2023届上海市市北中学高三上学期期中数学试题含解析

这是一份2023届上海市市北中学高三上学期期中数学试题含解析，共15页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．把一枚骰子连续抛掷两次，记事件为“两次所得点数均为奇数”，为“至少有一次点数是5”，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】根据条件概率公式转化为，分别求解事件和实际包含的基本事件的个数，代入求解.
【详解】事件为“两次所得点数均为奇数”，则事件为，，，，，，，，，故；为“至少有一次点数是5”，则事件为，，，，，，所以.
故选：B.
2．若向量 、、满足，且，则、、中最大的是（ ）
A．B．C．D．不能确定
【答案】A
【分析】依题意可得，根据数量积的运算律得到，同理得到、，再作差判断即可；
【详解】解：由，可得，两边平方，
即．
同理可得、，
，
所以，
所以，
所以，
所以，即
则、、中最大的值是．
故选：A．
3．设，若为函数的极大值点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先考虑函数的零点情况，注意零点左右附近函数值是否变号，结合极大值点的性质，对进行分类讨论，画出图象，即可得到所满足的关系，由此确定正确选项.
【详解】若，则为单调函数，无极值点，不符合题意，故.
有和两个不同零点，且在左右附近是不变号，在左右附近是变号的.依题意，为函数的极大值点，在左右附近都是小于零的.
当时，由，，画出的图象如下图所示：
由图可知，，故.
当时，由时，，画出的图象如下图所示：
由图可知，，故.
综上所述，成立.
故选：D
【点睛】本小题主要考查三次函数的图象与性质，利用数形结合的数学思想方法可以快速解答.
4．己知函数的定义域为，值域为的子集，则满足的函数的个数为（ ）
A．16B．17C．18D．19
【答案】D
【分析】对、、的取值进行分类讨论，计算出不同情况下函数的个数，即可得解.
【详解】解：分以下几种情况讨论：
①当、、全为时，只有种；
②当、、中有两个为，一个为时，有种；
③当、、中有两个为，一个为时，有种；
④当、、三者都不相等时，可分别取值为、、，有种；
⑤当、、三者都不相等时，可分别取值为、、，有种.
综上所述，满足条件的函数的个数为个.
故选：D.
二、填空题
5．不等式的解为_____________．
【答案】
【分析】根据指数函数的单调性可得出原不等式的解.
【详解】因为指数函数为上的增函数，由，解得.
故答案为：.
6．已知全集，集合，则_____________．
【答案】
【分析】根据集合的交并补运算的概念即可求解.
【详解】由解得，因为，所以，
所以，
故答案为: .
7．设等差数列的前n项和为，己知，则_____________．
【答案】5
【分析】根据等差数列前项和的性质，即可直接求得结果.
【详解】因为数列为等差数列，故，解得.
故答案为：.
8．已知复数z满足（i为虚数单位），则复数z在复平面内对应的点的坐标_____________．
【答案】
【分析】求出模长，进而得到，得到z在复平面内对应的点的坐标.
【详解】，故复数z在复平面内对应的点的坐标为.
故答案为：.
9．过点且与直线垂直的直线的方程是_____________．
【答案】
【分析】设所求直线为，又因为过点，代入解出，即可求出直线方程.
【详解】因为所求直线与直线垂直，
所以可设为：，
又因为过点，所以，解得：.
所以：.
故答案为：.
10．函数的最大值为______.
【答案】2
【分析】运用三角函数的辅助角公式将函数解析式化简即可得到答案．
【详解】,
的最大值是,
故答案为:.
11．多项式，那么_____________．
【答案】11
【分析】根据二项展开式的通项公式即可求解.
【详解】设的展开式的通项公式为,
所以,
故答案为:11.
