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    2023届九师联盟高三上学期开学考试数学(理)试题含解析

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    2023届九师联盟高三上学期开学考试数学(理)试题含解析

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    这是一份2023届九师联盟高三上学期开学考试数学(理)试题含解析,共18页。试卷主要包含了单选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
    一、单选题
    1.若集合,则( )
    A.B.C.D.
    【答案】B
    【分析】求出函数定义域化简集合A,解一元二次不等式化简集合B,再利用交集的定义求解作答.
    【详解】函数有意义,有,即,则,
    解不等式:,即,解得,则,
    所以.
    故选:B
    2.若复数满足,则( )
    A.B.C.D.
    【答案】C
    【分析】根据复数的四则运算,先求出复数z,再求即可.
    【详解】解:由,
    得,
    所以.
    故选:C.
    3.已知为等差数列的前项和,若,则( )
    A.450B.400C.350D.225
    【答案】D
    【分析】运用等差数列的通项公式与前n项和公式运算即可.
    【详解】由解得,
    所以.
    故选:D.
    4.“”成立的一个必要不充分条件为( )
    A.B.C.D.
    【答案】C
    【分析】由题可得,然后利用充分条件,必要条件的定义分析即得.
    【详解】由,得,
    所以选项A是充要条件,选项B是既不充分又不必要条件,选项D是充分不必要条件,选项C是必要不充分条件.
    故选:C.
    5.已知、满足约束条件,则的最大值为( )
    A.B.C.D.
    【答案】A
    【分析】作出可行域,平移直线,找出使得该直线在轴上截距最大时对应的最优解,代入目标函数即可得解.
    【详解】作出可行域如下图所示:
    联立可得,即点,
    平移直线,当该直线经过可行域的顶点时,直线在轴上的截距最大,
    此时取最大值,即.
    故选:A.
    6.如图,在四边形ABCD中,E,F分别为AB,CD的中点,若,则( )
    A.B.C.D.
    【答案】A
    【分析】根据图形,利用向量的加,减,数乘运算,即可判断选项.
    【详解】由题意知,,,因为E,F分别为AB,CD的中点,所以,,所以,所以,即.
    故选:A.
    7.如图,在正方体中,点E为棱的中点,则异面直线AC与DE所成角的余弦值为( )
    A.B.C.D.
    【答案】C
    【分析】取的中点F,连接,,,可得到,则或其补角为AC与DE所成的角,再通过余弦定理求出其余弦值,即可得到答案
    【详解】解:取的中点F,连接,,,则
    因为点E,F分别为,的中点,所以,
    所以,所以或其补角为AC与DE所成的角,
    设正方体的棱长为2,则,
    所以,
    故选:C
    8.已知双曲线与斜率为1的直线交于A,B两点,若线段AB的中点为,则C的离心率( )
    A.B.C.D.
    【答案】C
    【分析】中点弦问题利用点差法处理.
    【详解】法一:设,则,
    所以,又AB的中点为,
    所以,所以,由题意知,
    所以,即,则C的离心率.故A,B,D错误.
    故选:C.
    法二:直线AB过点,斜率为1,所以其方程为,即,
    代入并整理得,
    因为为线段AB的中点,所以,整理得,
    所以C的离心率.故A,B,D错误.
    故选:C.
    9.如图,函数的图像过两点,为得到函数的图像,应将的图像( )
    A.向右平移个单位长度B.向左平移个单位长度
    C.向右平移个单位长度D.向左平移个单位长度
    【答案】D
    【分析】先根据周期求,再代入,解得,最后根据平移变换即可判断
    【详解】
    代入得 即

    对于A选项,
    ,故A错误
    对于B选项
    ,故B错误
    对于C选项
    ,故C错误
    对于D选项,
    ,故D正确
    故选:D
    10.已知是上的奇函数,且,则( )
    A.B.C.D.
    【答案】A
    【分析】由题意求得函数是周期为4的周期函数,得到,结合,得到,进而求得的值,即可求解.
    【详解】由题意,函数为上的奇函数,可得,
    所以,所以是周期为4的周期函数,
    所以,
    因为,令,得,
    因为为上的奇函数,所以,
    所以.
    故选:A.
    11.已知为抛物线的焦点,过且斜率为1的直线交于两点,若,则( )
    A.1B.2C.3D.4
    【答案】D
    【分析】通过抛物线焦点坐标及点斜式即可求解出直线的方程,代入的方程,设,根据根与系数关系即可得出与的关系,通过抛物线上的点到焦点的距离与该点到抛物线准线距离相等可知,代入即可转化为关于的二元一次方程,即可求解.
    【详解】由题意知的方程为,代入的方程,得,设,则;因为,且,所以32,整理得,所以,结合,解得.
    故选:D.
    【点睛】直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似,一般要用到根与系数的关系.
    12.已知定义在上的函数满足为的导函数,当时,,则不等式的解集为( )
    A.B.C.D.
    【答案】B
    【分析】构造函数,由条件判断其奇偶性,单调性,利用单调性解不等式即可.
    【详解】令,所以,因为,所以,化简得,
    所以是上的奇函数;

