2023届北京市房山区良乡中学高三上学期期中数学试题含解析

这是一份2023届北京市房山区良乡中学高三上学期期中数学试题含解析，共14页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023届北京市房山区良乡中学高三上学期期中数学试题 一、单选题1．已知集合，，则A∩B=（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】先解出集合A,再进行A∩B.【详解】解：∵A={x|﹣1<x<1}，B={﹣1，0，1，2}，∴A∩B={0}.故选：D.【点睛】集合的交并运算：(1)离散型的数集用韦恩图；(2) 连续型的数集用数轴．2．已知向量，且，则（    ）A． B． C．6 D．8【答案】C【分析】由题意，利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，求得m的值．【详解】解：∵向量，，则m=6，故选：C.【点睛】方法点睛：判断向量垂直或平行的方法：（1）若，则；（2）若，则.3．已知，且，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】由同角三角函数基本关系的平方关系可以求出的值且，再利用即可求解.【详解】由得，因为，所以，所以，所以，故选：A4．下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据函数的单调性、奇偶性的定义及判断方法判断即可.【详解】对于A，函数是偶函数，在递减，不合题意；故A错误，对于B，函数是偶函数，在递增，合题意；故B正确，对于C，函数不是偶函数，不符合题意；故C错误，对于D，函数在不是单调递增，不符合题意；故D错误.故选：B.5．函数的零点一定位于区间A．（1, 2） B．（2, 3） C．（3, 4） D．（4, 5）【答案】B【详解】试题分析：因为，，所以，根据根的存在性定理可知，函数的零点在区间内.【解析】零点存在性定理.6．已知a，3，b，9，c成等比数列，且，则等于（    ）A． B． C． D．1【答案】A【分析】根据等比数列的性质和对数的运算性质即可求出.【详解】a，3，b，9，c成等比数列，则，，∴，∴，故选：A.【点睛】该题考查的是有关等比数列与对数运算的综合题，涉及到的知识点有等比数列的性质，对数式运算法则，属于基础题目.7．函数的部分图象如图示，则将的图象向右平移个单位后，得到的图象解析式为 （ ）A． B．C． D．【答案】D【详解】由图像知A="1," ,,得，则图像向右移个单位后得到的图像解析式为，故选D．8．已知函数，则下列命题错误的是（    ）A．该函数图象关于点对称；B．该函数的图象关于直线对称；C．该函数在定义域内单调递减；D．将该函数图象向左平移一个单位，再向下平移一个单位后与函数的图象重合．【答案】C【分析】依题意可得，再根据函数的平移变换及反比例函数的性质判断即可.【详解】解：把向右，向上分别平移1个单位即可得到的图象，因为为奇函数，关于对称，所以的图象关于点对称，故A正确；则将的图象向左平移一个单位，再向下平移一个单位得到，故D正确由于函数的图象关于对称，根据函数的图象的平移可知函数的图象关于对称，故B正确在，上单调递减，但在整个定义域内不具备单调性，故C错误故选：C．9．设是等差数列，且公差不为零，其前项和为．则“，”是“为递增数列”的（    ）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】根据等差数列的前项和公式以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】是等差数列，且公差不为零，其前项和为，充分性：，则对任意的恒成立，则，，若，则数列为单调递减数列，则必存在，使得当时，，则，不合乎题意；若，由且数列为单调递增数列，则对任意的，，合乎题意.所以，“，”“为递增数列”；必要性：设，当时，，此时，，但数列是递增数列.所以，“，”“为递增数列”.因此，“，”是“为递增数列”的充分而不必要条件.故选：A.【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合等差数列的前项和公式是解决本题的关键，属于中等题．10．已知函数，若存在非零实数，使得成立，则实数的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】由知只要函数与的图象在时有交点即可．也即在上有解，分离参数后求出相应函数的值域即得．【详解】∵存在非零实数，使得成立，由把关于轴对称后的图象与有交点，它们都过原点，如图，，，，即的图象在原点处切线斜率为1，∴，即．故选：A．【点睛】本题考查函数方程有解问题，解题时根据对称性转化为两个函数图象有交点，由于两个函数图象均过原点，因此求出曲线在原点处切线的斜率，结合图形可得解． 二、填空题11．函数的定义域为___________.【答案】【分析】根据对数的真数大于零，分母不为零可得出关于的不等式组，由此可解得原函数的定义域.【详解】由题意得，解得：且，故函数的定义域是.故答案为：.12．已知向量满足，则的最大值为___________.【答案】【分析】根据题意，结合数量积公式，可得，分析可得当同向共线时，最大，即可得答案.【详解】因为向量满足，则.当向量同向共线时，，此时取得最大值.故答案为：.13．已知，则的大小关系是__________．（用“<”号联结）【答案】【分析】将分别与中间量比较大小即可得出间的大小关系.【详解】，所以，，所以，，所以，，所以，所以.故答案为：14．已知直线和是曲线的相邻的两条对称轴，则满足条件的一个的值是___________.【答案】（答案不唯一）【分析】根据周期求，再根据函数的对称性求.【详解】由条件可知，得，当时，，，得，，当时，.故答案为：（答案不唯一）15．定义在区间上的连续函数，如果，使得，则称为区间上的“中值点”，下列函数：①；②；③；④中，在区间上“中值点”多于一个的函数序号为__________．