12．已知函数，则函数的所有零点之和为_____________．
【答案】
【分析】利用分段函数，分类讨论，即可求出函数的所有零点，从而得解．
【详解】时，，，由，可得或，或；
时，，，由，可得或，或；
函数的所有零点为，，，，所以所有零点的和为
故答案为：．
13．已知的图像关于直线对称，若存在，使得对任意x都有，且的最小值为，则等于_____________．
【答案】
【分析】根据已知求得，利用对称性和的范围即可求得.
【详解】由已知，因为最小值为，
图像关于直线对称，所以
又因为，所以
故答案为：
14．关于的不等式的解集是实数集的非空真子集，则实数的取值范围是_____________．
【答案】
【分析】利用绝对值三角不等式可得出的最大值和最小值，求出存在使得、以及对任意的使得时实数的取值范围，结合题意可得出所求实数的取值范围.
【详解】由绝对值三角不等式可得，当且仅当时，等号成立；
，当且仅当时，等号成立.
若存在使得，则，
若对任意的，，则，
因此，若关于的不等式的解集是实数集的非空真子集，.
故答案为：.
15．已知数列的首项，且满足对任意都成立，则能使成立的正整数的最小值为_________．
【答案】
【分析】由已知等式得或；当为等差或等比数列时，可知不满足题意；则为等差与等比的交叉数列，要使最小，则可利用递推关系式所满足的规律进行推导得到结果.
【详解】由知：或；
当时，数列是以为首项，为公差的等差数列，
，则，解得：（舍）；
当时，数列是以为首项，为公比的等比数列，
，则，解得：（舍）；
数列应是等差与等比的交叉数列，又，或；
若要最小，则，，，
，
，
的最小值为.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题考查根据数列中的规律求解数列中的项的问题，解题关键是能够根据递推关系式明确数列是等差和等比各项交叉所得的数列；若要使最小，则需尽可能利用对数列中的项进行缩减，进而返回到首项上.
16．设是定义在上的函数，且对于任意的整数，满足，，则的值为.___________.
【答案】
【分析】根据，得出，从而求出和的值，再计算的值即可．
【详解】解：因为，
所以
，
又因为，所以，
所以，
所以
，
所以．
故答案为：．
三、解答题
17．在长方体中，，分别是所在棱的中点，点是棱上的动点，联结．如图所示．
（1）求异面直线所成角的大小（用反三角函数值表示）；
（2）求以为顶点的三棱锥的体积．
【答案】（1） ； （2）2．
【详解】试题分析：（1） 联结，在长方体中，有. 又是直角三角形的一个锐角，∴就是异面直线所成的角.从而在直角三角形ACC1中可求得角的正切值，再注意是锐角，就可用反正切函数表示出来； （2）由于在长方体中，棱A1B1//平面ABCD，所以点P到平面AEF的距离就等于棱长AA1，从而以为顶点的三棱锥的体积等于三棱锥B1-BEF的体积，从而可求得其体积．
试题解析：（1）联结，在长方体中，有.
又是直角三角形的一个锐角，
∴就是异面直线所成的角.
由，可算得.
∴，即异面直线所成角的大小为.
（2）由题意可知，点到底面的距离与棱的长相等．
∴．
∵，
∴．
【解析】 1．异面直线所成的角；2．几何体的体积．
18．在平面直角坐标系中，是位于不同象限的任意角，它们的终边交单位圆（圆心在坐标原点O）于A、B两点．
(1)已知点，将绕原点顺时针旋转到,求点B的坐标；
(2)若A、B两点的纵坐标分别为正数，且，求的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)根据三角函数的定义以及两角之间的关系利用诱导公式即可求解；(2)建立之间的关系式，利用不等式求解最大值.
【详解】（1）
且，
（2）两点的纵坐标分别为正数a，b，且位于不同象限，不妨设为第一象限角，且为第二象限角，易得，
且，
即整理得
当且仅当时取等，的最大值为
19．如图，，是某景区的两条道路（宽度忽略不计，为东西方向），Q为景区内一景点，A为道路上一游客休息区，已知，（百米），Q到直线，的距离分别为3（百米），（百米），现新修一条自A经过Q的有轨观光直路并延伸至道路于点B，并在B处修建一游客休息区.