    因为当时,,
    所以当时,,从而在上单调递增,又是上的奇函数,所以在上单调递增;
    考虑到,由,
    得,即,
    由在上单调递增,得解得,
    所以不等式的解集为,
    故选:B.
    二、填空题
    13.的展开式中的系数为,则实数的一个值为___________.
    【答案】或
    【分析】利用二项展开式可得出关于的等式,即可求得实数的值.
    【详解】二项展开式的通项为,令,得,
    由题意知,解得.
    故答案为:(或).
    14.在等比数列中,,且,则数列的公比___________.
    【答案】
    【分析】根据等比数列通项公式化简不等式,解不等式求出数列的公比.
    【详解】由,得,
    由,得,,
    所以,即,
    所以,又,
    所以,
    故答案为:1.
    15.已知,则曲线在点处的切线方程为___________.
    【答案】
    【分析】利用诱导公式将曲线化简,再将代入可为切点,再对曲线,用特值法即可求得在处的切线斜率,利用直线点斜式即可解得.
    【详解】因为 ,
    所以,切点为.
    而,
    令 , 得,
    所以 ,
    所以曲线 在点 处的切线的斜率为 ,
    所以曲线 在点 处的切线方程为.即 .
    故答案为: .
    16.如图,在三棱锥中,平面平面,点在上,,过点作三棱锥外接球的截面,则截面圆面积的最小值为___________.
    【答案】
    【分析】利用等边三角形的性质以及外接球的性质,作出外接球的球心,再根据线段的数量关系求出线段,最后即可得到截面圆的最小半径.
    【详解】由题意知,和为等边三角形,如图所示:
    取BD中点为E,连接AE,CE,则,由平面平面CBD,
    平面平面,故平面CBD,

    易知球心O在平面BCD的投影为的外心,
    过作于H,易得,,
    则在中,,
    所以外接球半径,连接OM,
    因为,
    所以H,O,M三点共线,
    所以,,
    当M为截面圆圆心时截面面积最小,
    此时截面圆半径,
    面积为.
    故答案为:.
    三、解答题
    17.在中,角的对边分别为,且.
    (1)求角;
    (2)若边上的高为,求.
    【答案】(1)
    (2)
    【分析】(1)利用正弦定理边化角,再利用三角恒等变形即可求解;
    (2)利用三角形面积公式和余弦定理求解即可.
    【详解】(1)由及正弦定理,得,
    因为,所以,
    所以.
    因为,所以,所以,
    所以,
    所以,所以.
    (2)由三角形面积公式得
    ∵,,
    所以,即,
    由余弦定理得,将代入可得,
    解得或(舍去),
    故.
    18.2022年7月6日~14日,素有“数学界奥运会”之称的第29届国际数学家大会,受疫情影响,在线上进行,世界各地的数学家们相聚云端、共襄盛举.某学校数学爱好者协会随机调查了学校100名学生,得到如下调查结果:男生占调查人数的55%,喜欢数学的有40人,其余的人不喜欢数学;在调查的女生中,喜欢数学的有20人,其余的不喜欢数学.
    (1)请完成下面列联表,并根据列联表判断是否有99.5%的把握认为该校学生喜欢数学与学生的性别有关?
    (2)采用分层抽样的方法,从不喜欢数学的学生中抽取8人,再从这8人中随机抽取3人,记为3人中不喜欢数学的男生人数,求的分布列和数学期望.
    参考公式:,其中.
    临界值表:
    【答案】(1)列联表答案见解析,有的把握认为该校学生喜欢数学与学生的性别有关
    (2)分布列见解析,数学期望:
    【分析】(1)根据题意,补全列表,求出的值即可得答案;
    (2)根据分层抽样得抽取的男生有3人,女生有5人,再求出当X=0,1,2,3的概率,列出X的分布列,即可求得X的期望.
    【详解】(1)解:调查的男生人数为(人),调查的女生人数为(人),
    补全列联表如下:

    所以有的把握认为该校学生喜欢数学与学生的性别有关.
    (2)在抽取的8人中,不喜欢数学的男生人数人,不喜欢数学的女生人数人,
    由题意可知,的可能取值为,

