2023届九师联盟高三上学期开学考试数学（文）试题含解析

这是一份2023届九师联盟高三上学期开学考试数学（文）试题含解析，共19页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．若集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先解出集合，再通过交集运算算出，即可得到答案
【详解】解：由题意知，所以，
故选：B.
2．若复数z满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由复数的除法法则求解．
【详解】由，得.
故选：C.
3．在区间上随机取一个数，则事件“”的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据余弦函数的性质解不等式，再结合几何概型求解即可.
【详解】解：因为，所以，
故所求概率.
故选：A.
4．“”成立的一个必要不充分条件为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由题可得，然后利用充分条件，必要条件的定义分析即得.
【详解】由，得，
所以选项A是充要条件，选项B是既不充分又不必要条件，选项D是充分不必要条件，选项C是必要不充分条件.
故选：C.
5．从某中学甲、乙两班各随机抽取10名同学，测量他们的身高（单位：cm），所得数据用茎叶图表示如下，由此可估计甲、乙两班同学的身高情况，则下列结论正确的是（ ）
A．甲乙两班同学身高的极差不相等B．甲班同学身高的平均值较大
C．甲班同学身高的中位数较大D．甲班同学身高在175cm以上的人数较多
【答案】A
【分析】根据极差、平均值、中位数的定义分析ABC，根据数据特征判断D.
【详解】甲班同学身高极差为：182-157=25，乙班同学身高极差为：182-159=23，即甲乙两班同学身高的极差不相等，故A正确；
甲班身高平均值为：
，
，
故乙班同学身高平均值较大，即B错误；
甲班同学身高从低到高排列为：，
则中位数为：，
甲班同学身高从低到高排列为：，
则中位数为：，
故乙班同学身高的中位数较大，即C错误；
甲乙两班同学身高在175cm以上的人数的数量分别为3和4，故D错误.
故选：A.
6．如图，在四边形ABCD中，E，F分别为AB，CD的中点，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据图形，利用向量的加，减，数乘运算，即可判断选项.
【详解】由题意知，，，因为E，F分别为AB，CD的中点，所以，，所以，所以，即.
故选：A.
7．已知定义在上的奇函数满足，当时，，则（ ）
A．3B．0C．D．
【答案】D
【分析】利用函数的周期性、奇偶性、对称性以及函数的解析式进行求解处理.
【详解】因为，所以，所以的周期为4，
所以，
又是定义在上的奇函数，所以，
所以，
又因为在中，令，得，
所以，又当时，，所以令，，
所以.故A，B，C错误.
故选：D.
8．如图，在正方体中，点E为棱的中点，则异面直线AC与DE所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】取的中点F，连接，，，可得到，则或其补角为AC与DE所成的角，再通过余弦定理求出其余弦值，即可得到答案
【详解】解：取的中点F，连接，，，则
因为点E，F分别为，的中点，所以，
所以，所以或其补角为AC与DE所成的角，
设正方体的棱长为2，则，
所以，
故选：C
9．如图，函数的图像过两点，为得到函数的图像，应将的图像（ ）
A．向右平移个单位长度B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度D．向左平移个单位长度
【答案】D
【分析】先根据周期求，再代入，解得，最后根据平移变换即可判断
【详解】
代入得 即
即
对于A选项，
,故A错误
对于B选项
，故B错误
对于C选项
，故C错误
对于D选项，
，故D正确
故选：D
10．已知双曲线与斜率为1的直线交于A，B两点，若线段AB的中点为，则C的离心率（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】中点弦问题利用点差法处理.
【详解】法一：设，则，
所以，又AB的中点为，
所以，所以，由题意知，
所以，即，则C的离心率.故A，B，D错误.
故选：C.
法二：直线AB过点，斜率为1，所以其方程为，即，
代入并整理得，
因为为线段AB的中点，所以，整理得，
所以C的离心率.故A，B，D错误.
故选：C.
11．下列函数中，最小值不为2的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】利用均值不等式、导数、切线、一元二次函数并结合图形以及平方的处理方法进行求解.
【详解】对于A，，当且仅当，即时等号成立，故最小值为2，故A错误；
对于B，因为，所以，
所以在上单调递增，在上单调递减，
从而为极小值点，又当时，，当时，，所以函数的最小值为2，故B错误；
对于C，，因为可以看作点与点连线的斜率，
又点在圆上，易求得PA斜率的最小值为，所以，故C错误；
对于D，因为，所以，显然，所以y的最小值为3，不是2.故D正确.
