2023届上海市上海中学高三上学期期中数学试题含解析

这是一份2023届上海市上海中学高三上学期期中数学试题含解析，共15页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】首先解绝对值不等式求出集合，再根据指数函数的性质求出集合，再根据交集的定义计算可得；
【详解】解：由，即，解得，
所以，
由，即，解得，
所以，
所以；
故选：C
2．已知实数、，那么是的（ ）条件．
A．充分不必要B．必要不充分
C．充要D．既不充分也不必要
【答案】B
【分析】等式两边平方即可判断.
【详解】因为，
所以是的必要不充分条件，
故选:B．
3．已知之间的几组数据如下表：
假设根据上表数据所得线性回归直线方程为中的前两组数据和求得的直线方程为则以下结论正确的是（ ）A．B．C．D．
【答案】C
【详解】b′＝2，a′＝－2，由公式 ＝求得．
＝，＝－＝－×＝－，∴ a′
4．对正整数，记．若的子集中任意两个元素之和不是整数的平方，则称为“破晓集”．那么使能分成两个不相交的破晓集的并集时，的最大值是（ ）
A．13B．14C．15D．16
【答案】B
【分析】先证当时，不能分成两个不相交的破晓集的并集，假设当时，可以分成两个不相交的破晓集的并集，设和为两个不相交的破晓集，推出为破晓集相矛盾，再证满足要求，当时，，可以分成2个破晓集的并集去证明，当时，去证明，最后它与中的任何其他数之和都不是整数，从而得到答案.
【详解】先证当时，不能分成两个不相交的破晓集的并集，
假设当时，可以分成两个不相交的破晓集的并集，设和为两个不相交的破晓集，使．不妨设，则由于，所以，即，
同理可得，，．又推出，但，这与为破晓集相矛盾，
再证满足要求，当时，，
可以分成2个破晓集的并集，
事实上，只要取，，
则和都是破晓集，且．当时，集合中，除整数外，
剩下的数组成集合，可以分为下列2个破晓集的并：，
当时，集合中，除整数外，剩下的数组成集合，
可以分为下列2个破晓集的并：，
最后，集合中的数的分母都是无理数，
它与中的任何其他数之和都不是整数，因此，令，，
则和是不相交的破晓集，且．
综上，的最大值为14.
故选：B．
【点睛】思路点睛：先证当时，不能分成两个不相交的破晓集的并集，利用反证法推出为破晓集相矛盾，再证满足要求去证明，最后它与中的任何其他数之和都不是整数，本题考查了学生分析问题、解决问题的能力，属于难题..
二、填空题
5．函数的单调递增区间是__．
【答案】
【分析】根据复合函数定义域，单调性进行求解.
【详解】由题知，
所以，
所以 或
因为在上单调递减，在 上单调递增，
又因为 在 上单调递增，
所以由复合函数单调性可知的单调递增区间是.
故答案为：.
6．若，则 ．
【答案】
【详解】∵，∴，∴.
【解析】对数的计算
7．设，，，，求的取值范围是______．
【答案】
【分析】把用和表示，然后由不等式的性质得出结论．
【详解】令，
则，解得.
∵，，
∴．
即，
所以的取值范围是
故答案为：.
8．设函数f (x)在(0,＋∞)内可导，且f (ex)＝x＋ex，则＝__________．
【答案】
【详解】试题分析：令，，所以，，，所以答案应填：．
【解析】导数的运算．
9．已知实数、、满足，，则的最大值为_______.
【答案】
【详解】试题分析：因为，所以，
所以，
所以，
由，解得，
故实数的最大值为.
【解析】一元二次方程的根的判别式，容易题.
10．已知函数的图象关于垂直于轴的直线对称，则实数的值是__．
【答案】或7或
【分析】利用绝对值不等式以及对称性求解.
【详解】考虑每个绝对值的端点，分别为，则这三个端点必关于垂直于轴的直线对称，所以或或，所以或7或．
故答案为：或7或.
11．已知实数，集合，若关于的不等式的解集为，则实数的值为__．
【答案】9
【分析】由已知，的最小值为0，可得到的关系.由的解集为，可得对应一元二次方程的两根之差为6，根据韦达定理可得关系式，两式联立，即可求得的值.
【详解】因为函数的值域为，
所以的最小值为0，
即，则，
不等式的解集为，即解集为，
则的两个根、分别为、，
所以两根之差为，
由韦达定理得，，
因为，
将代入得， ，解得．
故答案为：9.
12．下列命题中错误的是__．
①将一组数据中的每个数都加上或减去同一个常数后，均值与方差都不变；
②在一组样本数据（不全相等）的散点图中，若所有样本点都在直线上，则这组样本数据的线性相关系数为；
③在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，若由独立性检验知，在犯错误率不超过0.01的前提下，认为吸烟与患肺病有关系．若某人吸烟，则他有的可能性患肺病．
【答案】①②③
【分析】根据均值和方差的性质，相关系数的特点，独立性检验的相关知识，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.
