项公式即可求解.

【详解】设等比数列的公比为q，．因为成等差数列，所以．又因为；，所以．所以．

故选B．

8．在中，“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】利用同角的三角函数关系和诱导公式分别证明充分性和必要性，进而得出结果.

【详解】若，则，

即，

所以，所以，即，所以，

所以，所以，

所以“”是“”的充分条件．

若，则，则，

即，所以，所以或，

所以“”不是“”的必要条件，

所以“”是“”的充分不必要条件．

故选：A．

9．已知函数．则关于说法错误的是(    )

A．的图象向右平移个单位长度后所得的函数为

B．的图象与的图象关于y轴对称

C．的单调递减区间为

D．在上有3个零点，则实数a的取值范围是

【答案】D

【分析】利用三角恒等变换公式化简f(x)解析式.根据图象平移对解析式的影响即可判断A，根据正弦函数对称性即可判断B，根据正弦函数单调性即可判断C，根据正弦函数图象的性质可判断D．

【详解】﹒

对于选项A，将的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，∴选项A正确；

对于选项B，∵，

∴与图象关于y轴对称，∴选项B正确；

对于C，由得，

即的单调递减区间为，∴选项C正确；

对于D，如图为的图象，

由图可知，在上有3个零点，则，解得，

∴选项D错误．

故选：D．

10．已知是椭圆的两个焦点，P为C上一点，且．，则C的方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】利用椭圆定义结合余弦定理得到，再结合，求出椭圆方程.

【详解】在椭圆中，由椭圆的定义可得，因为，所以，在中，，由余弦定理得，即，所以，又．所以，所以椭圆C的方程为．

故选：C．

11．下列函数中，最大值是1的函数是（     ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】由可判断出A错误；由可判断B错误；由可判断C错误；令，则的值域即为直线的斜率的范围，即可判断出D正确.

【详解】对于A，，当且仅当，即时取“=”，即当时，，A不正确；

对于B，，当时，，故B错误；

对于C，，显然最大值为1，此时，而时，函数无意义，即取不到1，故C不正确；

对于D，令，则的值域即为直线的斜率的范围，显然点在圆上，

设直线的方程为，即，

则圆心到的距离，解得．故，故D正确．

故选：D．

12．已知函数，对任意的实数，且，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】不妨设，则由题意可得，令，则在上单调递增，所以在上恒成立，再次转化为．在上恒成立，令，利用导数求出其最大值即可.

【详解】不妨设，由，得，

即，

令，所以对任意的实数时，都有，

即在上单调递增，所以在上恒成立，

即．在上恒成立．

令．则，

令，解得，令，解得，

所以在上单调递增，在上单调递减，

所以，所以，

即实数a的取值范围是．

故选：B．

【点睛】关键点点睛：此题考查导数的应用，考查利用导数研究函数的单调性，解题的关键是设，然后将原不等式化为，令，将问题转化为在上单调递增，即可得在上恒成立，然后分离参数，构造函数，利用导数求出函数的最值即可，考查数学转化思想，属于较难题.

二、填空题

13．若角的终边在第四象限，且，则________．

【答案】0.75

【分析】求出，，再根据诱导公式得到答案.

【详解】因为角的终边在第四象限，且，所以，，所以．

故答案为：.

14．已知曲线的一条切线是，则实数________．

【答案】1

【分析】设切点坐标，根据导数的几何意义求出切线方程，对比列方程求解即可.

【详解】设切点为，又，所以，所以切线方程为，即，所以，

解得，．

故答案为：1.

15．在中，角，，的对边分别为，，，且，则_______．

【答案】

【分析】根据正弦定理边换角，化简求出角的的值，再利用余弦定理求出.

【详解】由正弦定理得，所以，所以，又，，是三角形内角，，所以，所以，所以，由余弦定理得，所以．

故答案为：.

16．对于定义域为D的函数，若存在且．使得，则称函数具有性质M，若函数具有性质M．则实数a的最小值为______．

【答案】

【分析】由题意，明确自变量取值范围，列出方程，求得对于自变量取值，可得答案.

【详解】因为具有性M．

所以，

因为函数在上递减，在上递增，

所以可设，

由得，，

则，故，∴，

又，

∴，即，

∵，∴，，∵，∴，则实数a的最小值为．

故答案为：.

三、解答题

17．在中a，b，c分别为内角A，B，C的对边．．

(1)求角B的大小；

(2)若，求的面积．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用正弦定理化简求解即可.

（2）利用三角函数的和差公式，得到，进而利用正弦定理可求出，利用面积公式即可求解.

【详解】(1)由及正弦定理得，

因为，则且，

所以，

即，则，可得，所以．

(2)，

，所以，所以，

故．

18．已知等差数列的前n项和为，且，．

(1)求的通项公式；

(2)若，求数列的前n项和．

【答案】(1)

(2)

【分析】第（1）问使用等差数列的通项公式和前项和公式将已知条件转化成基本量，求出和即可求出通项公式；第（2）问对于等差×等比类型的数列求和，使用错位相减法.