故选：D.
12．如图，在三棱锥中，平面平面CBD，，点M在AC上，，过点M作三棱锥外接球的截面，则截面圆面积的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用等边三角形的性质以及外接球的性质，作出外接球的球心，再根据线段的数量关系求出线段，最后即可得到截面圆的最小半径.
【详解】由题意知，和为等边三角形，如图所示：
取BD中点为E，连接AE，CE，则，由平面平面CBD，
平面平面，故平面CBD，
，
易知球心O在平面BCD的投影为的外心，
过作于H，易得，，
则在中，，
所以外接球半径，连接OM，
因为，
所以H，O，M三点共线，
所以，，
当M为截面圆圆心时截面面积最小，
此时截面圆半径，
面积为.
故选：A.
二、填空题
13．已知x，y满足约束条件，则的最大值为__________.
【答案】5
【分析】首先画出可行域，根据的几何意义求其最小值.
【详解】画出可行域（如图阴影部分），
可化为，表示该直线在轴上的截距的3倍的相反数，
过区域内的点作斜率为的直线，观察图象可得
当直线经过点A时，直线在轴上的截距最小，此时z的取值最大，
联立可得
所以当时，z取最大值，最大值为，
故答案为：5.
14．已知，则曲线在点处的切线方程为__________.
【答案】
【分析】利用导函数求得即为切线斜率，由原函数求得，由直线点斜式方程整理得到结果.
【详解】因为，所以，又，
故所求切线方程为，即.
故答案为：.
15．已知抛物线，过的焦点且斜率为的直线交于两点，若，则__________.
【答案】4
【分析】根据题意，得到直线的方程为，联立方程组，得到，结合抛物线的定义和，得出关于的方程，即可求解.
【详解】由题意，抛物线，可得，则直线的方程为，
联立方程组，整理得，
设，则，
因为且，
所以，即，
所以，可得，因为，所以.
故答案为：.
16．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，D在边BC上，且AD平分，，，，则的面积为__________.
【答案】
【分析】利用正弦定理把式子中的角转化成边，化简后可得值，又由及可求出的值，从而得到的值.
【详解】由及正弦定理，得
，即，
由余弦定理得，又，所以，
因为AD平分，所以，
又因为，
即，化简得；
由及正弦定理，得.与联立，
解得.所以.
故答案为：
三、解答题
17．2022年7月6日~14日，素有“数学界奥运会”之称的第29届国际数学家大会，受疫情影响，在线上进行，世界各地的数学家们相聚云端、共襄盛举.某学校数学爱好者协会随机调查了学校100名学生，得到如下调查结果：男生占调查人数的，喜欢数学的有40人，其他的不喜欢数学；在调查的女生中，喜欢数学的有20人，其他的不喜欢数学.
(1)请完成下面列联表；
(2)根据列联表，判断是否有的把握认为该校学生喜欢数学与学生的性别有关？
参考公式：，其中.
临界值表：
【答案】(1)列联表见解析
(2)有
【分析】（1）结合已知条件完成表格；
（2）结合列联表和计算公式，进行独立性检验求解即可.
【详解】(1)调查的男生人数为（人），
调查的女生人数为（人），
补全列联表如下：
(2)，
所以有的把握认为该校学生喜欢数学与学生的性别有关.
18．如图，在直三棱柱中，D为棱的中点.
(1)证明：平面；
(2)设P为与的交点，若是边长为2的等边三角形，，求点P到平面的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）连接交于点E，连接DE，可得，从而可证平面.
（2）利用等积法可求点P到平面的距离.
【详解】(1)证明：连接交于点E，连接DE，则E为的中点，
又D为的中点，所以.
因为平面，平面，所以平面.
(2)由（1）知平面，且，
故点P到平面的距离等于点到平面的距离，设为d.
因为，
所以，
所以，所以，所以的面积为.
连接，则三棱锥的体积，
又三棱锥的体积等于三棱锥的体积，
所以，所以，所以点P到平面的距离为.
19．在数列中，，且，.
(1)求的通项公式；
(2)若，且数列的前项n和为，证明：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由已知得当，再和已知的式子相减化简后利用累乘法可求出通项公式，
（2）由（1）得当时，，利用裂项相消法可求得，从而可证得结论.