【详解】对于①，将一组数据中的每个数都加上或减去同一个常数后，均值改变，方差不变，所以①错误；
对于②，在散点图中，若所有样本点都在直线上，则这组样本数据的线性相关系数为，所以②错误；
对于③，由独立性检验得，有的把握认为吸烟与患肺病有关系时，是指有的可能性使推断出现错误，所以③错误．
综上，错误的命题序号是①②③．
故答案为：①②③.
13．已知，，则的最小值_________.
【答案】20
【分析】设，利用表示，利用得到，再变形得到，利用基本不等式求出最小值.
【详解】令，则，
去分母化简得：，所以，
所以，
当且仅当时，等号成立．
故答案为：20
14．已知函数，，若对任意的实数，均有，则实数的取值范围是__．
【答案】
【分析】由已知可得，需满足，即需求出的最大值和的最小值，得到不等式，即可解出的取值范围.
【详解】由于对任意的，均有，因此，
当时，，而，当且仅当时，等号成立，
因此，
当时，，，当且仅当时，等号成立，此时，，
所以，.
对，由已知，在上最大值为；在时单调递减，所以有满足.
所以要使成立，只需满足
所以，则实数的取值范围是．
故答案为：.
15．已知集合，其中且，记，且对任意，都有，则的值是___________.
【答案】或
【分析】根据两端区间和的关系分三种情况讨论：在左边，在和之间，在右边三种情况，根据单调性可得的值域，从而确定定义域与值域的关系，列不等式求解即可.
【详解】①当时，区间在的右侧，且在区间上单调递减，易得，故此时且，即且，所以，故，故，即，，因为，故，代入可得，此时
②当，即时，在和之间.因为在区间上为减函数，故当， ，因为，而，故此时，即，因为，故即，故，即，因为，故.因为此时在右侧.故当时，，因为，故，所以 ，此时，故，满足，此时
③当，即时，在右边.此时在区间上单调递减，易得，故此时且，即且，所以，故，故，即，，因为，故，代入可得，不满足.
综上所述，有或
故答案为：或
【点睛】本题主要考查了根据单调性求解值域的问题，需要根据题意，结合分式函数的图象，依据端点与特殊值之间的关系进行分类讨论，同时需要根据值域的包含关系确定参数的取值范围.求解过程中需要统一分析，注意不等式之间相似的关系整体进行求解.属于难题.
16．已知函数，若关于的方程在上有解，则的最小值为______．
【答案】
【分析】设函数在上的零点为，则由，则在直线上，则可看作是到直线的距离的平方，利用导数求出其最小值即可得到答案
【详解】解：设函数在上的零点为，则，
所以点在直线上，
设为坐标原点，则，其最小值就是到直线的距离的平方，
所以，，
设，设，
则，所以在上单调递减，
所以，
所以即，所以的最小值为，
故答案为：
三、解答题
17．已知函数f(x)＝3x＋k·3－x为奇函数．
(1)求实数k的值；
(2)若关于x的不等式f()＋f()<0只有一个整数解，求实数a的取值范围．
【答案】（1）；（2）．
【详解】试题分析：（1）根据题意奇函数，从而可知对任意恒成立，从而即可求得的值；（2）利用（1）中的结论以及的单调性，可将不等式等价转化为，再有题意只有一个整数解，即可得到关于的不等式，从而求解．
试题解析：（1）显然的定义域为，又∵是奇函数，
∴对一切实数都成立， ∴；
（2）易得为上的单调递增函数，又由是奇函数，∴
，
当时，显然不符合题意，当时，由题意不等式的解只有一个整数，从而可知不等式的解为，∴该整数解为1，∴，即实数的取值范围是．
【解析】1．奇函数的性质；2．不等式的性质．
【思路点睛】若已知带有字母参数的函数的表达式及奇偶性求参数，常常采用待定系数法：利用产生关于字母的恒等式，由系数的对等性可得知字母的值，此外将函数的单调性、奇偶性、周期性等性质放在几个函数中进行综合考查，是近几年高考中对函数考查的新特点，本题涉及了二次函数、指数函数等．只要能够熟练掌握基本初等函数的性质、图象特征，此类问题就很容易解决．
18．已知关于的不等式的解集为，集合．
(1)若，求实数的取值范围；
(2)若，求实数的取值范围．
【答案】(1)；
(2)；
【分析】(1)(2)由集合的包含关系转化为一元二次方程根的分布问题进行讨论即可.