【详解】(1)解：设公差为，由已知有

解得

∴数列的通项公式为.

(2)由（1）知，

∴①

①×2，得

②

①②得

∴数列的前项和.

19．“学习强国”学习平台是由中宣部主管，以深入学习宣传习近平新时代中国特色社会主义思想为主要内容，立足全体党员，面向全社会的优质平台．该平台首次实现了“有组织，有管理，有指导，有服务”的学习，极大地满足了广大党员干部和人民群众多样化、自主化、便捷化的学习需求，日益成为老百姓了解国家动态，紧跟时代脉搏的热门APP．某市宣传部门为了解市民利用“学习强国”学习国家政策的情况，从全市抽取1000人进行调查，统计市民每周利用“学习强国”的时长，下图是根据调查结果绘制的频率分布直方图．

(1)估计该市市民每周利用“学习强国”时长在区间内的概率；

(2)估计该市市民每周利用“学习强国”的平均时长；

(3)若宣传部为了解市民每周利用“学习强国”的具体情况，准备采用分层抽样的方法从和组中抽取7人了解情况，从这7人中随机选取2人参加座谈会，求所选取的2人来自不同的组的概率．

【答案】(1)0.3

(2)6.8小时

(3)．

【分析】(1)由频率分布直方图求出学习时长在内的频率，由此估计学习时长在内的概率；(2)根据平均值的计算公式求解；(3)先由分层抽样的性质确定从和组中应抽取的人数，再列出样本空间，并利用古典概型概率公式求出事件所选取的2人来自不同的组的概率．

【详解】(1)由题意知，该市市民每周利用“学习强国”时长在内的频率为，

所以估计该市市民每周利用“学习强国”时长在内的概率为0.3．

(2)由题意知各组的频率分别为0.05，0.1，0.25，0.3，0.15，0.1，0.05，

所以，

所以估计该市市民每周利用“学习强国”的平均时长在6.8小时．

(3)由（2）知，利用“学习强国”时长在和的频率分别为0.25，0.1，故两组人数分别为250，100，

采用分层抽样的方法从组抽取人数为，记作a，b，c，d，e；从组抽取人数为，记作A，B；

从7人中抽取2人的基本事件有，共21个，来自不同组的基本事件有，共10个，

故所求概率．

20．如图，在四棱锥中，四边形为正方形，平面，．F是中点．

(1)求证：平面；

(2)若，求点P到平面的距离．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】(1)由线面垂直判定定理证明平面，由此证明，结合条件证明平面；(2)根据，利用等体积法求点P到平面的距离．

【详解】(1)因为平面平面，所以，

因为四边形是正方形，所以，

因为平面，所以平面，

因为平面，所以，

因为，F是中点，所以，

因为平面，所以平面．

(2)由（1）知平面．

因为平面，所以．

同理可得．

由题意得，

所以，

所以的面积，

．

设P到平面的距离为d，则，解得．

故P到平而的距离为．

21．已知函数（为的导函数）.

(1)讨论单调性；

(2)设是的两个极值点，证明：.

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【分析】（1）令，讨论两种情况，利用导数得出单调性；

（2）由极值点的定义得出，，，由分析法结合导数证明，从而得出.

【详解】(1)的定义域为.

，设，则

当时，恒成立，在上单调递增.

当时，由，得；由，则；

即在上单调递增，在上单调递减

综上，当时，在上单调递增；

当时，在上单调递增，在上单调递减

(2)证明：，因为，是函数的两个极值点，

所以，

两式相减得，

欲证，只需证.

①

不妨设，故①变形为②

令，，

则在上单调递增，则

故②式成立，即要证不等式得证

【点睛】关键点睛：对于问题二，关键是将，取对数并利用极值点的定义得出，从而将为两个变量变为单变量，再由导数证明不等式.

22．在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

(1)求的极坐标方程和的直角坐标方程；

(2)若与交于，两点，求的值．

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）消去参数得到直线的普通方程，从得到其极坐标方程，根据将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；

（2）把代入曲线的极坐标方程，即可求出，从而得解.

【详解】(1)解：因为直线的参数方程为（为参数），

所以消去直线参数方程中的参数得，即，显然直线过原点，倾斜角为，直线的极坐标方程为．

曲线的极坐标方程化为，

将代入得：，即，

所以的极坐标方程为，的直角坐标方程为．

(2)解：把代入得，解得，

所以，

所以．

23．已知函数．

(1)求不等式的解集；

(2)设，若的最小值为m，实数a，b，c均为正数，且；求的最小值．

【答案】(1)

(2)3

【分析】（1）分段取绝对值再求解即可；

（2）根据绝对值的三角不等式可得，再根据基本不等式求解最小值即可.

【详解】(1)，即．

当时，，解得；

当时，，解得，又，所以；

当时，，解得，又，所以．

综上，不等式的解集为．

(2)，

当且仅当，即时取等号，所以，即．

所以，当且仅当时，等号成立，即的最小值为3．