2023届江西省宜春市丰城中学高三上学期入学考试数学（理）试题含解析

这是一份2023届江西省宜春市丰城中学高三上学期入学考试数学（理）试题含解析，共17页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】先求出集合A，B，再求两集合的交集即可
【详解】解：由得，
因为恒成立，所以，即.
由函数有意义，得，即.
所以.
故选：B
2．函数的图像与函数的图像关于直线对称，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】利用反函数以及对数的运算性质求解.
【详解】因为的图像与函数的图像关于直线对称，
所以，所以，
故A，B，D错误.
故选：C.
3．已知锐角满足．若要得到函数的图象，则可以将函数的图象（ ）．
A．向左平移个单位长度B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度D．向右平移个单位长度
【答案】A
【解析】由可得，代入化简得，即可知如何平移得到.
【详解】由知：，即，
∴锐角，故，
又，
∴，故是将向左平移个单位长度得到，
故选：A
【点睛】关键点点睛：由辅助角公式化简已知条件求锐角，根据的函数式，应用二倍角、诱导公式将化为正弦型函数，即可判断图象的平移方式.
4．已知命题：不等式的解集为，则实数；命题 “”是“”的必要不充分条件，则下列命题正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由不等式的解集为的条件，可判断出的真假． 不等式解得或，是否是的必要不充分条件，可判断出的真假，再利用复合命题真假的判定方法即可得出．
【详解】命题：不等式的解集为，时，可得恒成立；时，可得：，解得，综上可得：实数，因此是假命题；
命题，解得或．因此“”是“”的必要不充分条件，是真命题．
选项中命题正确的只有．
故选：D．
5．函数的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】取，此时，可排除A、C、D.
【详解】因为，所以取，此时，时，，时，，故只有B符合题意.
故选：B.
6．已知函数是定义在上的奇函数，满足.若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据函数的奇偶性和对称性求出函数的周期，结合函数的周期以及等量关系进行转化求解即可．
【详解】为定义在上的奇函数，，
令，有，
所以得到，故是以4为周期的周期函数．
则
由，故．
则．
函数为定义在上的奇函数，有， 由，∴．
故．
故选：C
7．已知，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先比较得大小，再由，即可得出答案.
【详解】因为则而，故，又.故，所以.
故选：D.
8．设函数=sin（）(＞0)，已知在有且仅有5个零点，下述四个结论：
①在（）有且仅有3个极大值点
②在（）有且仅有2个极小值点
③在（）单调递增
④的取值范围是[)
其中所有正确结论的编号是
A．①④B．②③C．①②③D．①③④
【答案】D
【分析】本题为三角函数与零点结合问题，难度大，通过整体换元得，结合正弦函数的图像分析得出答案．
【详解】当时，，
∵f（x）在有且仅有5个零点，
∴，
∴，故④正确，
由，知时，
令时取得极大值，①正确；
极小值点不确定，可能是2个也可能是3个，②不正确；
因此由选项可知只需判断③是否正确即可得到答案，
当时，，
若f（x）在单调递增，
则 ，即 ，
∵，故③正确．
故选D．
【点睛】极小值点个数动态的，易错，③正确性考查需认真计算，易出错，本题主要考查了整体换元的思想解三角函数问题，属于中档题．
9．已知函数则（ ）
A．在R上单调递增，且图象关于中心对称
B．在R上单调递减，且图象关于中心对称
C．在R上单调递减，且图象关于中心对称
D．在R上单调递增，且图象关于中心对称
【答案】D
【分析】求得在R上的单调性和图象的对称中心即可解决.
【详解】当时，，
当时，，
时，，
即对任意实数x恒有，，故图象关于中心对称；
当时，单调递增；当时，单调递增，且图像连续，
故在R上单调递增，
故选：D.
10．按如图连接圆上的五等分点，得到优美的“五角星”，图形中含有很多美妙的数学关系式，例如图中点H即为弦的黄金分制点，其黄金分割比为，且五角星的每个顶角都为36°等.由此信息你可以求出的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】利用图形的对称性在正五角星中构造顶角的角平分线，得到18°的角，根据已知比值，利用直角三角形中的边的比值计算并化简的值即得.