【详解】（1）由题意得，同时注意，
所以或，解得；
（2）在上恒成立；
同时注意当时，对称轴，
所以或或，
解得．
19．1.某科研机构为了研究某种药物对某种疾病的治疗效果，准备利用小白鼠进行科学试验．研究发现，药物在血液内的浓度与时间的关系因使用方式的不同而不同．若使用注射方式给药，则在注射后的4小时内，药物在白鼠血液内的浓度（单位：毫克/升）与时间t（单位：小时）满足关系式（，a为常数）；若使用口服方式给药，则药物在白鼠血液内的浓度（单位：毫克/升）与时间t（单位：小时）满足关系式现对小白鼠同时进行注射和口服该种药物，且注射药物和口服药物的吸收与代谢互不干扰．假设同时使用两种方式给药后，小白鼠血液中药物的浓度等于单独使用每种方式给药的浓度之和．
(1)若，求4小时内，该小白鼠何时血液中药物的浓度最高，并求出最大值；
(2)若要使小白鼠在用药后4小时内血液中的药物浓度都不低于4毫克/升，求正数a的取值范围．
【答案】(1)当时血液中药物的浓度最高，最大值为6
(2)
【分析】（1）根据题意建立函数关系式，进而结合二次函数最值求法和基本不等式求得答案；
（2）讨论和两种情况，
【详解】（1）当时，药物在白鼠血液内的浓度y与时间t的关系为
①当时，．
②当时，因为（当且仅当时，等号成立），
所以．
故当时血液中药物的浓度最高，最大值为6．
（2）由题意得
①当时，，
设，则，，则，故；
②当时，，
由，得，
令，则，，则，故．
综上，．
20．如果函数的定义域为，且存在实常数，使得对于定义域内任意，都有成立，则称此函数具有“性质”．
(1)已知函数具有“性质”，且当时，，求函数在区间上的函数解析式；
(2)已知函数既具有“性质”，又具有“性质”，且当时，，若函数的图象与直线有2023个公共点，求实数的值；
(3)已知函数具有“性质”，当时，，若有8个不同的实数解，求实数的取值范围．
【答案】(1)；
(2)；
(3)
【分析】（1）设，则，由题意可得，代入即可得解；
（2）利用数形结合，函数的图象与过原点的直线有2023个公共点，结合周期性求解即可；
（3）根据分析可得，令，若有8个不同的实数解，则，两个大于3的根，利用一元二次方程结合根的判别式即可得解.
【详解】（1）因为函数具有“性质”，所以恒成立，
所以，设，则，
所以；
（2）既具有“性质”，即，所以函数偶函数，
又既具有“性质”，即，
所以函数是以2为周期的函数．作出函数的图象如图所示：
由图象得当时，函数与直线交于点，
即有无数个交点，不合题意．
当时，在区间上，函数有1011个周期，
要使函数的图象与直线有2023个交点，
则直线在每个周期内都有2个交点，且第2023个交点恰好为，
所以．同理，当时，．
综上，；
（3）当时，，
当且仅当时取等号，
函数具有“性质，则，
所以当时，，
则，当且仅当时取等号，
若有8个不同的实数解，令，
则有两个大于3的根，所以，
所以．所以的取值范围为.
21．已知实数，函数．
(1)当时，过原点的直线与函数相切，求直线的方程；
(2)讨论方程的实根的个数；
(3)若有两个不等的实根，求证：．
【答案】(1)；
(2)答案见解析；
(3)证明见解析
【分析】（1）求曲线过某点处的切线方程，设切点，根据导数的几何意义表示出关系即可解出；（2）方程等价于，通过变换构造函数，对函数进行分析，转化为分析函数的零点情况；（3）根据（2）的结果，知，设两根为，解决指对有关题目时，常借助构造函数.
【详解】（1）当时，，设切点为，，
因为切线过原点，所以，得，所以直线的方程为.
（2）即讨论的实根的个数，，
即，所以，
设，则，
时 ，；时，.
所以在上单调递减，在上单调递增，
由题意得，即，
当时，，当时，；当时，
此时，
设，
在上单调递增，上单调递减，，
当时，，无解，即无解；
当时，，有1解，即有1解；
当时，则，
，所以，
由零点存在定理，有2个零点，即有2个解；
综上，当时，有1个零点；
当时，有2个零点；当时，有0个零点.
（3）由已知可得，有两个不等的实根，由（2）得，
由于单调递增，所以的两个不等的实根，
即等价于的两个不等的实根，所以，
不妨设，令，则，所以，
所以，要证，
即证，
即证，
即证，
即证，
令，则，
所以在单调递增，所以，证毕．
【点睛】用导数解决复杂的函数零点问题时，常用到同构函数，即将原式等号两端构造为相同的形式，然后进行多次求导简化函数，另外要注意对参数进行分类讨论，从而解决问题.
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