2023届上海市上海大学附属嘉定高级中学高三上学期期中数学试题含解析

这是一份2023届上海市上海大学附属嘉定高级中学高三上学期期中数学试题含解析，共13页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知陈述句是的充分非必要条件.若集合满足，满足，则与的关系为（ ）
A．B． C．D．
【答案】A
【分析】根据充要条件和集合的包含关系可得.
【详解】因为是的充分非必要条件，所以成立时一定成立
所以x满足时，x一定满足，所以，
又成立时推不出成立，即x满足时x不一定满足，所以N不是M的子集.
故选：A
2．若函数在区间上存在零点，则常数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】先利用导数判断出函数在区间上为增函数，再解不等式，，即得解.
【详解】由题得在区间上恒成立，
所以函数在区间上为增函数，
所以，，
可得.
故选：C.
【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和零点，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
3．下列函数中，既是上的增函数，又是偶函数的是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】对选项的函数的单调性和奇偶性作判断.
【详解】对A奇函数；对B非奇非偶函数；对C：是偶函数，在是减函数.
故选：D
【点睛】本题考查了函数的单调性和奇偶性，属于容易题.
4．已知函数．设，若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围是
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】满足题意时的图象恒不在函数下方，
当时，函数图象如图所示，排除C,D选项；
当时，函数图象如图所示，排除B选项，
本题选择A选项.
二、填空题
5．若集合，，则_____________．
【答案】
【分析】分别求解集合，再根据交集运算即可.
【详解】解：或，
则.
故答案为：.
6．若，用表示_____________．
【答案】##
【分析】根据求解即可.
【详解】解：因为，
所以
故答案为：
7．在中，已知，则_____________．
【答案】
【分析】根据余弦，求出正弦，结合诱导公式，余弦的和角公式进行计算.
【详解】中，，故，
因为，所以，
所以
.
故答案为：.
8．若，则x是_____________象限角．
【答案】第二或第四
【分析】由题目条件判断出，符号，后结合，定义可得答案.
【详解】因，故，异号.
又设角x终边与单位圆交于，则.
当时，即，此时在第四象限，即x为第四象限角.
当时，即，此时在第二象限，即x为第二象限角.
故答案为：第二或第四
9．若，则的取值范围是_____________．
【答案】
【分析】利用基本不等式的性质，可得，取等条件也符合即可得解.
【详解】由可得：
，
当且仅当时，即时取等，
故答案为：.
10．已知不等式|x－m|<1成立的充分不必要条件是，则m的取值范围是________
【答案】
【分析】先求出不等式的解集，又设，则是的真子集，再求得的取值范围.
【详解】由不等式|x－m|<1，得，即其解集，
又设，由已知知是的真子集，
得（等号不同时成立） ，得.
故答案为：
【点睛】本题考查了不等式的解法，考查了将充分不必要条件转化为集合的包含关系，属于基础题.
11．设，求方程的解集__________.
【答案】
【解析】分四种情况去绝对值求解即可.
【详解】当时，原方程化为：，
即，
故此时；
当时，原方程化为：，
即，
故此时，与矛盾，舍掉；
当时，原方程化为：，
即，
解得，与矛盾，舍掉；
当时，原方程化为：，
即，
故此时；
综上所述：方程的解集为：.
故答案为：.
12．若函数在区间上的最大值和最小值之和为6，则实数______.
【答案】2
【解析】对和两种情况进行讨论，根据单调性得到最值，再根据条件列关系计算即可.
【详解】当时，函数在区间上是增函数，
所以，，由于最小值和最大值之和 6，即：，
解得：或﹣3（负值舍去）；
当，函数在区间上是减函数，
所以，，由于最小值和最大值之和 6，即：，
解得：或﹣3，而，故都舍去.
故答案为：2.
【点睛】利用指数函数单调性研究最值时，要注意对底数和两种情况分类讨论，这是本题的易错点.
13．设函数是定义在R上的奇函数，当时，，则满足的x取值范围是_____________．
【答案】
【分析】根据奇函数的性质求得的解析式，分别解不等式即可得解.
【详解】当时，，解得，
当时，，
当时，，
解得，，
故x取值范围是，
故答案为：.
14．设是上的奇函数，且，当时，，则_____________．
【答案】
【分析】推导出函数为周期函数，且周期为，利用函数的周期性和奇偶性可求得的值.
【详解】由题意可得，所以，函数为周期函数，且周期为，
所以，.
故答案为：.
15．若函数在上有零点，则实数m的取值范围是_____________．
【答案】
【分析】首次按钮根据零点定义可得在上有解，参变分离可得，通过换元可得，由求范围即可得解.
【详解】由，
得，
令，
得，
所以.