【详解】如图所示，设BE与AD交于点F,G为线段FH的中点，由正五角星的对称性可知：
∠AGH为直角，∠GAH=18°.
设BH=,则HE=2,FE=AH=BH=,
,
,
故选：C.
【点睛】本题考查利用图形的对称性和已知黄金分割比，构造与图形相关的特定的，并在直角三角形中利用比值求特定角的三角函数值，关键是利用对称性构造正五角星的角平分线得到所求得角，注意正确利用分母有理化化简结论.
11．若对任意的，，，恒成立，则a的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】将不等式转化为，构造函数，只需使在上递减，则在恒成立，只需恒成立，然后求解的取值范围.
【详解】因为，所以，则可化为，
整理得，因为，所以，
令，则函数在上递减，
则在上恒成立，
所以在上恒成立，
令，则在上恒成立，
则在上递减，所以，
故只需满足：.
故选：A.
【点睛】本题考查导数与不等式问题，考查构造函数，根据函数的单调性求参数的取值范围，难度较大. 解答时，针对原式进行等价变形是关键.
12．在给出的①；②；③．三个不等式中，正确的个数为（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】C
【分析】令利用导数说明函数的单调性，即可得到，从而判断①，再由，即可判断②，令，利用导数说明函数的单调性，即可得到，再由，即可判断③；
【详解】解：令，则，
所以当时，即在上单调递增，当时，即在上单调递减；
因为，所以，即，即，故①错误；
因为，所以，即，所以，即，故②正确；
再令，则，所以当是，即在上单调递增，所以，则，即，
又，，所以，即，即，所以，即，所以，即，故③正确；
故选：C
二、填空题
13．写出一个同时具有下列性质①②③的函数___________.①是定义域为的奇函数；②；③.
【答案】（答案不唯一）
【分析】根据满足的条件写出一个函数即可.
【详解】由条件①②③可知函数对称轴为，定义域为R的奇函数，可写出满足条件的函数.
故答案为：（答案不唯一）
14．如图所示，正方形ABCD的边长为1，A，D分别在x轴，y轴的正半轴(含原点)上滑动，则的最大值是________．
【答案】2
【分析】取中点为，将转化为的表达式，求的最大值即可.
【详解】如图，取BC的中点M，AD的中点N，连接MN，ON，
则，
又OMON＋NM＝AD＋AB＝，
当且仅当O，N，M三点共线时取等号．
所以的最大值为2．
故答案为：2.
15．已知函数的定义域为R，且，则______
【答案】-3
【分析】先根据题意求得函数的周期为6，再计算一个周期内的每个函数值，由此可得解．
【详解】令，则，即，
，，两式相加，
得，则，
的周期为6，
令，得，由解得，
又，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：-3
16．已知函数在区间上有且只有一个极值点，则实数的取值范围为___________.
【答案】
【分析】根据题意转化为在只有一个实数根，进而转化为方程在区间上没有实数根，得出与的图象在上没有交点，利用导数求得的单调性与最值，即可求解.
【详解】由题意，函数，
可得，
因为函数在区间上有且只有一个极值点，
所以在区间上有且只有一个实数根，
即方程在区间上有且只有一个实数根，
因为时方程的根，
所以方程在区间上没有实数根，
即方程在区间上没有实数根，
等价于与的图象在上没有交点，
又由，所以在上单调递增，
所以，且当时，，
所以，即实数的取值范围是.
故答案为：.
三、解答题
17．已知，非空集合.若是的必要条件，求m的取值范围.
【答案】
【分析】若是的必要条件，等价于是的必要条件，有，利用集合包含关系求m的取值范围.
【详解】不等式解得，∴，
若是的必要条件，等价于是的必要条件，即，所以， 有，解得，
故m的取值范围是.