【详解】(1)解：因为，
所以当，
两式相减，得，即，
当时，，
所以当时，，
所以当时，，
当时，上式成立；当时，上式不成立，
所以
(2)证明：由（1）知
当时，，
所以当，；
当时，
.
综上，.
20．已知函数.
(1)若是的极值点，求a的值，并判断是的极大值点还是极小值点？
(2)若在内有零点，求实数a的取值范围.
【答案】(1)，极小值点
(2)
【分析】（1）是的极值点，利用求出参数a，进而利用导数研究函数的极值点
（2）方法一直接求导，对a的范围进行讨论，研究导函数的正负进而研究的单调性，利用单调性列不等式求出a的取值范围；方法二利用原函数等于0分离参数，构造新函数，研究的单调性找到它的值域，进而求出a的取值范围．
【详解】(1)，
由题意得，解得.
当时，，
当时，；当时，；当时，，
所以在和上单调递增，在上单调递减，
所以是的极小值点.
(2)法一：.
①当时，，所以，从而在上为减函数，
由解得，
所以当时，在内有一个零点.
②当时，，所以，从而在上为增函数，
所以，
此时，在内没有零点.
③当时，，当时，；当时，，
所以在上为增函数，在上为减函数，
又，
所以，此时在内没有零点，
综上，实数a的取值范围为
法二：考虑到在内有零点，令，
整理，得.
由，得，所以.
设，则.
设，则，
所以在上为减函数，从而，
所以，从而在上为增函数，
又，
所以的值域为，于是，即，
故实数a的取值范围为.
【点睛】本题主要考查导数的极值点、零点等综合问题，考查学生分类讨论思想、数形结合思想，属于中档题．
21．已知椭圆的左，右焦点分别为，，且，与短轴的两个端点恰好为正方形的四个顶点，点在E上.
(1)求E的方程；
(2)过点作互相垂直且与x轴均不重合的两条直线分别交E于点A，B和C，D，若M，N分别是弦AB，CD的中点，证明：直线MN过定点.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由条件列出关于的方程，解方程求得a和b的值，即可求得椭圆的标准方程；
（2）设直线l的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及中点坐标公式，即可求得M和N点坐标，求分情况求MN方程，由此证明直线MN过定点.；
【详解】(1)设，因为两个焦点和短轴的两个端点为正方形的四个顶点，所以，
因为点在E上，所以，又，
解得，
所以E的方程为.
(2)由（1）知，由题意知直线AB和直线CD的斜率都存在且不为0，设直线AB方程为：，与E的方程联立
，消去x并整理，得，
且，
设，则，所以，
所以点M的坐标为，
因为，则直线CD的方程为，
同理得，
当，即时，直线MN的斜率，
所以直线MN的方程为，
所以，
因为，
所以直线MN的方程即为，显然直线MN过定点；
当，即时，则或，
此时直线MN的方程为，也过点.
综上所述，直线MN过定点.
【点睛】本题第二小问解决的关键在于联立方程组求出的坐标，由此确定直线方程，并判断直线过定点.
22．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
(1)求的普通方程和的直角坐标方程；
(2)若与交于相异两点A，B，且，求m的值.
【答案】(1)，
(2)或
【分析】（1）平方消参得到的普通方程，利用直角坐标和极坐标互化公式求出的直角坐标方程；
（2）由（1）中求出的直角坐标方程，结合垂径定理求解
【详解】(1)在的参数方程中消去参数，得的普通方程为；
由得，
又，所以的直角坐标方程为.
(2)由（1）知曲线是以为圆心，2为半径的圆，曲线为直线，
则圆心到曲线的距离，
因为，所以，
解得：，或.
23．已知，证明：
(1)；
(2).
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）利用均值不等式可证该不等式.
（2）利用均值不等式可证，从而可证题设中的不等式.
【详解】(1)法一：因为，
所以.
当且仅当，即时等号成立.
法二：因为，
所以，当且仅当，即时等号成立.
所以，当且仅当，即时，等号成立.
综上，，当且仅当时，等号成立.
(2)因为，当且仅当时等号成立；
，当且仅当时等号成立；
，当且仅当时等号成立，
所以，当且仅当时等号成立.
因为，所以，
所以.
喜欢数学
不喜欢数学
合计
男生
女生
合计
0.10
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
喜欢数学
不喜欢数学
合计
男生
40
15
55
女生
20
25
45
合计
60
40
100