（写出所有满足条件的函数的序号）【答案】①④【详解】①∵，，∴，均符合题意．②∵，．∵，∴，∴，不符合题意；③∵，∴，∴不符合题意；④∵，．∴．符合题意．点睛：本题考查了新定义的命题真假的判断问题，重点是对导数及其几何意义的理解与应用问题，根据“中值点”的几何意义是在区间[a，b]上存在点，使得函数在该点的切线的斜率等于区间[a，b]的两个端点连线的斜率值．由此定义并结合函数的图象与性质，对于四个选项逐一判断，即得出正确答案． 三、解答题16．已知等差数列和等比数列满足a1=b1=1,a2+a4=10,b2b4=a5．（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）求和：．【答案】（1）an=2n−1.（2）【详解】试题分析：（Ⅰ）设等差数列的公差为，代入建立方程进行求解；（Ⅱ）由是等比数列，知依然是等比数列，并且公比是，再利用等比数列求和公式求解.试题解析：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d.因为a2+a4=10，所以2a1+4d=10.解得d=2.所以an=2n−1.（Ⅱ）设等比数列的公比为q.因为b2b4=a5，所以b1qb1q3=9.解得q2=3.所以.从而.【名师点睛】本题考查了数列求和，一般数列求和的方法：（1）分组转化法，一般适用于等差数列+等比数列的形式；（2）裂项相消法求和，一般适用于，,等的形式；（3）错位相减法求和，一般适用于等差数列等比数列的形式；（4）倒序相加法求和，一般适用于首末两项的和是一个常数，这样可以正着写和与倒着写和，两式相加除以2即可得到数列求和.  17．已知函数．(1)求的值；(2)求的单调递增区间；(3)求在区间上的最小值及此时的取值．【答案】(1)1(2)(3)当时，取到最小值 【分析】（1）利用三角恒等变换化简得，代入运算求值；（2）以为整体，结合正弦函数的单调区间运算求解；（3）先求的范围，结合正弦函数图象分析运算.【详解】（1）∵，∴.（2）∵，则，∴的单调递增区间为.（3）∵，则，∴，即，故当，即时，取到最小值.18．在△ABC中，，，再从条件①､条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：（1）的值；（2）的面积.条件①：；条件②：.【答案】（1）答案见解析；（2）.【分析】（1）若选①，先利用余弦定理列出关于，，的表达式，然后将及代入，得到关于的方程，解出，再利用正弦定理解出,则；若选②，由可解出的值，然后可利用求解的值；（2）若选①，根据（1）的结果可直接得出的值，然后运用求面积；若选②，根据（1）的结果先计算得出的值，然后再联立可解出，的值，再运用正弦定理解得，从而得出面积.【详解】解：选择条件①：（1）在中，由余弦定理，可得，解得，由正弦定理，所以，因此，在△ABC中，，有.（2）当时，，则.选择条件②：（1）在中，，因为，则，又因为，所以，即.（2）在△ABC中，由正弦定理，又因为，所以，，又，利用正弦定理可解得则.【点睛】在利用正弦定理、余弦定理解三角形时，一般已知两角和其中一角的对边或或已知两边和其中一边的对角，可采用正弦定理求解；当已知两边及其夹角或已知一角及三边关系时可采用余弦定理求解.在解答的过程中有时需要用到三角恒等变换的公式，如和差角公式、降幂公式等.19．已知函数在及时取得极值．(1)求的值；(2)若对于任意的，都有成立，求的取值范围．【答案】(1)；(2) 【分析】（1）求解导函数，可得的两根为和，再由韦达定理列方程组求解；（2）将条件转化为时，，根据导函数判断函数在上的单调性，从而求解出，从而可求解出答案.【详解】（1），由题意，的两根分别为和，由韦达定理得，，解得 经检验，符合题意所以（2）对于任意的，都有成立，只需当时，，由（1）知，，或，当时，或，当时，，所以在和上是增函数，在上是减函数，所以函数的极大值为，又，所以函数在上的最大值为.所以，即的取值范围为.20．已知函数.（1）若曲线在点处的切线斜率为1，求实数a的值；（2）当时，求证：；（3）若函数在区间上存在极值点，求实数a的取值范围.【答案】（1）（2）证明见解析（3）【解析】（1）利用导数的几何意义求解即可；（2）利用导数得出函数的单调性，进而得出其最小值，即可证明；（3）分类讨论的值，利用导数得出的单调性，结合题意，即可得出实数a的取值范围.【详解】解：（1）因为，所以.由题知，解得.（2）当时，，所以.当时，，在区间上单调递减；当时，，在区间上单调递增；所以是在区间上的最小值.所以.（3）由（1）知，.若，则当时，，在区间上单调递增，此时无极值.若，令，则.因为当时，，所以在上单调递增.因为，而，所以存在，使得.和的情况如下：x0极小值 因此，当时，有极小值.综上，a的取值范围是.【点睛】本题主要考查了利用导数证明不等式，导数几何意义的应用等，属于中档题.21．已知函数(1)求函数单调区间；(2)设函数，若是函数的两个零点，①求的取值范围；②求证：．【答案】(1)单调递增区间为；单调递减区间为(2)①；②证明见解析 【分析】（1）求导后，根据正负即可得到的单调区间；（2）①将问题转化为与在上有两个不同的交点，采用数形结合的方式可求得结果；②由①可得，设，利用导数可求得，进而得到，即，根据的范围和单调性可得结论.【详解】（1）定义域为，，当时，；当时，；的单调递增区间为；单调递减区间为.（2）①若是的两个不同零点，则与在上有两个不同交点；由（1）知：，又，在的图象如下图所示，由图象可知：，，即的取值范围为.②不妨设，由①知：，，，在上单调递增，在上单调递减；设，则，在上单调递减，，，又，，又，；，，在上单调递增，，则.【点睛】方法点睛：处理极值点偏移问题中的类似于（）的问题的基本步骤如下：①求导确定的单调性，得到的范围；②构造函数，求导后可得恒正或恒负；③得到与的大小关系后，将置换为；④根据与所处的范围，结合的单调性，可得到与的大小关系，由此证得结论.