    ,
    则的分布列为:
    故.
    【点睛】.
    19.如图,在三棱锥中,侧面底面,为的中点.
    (1)若,求证:;
    (2)若,求直线与平面所成角的正弦值.
    【答案】(1)证明见解析
    (2)
    【分析】(1)由为的中点,证得,利用线面垂直的判定定理,证得平面,进而得到.
    (2)作,垂足为点,以为坐标原点,直线分别为轴,轴建立如图所示的空间直角坐标系,设,求得平面的法向量和向量的坐标,结合向量的夹角公式,即可求解.
    【详解】(1)证明:因为为的中点,且,
    所以,
    又因为,且平面,所以平面,
    因为平面,所以.
    (2)解:作,垂足为点,
    因为平面底面,平面底面平面,
    所以平面.
    以为坐标原点,直线分别为轴,轴建立如图所示的空间直角坐标系,
    如图所示,设,
    因为,所以,所以,
    则,
    设是平面的法向量,则 ,
    取,可得,所以,
    设直线与平面所成角为,
    则,
    所以直线与平面所成角的正弦值为.
    【点睛】20.已知椭圆的左,右焦点分别为,,且,与短轴的两个端点恰好为正方形的四个顶点,点在E上.
    (1)求E的方程;
    (2)过点作互相垂直且与x轴均不重合的两条直线分别交E于点A,B和C,D,若M,N分别是弦AB,CD的中点,证明:直线MN过定点.
    【答案】(1)
    (2)证明见解析
    【分析】(1)由条件列出关于的方程,解方程求得a和b的值,即可求得椭圆的标准方程;
    (2)设直线l的方程,代入椭圆方程,利用韦达定理及中点坐标公式,即可求得M和N点坐标,求分情况求MN方程,由此证明直线MN过定点.;
    【详解】(1)设,因为两个焦点和短轴的两个端点为正方形的四个顶点,所以,
    因为点在E上,所以,又,
    解得,
    所以E的方程为.
    (2)由(1)知,由题意知直线AB和直线CD的斜率都存在且不为0,设直线AB方程为:,与E的方程联立
    ,消去x并整理,得,
    且,
    设,则,所以,
    所以点M的坐标为,
    因为,则直线CD的方程为,
    同理得,
    当,即时,直线MN的斜率,
    所以直线MN的方程为,
    所以,
    因为,
    所以直线MN的方程即为,显然直线MN过定点;
    当,即时,则或,
    此时直线MN的方程为,也过点.
    综上所述,直线MN过定点.
    【点睛】本题第二小问解决的关键在于联立方程组求出的坐标,由此确定直线方程,并判断直线过定点.
    21.已知函数.
    (1)讨论的单调性;
    (2)当时,判断曲线与曲线交点的个数,并说明理由.
    【答案】(1)答案见解析
    (2)两个交点,理由见解析
    【分析】(1)求函数的导函数,通过讨论确定不等式,的解集,由此确定的单调性;(2)设,利用导数研究其单调性,结合零点存在性定理判断其零点的个数,由此确定曲线与曲线交点的个数.
    【详解】(1)的定义域为,,
    当时,
    ,则在上为增函数;
    当时,
    令,得,
    令可得,
    所以在上单调递减,在上单调递增.
    (2)因为,所以,
    设,则其定义域为,
    ,且.
    设,
    则,当且仅当时,
    所以在上单调递减,
    所以当时,;当时,,
    即当时,;当时,,
    所以在上单调递增,在上单调递减,
    故,
    取,则,
    所以,即;
    ,考虑到,则,即,又,所以,
    所以在和上各有一个零点,即有两个零点,
    故曲线与曲线有两个交点.
    22.在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数).以O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
    (1)求的普通方程和的直角坐标方程;
    (2)若与交于相异两点A,B,且,求m的值.
    【答案】(1),
    (2)或
    【分析】(1)平方消参得到的普通方程,利用直角坐标和极坐标互化公式求出的直角坐标方程;
    (2)由(1)中求出的直角坐标方程,结合垂径定理求解
    【详解】(1)在的参数方程中消去参数,得的普通方程为;
    由得,
    又,所以的直角坐标方程为.
    (2)由(1)知曲线是以为圆心,2为半径的圆,曲线为直线,
    则圆心到曲线的距离,
    因为,所以,
    解得:,或.
    23.已知,证明:
    (1);
    (2).
    【答案】(1)证明见解析
    (2)证明见解析
    【分析】(1)利用均值不等式可证该不等式.
    (2)利用均值不等式可证,从而可证题设中的不等式.
    【详解】(1)法一:因为,
    所以.
    当且仅当,即时等号成立.
    法二:因为,
    所以,当且仅当,即时等号成立.
    所以,当且仅当,即时,等号成立.
    综上,,当且仅当时,等号成立.
    (2)因为,当且仅当时等号成立;
    ,当且仅当时等号成立;
    ,当且仅当时等号成立,
    所以,当且仅当时等号成立.
    因为,所以,
    所以.
    喜欢数学
    不喜欢数学
    合计
    男生
    女生
    合计
    0.10
    0.05
    0.01
    0.005
    0.001
    2.706
    3.841
    6.635
    7.879
    10.828
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    不喜欢数学
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    男生
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    15
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    女生
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    25
    45
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    40
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