故答案为 ：
16．已知函数，其中，若方程有三个不同的实数根，则实数k的取值范围_____________．
【答案】
【分析】根据题意，讨论，与时，的图像与的的图像的交点问题，利用数形结合，即可得到答案.
【详解】
如图，，则的图像如上，明显地，与不可能有交点，故时不符题意；
如图，，则的图像如上，明显地，与有三个不同交点时，必有，解得，
而时，明显不符题意；
故答案为：
三、解答题
17．（1）若为锐角，，求角；
（2）如图，圆心在原点，半径为2的圆与正半轴交于点，，是圆上的两动点，它们同时从点出发沿圆周作匀速运动，点逆时针方向每秒转，点顺时针方向每秒转，当它们出发后第2次相遇时，求该点坐标．
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）给值求角问题，结合同角三角函数的平方公式以及两角差的正弦公式求解即可得角；
（2）根据题意确定一次相遇所需时间，则可知相遇两次后按逆时针旋转的点走过的弧度，再利用三角函数的定义确定相遇点的坐标即可.
【详解】解：（1）因为为锐角，
所以，则
所以
因为为锐角，所以.
（2）由于点逆时针方向每秒转，点顺时针方向每秒转，∴，即，
第一次相遇时需要4秒，
它们出发后第2次相遇时需要8秒，则此时走过的弧度为
∴此时该点的坐标为，其中半径，
又，
则当它们出发后第2次相遇时，该点坐标为.
18．（1）已知集合，且，求实数的取值范围；
（2）已知函数（常数）问：是否存在整数，使该函数在区间上是严格减函数，并且函数值不恒为负？若存在，求出符合条件的，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）或.
【分析】（1）求解绝对值不等式与分式不等式可得集合，再根据集合的包含关系列不等式组求解；（2）利用分离常数法将函数化为，由函数单调递减，根据反比例函数的性质可得，再将函数值不恒为负转化为在上有解，从而得在上有解，即得在上有解，求解得的范围，再结合可求解出值.
【详解】（1）求解，得，
所以集合，
求解，得，
所以集合，
因为，所以，解得，
所以实数的取值范围为.
（2）因为函数，
要使该函数在上是严格减函数，
由反比例函数的性质可得，，得.
要使函数值不恒为负，则在上有解，
即在上有解，因为，
只需，即在上有解，
解得，又且，
所以或
19．在中，.
（1）求的值；
（2）若，求bc的最大值.
【答案】（1） （2）
【解析】（1）用降幂公式、二倍角公式、诱导公式化式子为的代数式，再代入计算；
（2）用余弦定理建立关系，用基本不等式求得最大值．
【详解】解：（1）.
（2）由余弦定理，得，
又
又
当且仅当时，，
故bc的最大值为.
【点睛】本题考查二倍角公式、诱导公式，考查余弦定理及基本不等式．难度不大．属于中档题．
20．已知函数．
(1)若，解关于x的方程；
(2)讨论的奇偶性，并说明理由；
(3)若在上恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)或
(2)当时，为奇函数；当时，为偶函数；当时，函数为非奇非偶函数；
(3)
【分析】（1）由题意，代入即可求解；
（2）要判断函数的奇偶 性，只有检验与的关系即可；
（3）根据原不等式，分离参数，构造函数求最小值，即可得实数的取值范围.
【详解】（1）解：由题意，
，，
由可整理得：，则可得或，
或；
（2）解：函数定义域，
①当为奇函数时，，
，
，
；
②当为偶函数时，，
，
，
；
③当时，函数为非奇非偶函数；
综上，当时，为奇函数；当时，为偶函数；当时，函数为非奇非偶函数.
（3）解：若在上恒成立，则，整理得
令，由，则，
又令，，所以是上的减函数
所以
故实数的取值范围为.
21．已知函数．
(1)若，求函数在处的切线方程；
(2)若，求函数在上的最大值和最小值；
(3)若，求证：在区间上函数的图像在函数的下方．
【答案】(1)
(2)的最大值为，最小值为1；
(3)证明见解析
【分析】（1）时，，然后求导数，从而可求出切线的斜率，再得切点坐标，根据直线的点斜式方程即可得出切线方程；
（2）时，，然后求导数，根据导函数符号确定函数单调性，从而可得在上的最大值和最小值；
（3）构造差函数，，求求导数，整理变形确定导函数符号，从而可得在上的单调性，得最值，从而得到与的大小关系，即可证明.
【详解】（1）解：时，，；
，；
即切线的斜率为3，过点；
切线方程为：；
即；
（2）解：时，，；
时，；∴在上单调递增
∴的最大值为，最小值为1；
（3）证明：由（2）知，
设，则
∵，∴
∴在上单调递减
故，即
故在区间上函数的图像在函数的下方．