18．已知函数
(1)求在点处的切线方程．
(2)求直线与曲线围成的封闭图形的面积．
【答案】(1)
(2)2
【分析】（1）首先求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，再利用点斜式求出切线方程；
（2）首先求出两函数的交点坐标，再利用定积分及微积分基本定理计算可得；
【详解】（1）解：因为，所以，所以切线的斜率，
切线过点，切线的方程为，即．
（2）解：由题知，即解得或，即或或，
直线与曲线于
则所求图形的面积
19．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知（b-a)csC=ccsA.
(1)求角C的大小；
(2)若，，求△ABC的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理，两角和的正弦公式化简已知等式，结合，可求的值，结合，可求的值；
（2）利用余弦定理化角为边可求的值，结合已知利用三角形的面积公式即可计算得解．
【详解】（1）解：因为，
由正弦定理可得，
即，
因为，
故，
因为，
故；
（2）解：因为，
，
整理可得，可得，
又，
所以．
20．某公园为了吸引更多的游客，准备进一步美化环境．如图，准备在道路AB的一侧进行绿化，线段AB长为4百米，C，D都设计在以AB为直径的半圆上．设．
（1）现要在四边形ABCD内种满郁金香，若，则当为何值时，郁金香种植面积最大；
（2）为了方便游客散步，现要铺设一条栈道，栈道由线段BC，CD和DA组成，若BC＝CD，则当为何值时，栈道的总长l最长，并求l的最大值（单位：百米）．
【答案】（1）当时，郁金香种植面积最大；（1）当为时，栈道的总长l最长，l的最大值为6百米.
【分析】(1)求出利用三角形的面积公式可得四边形ABCD关于的函数，利用三角函数的恒等变换可以得到“一角一函”的形式,然后根据角的范围利用正弦函数的性质可求得面积最大值；
(2)利用余弦定理求得关于的三角函数，相加可求出关于的三角函数表达式，利用二倍角公式和换元思想转化为二次函数的最值，进而求解.
【详解】解：(1)
∵线段AB长为4百米，所以圆的半径为2百米，即,
当时，由三角形的面积公式得：
，
，则，
，当，即时取等号，
∴当时，取得最大值，
当时，郁金香种植面积最大；
(2)由余弦定理得：
，，
，
令，∵，∴，
，
，即时，的最大值为6.
故当为时，栈道的总长l最长，l的最大值为6百米.
21．已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)时，设，若对任意，均存在，使得，求实数的取值范围.
【答案】(1)当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减.
(2)
【分析】(1)求导数，分类讨论由和，解得单调区间.
（2）问题转化为在的值域和在的值域满足：，
分别求两个函数在区间内的值域，可解得实数的取值范围.
【详解】（1）定义域为，，
当时，恒成立，所以在上单调递增；
当时，时恒成立，时恒成立，
所以在上单调递增，在上单调递减；
综上述，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减.
（2）由已知，问题转化为在的值域和在的值域满足：，
二次函数，图像抛物线开口向上，对称轴方程为，在上单调递减，在上单调递增，故在的值域.
由(1)可知，当时，在上单调递增，故值域.
所以，解得，即实数的取值范围为.
22．已知函数，其中.
(1)若函数在上单调递增，求的取值范围；
(2)若函数存在两个极值点，当时，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题知在上恒成立，进而在上恒成立，再求函数的最小值即可得答案.
（2）先求得，利用换元法表示出，通过构造函数法，利用导数，结合来求得的取值范围.
【详解】（1）解：因为，所以，
因为函数在上单调递增，
所以在上恒成立，
所以在上恒成立，
故令，则在上恒成立，
所以在上单调递增，故，
所以，即的取值范围是.
（2）解：，
对函数，设上一点为，
过点的切线方程为，
将代入上式得，
所以过的的切线方程为.
所以，要使与有两个交点，则，
此时有两个极值点，且.
，
令，则，
所以，
所以，即
所以，
令，
令，
所以在上递增.
因为，所以在上恒成立.
所以在上恒成立.
所以在上递增.
，
所以当时，，
所以的取值范围是.
【点睛】关键点点睛：本题第二问解题的关键在于先根据题意，求函数过点的切线斜率，进而得，再结合极值点的定义得，进而换元，求出，再构造函数，研究函数的单调性得并结合得答案.