（1）求有轨观光直路的长；
（2）已知在景点Q的正北方6百米的P处有一大型组合音乐喷泉，喷泉表演一次的时长为9分钟，表演时，喷泉喷洒区域以P为圆心，r为半径变化，且t分钟时，（百米）（，）.当喷泉表演开始时，一观光车S（大小忽略不计）正从休息区B沿（1）中的轨道以（百米/分钟）的速度开往休息区A，问：观光车在行驶途中是否会被喷泉喷洒到，并说明理由.
【答案】（1）；（2）喷泉的水流不会洒到观光车上，理由见解析
【分析】（1）建立如图平面直角坐标系，易得，直线的方程为，，由点到直线距离，求出，从而直线的方程为，联产方程组求出的坐标，由此能求出轨道的长；
（2）将喷泉记为圆，由题意得，生成分钟时，观光车在线段AB上的点C处，则，，从而，若喷泉不会洒到观光车上，则对恒成立，由此能求出喷泉的水流不会洒到观光车上.
【详解】（1）以点O为坐标原点，直线为x轴，建立平面直角坐标系，如图所示.
则由题设得：，直线的方程为，（）.
由，解得，所以.
故直线的方程为，
由得
即，故，
答：水上旅游线的长为.
（2）将喷泉记为圆P，由题意可得，
生成t分钟时，观光车在线段上的点C处，
则，，所以.
若喷泉不会洒到观光车上，则对恒成立，
即，
当时，上式成立，
当时，，，当且仅当时取等号，
因为，所以恒成立，即喷泉的水流不会洒到观光车上.
答：喷泉的水流不会洒到观光车上.
【点睛】本题考查轨道长的求法，考查喷泉的水流能否洒到观光车上的判断，考查函数性质有生产生活中的应用等基础知识，考查运算求解能力和应用意识，属于中档题.
20．已知有序数列的各项均不相等，将的项从大到小重新排序后相应的项数构成新数列，称为的“序数列”.例如：数列，，满足，则其“序数列”为1，3，2.
（1）若数列的通项公式为，写出的“序数列”；
（2）若项数不少于5项的有穷数列，的通项公式分别为，，且“序数列”与的“序数列”相同，求实数t的取值范围；
（3）已知有序数列的“序数列”为.求证：“为等差数列”的充要条件是“为单调数列”.
【答案】（1）4，2，1，3；（2）；（3）证明见解析.
【解析】(1)由条件可得 ，，得出答案.
(2)通过作差法比较相邻两项的大小关系，即，得到当时，．所以需要比较第一项的大小，得出所在的位置，计算可以得出的大小关系．则数列大小关系为．分别算出，，．由列列不等式并求解得的取值范围．
（3）由题意，分别证明充分性和必要性．其中，充分性证明即若有穷数列的序数列为等差数列，则有穷数列为单调数列，分别讨论为递增数列时，数列的特点是项由大到小依次排列，得到有穷数列为单调递减数列；同理为递减数列，有穷数列为单调递增数列．必要性证明同样需将有穷数列分为递增和递减来讨论，最后得出其序数列为等差数列；
【详解】（1）由，可得
，的“序数列”为：4，2，1，3
（2）由题意得，因为，所以
当时，即
，，，
又因为，且的序数列与的序数列相同
所以
又因为，，
所以
所以即
（3）充分条件：
因为有穷数列的序数列为等差数列
所以①为1，2，3，，，，
所以有穷数列为递减数列，
②为，，，，3，2，1
所以有穷数列为递增数列，
所以由①②，有穷数列为单调数列
必要条件：
因为有穷数列为单调数列
所以①有穷数列为递减数列
则为1，2，3，，，，的等差数列
②有穷数列为递增数列
则为，，，，3，2，1的等差数列
所以由①②，序数列为等差数列
综上，有穷数列的序数列为等差数列的充要条件是有穷数列为单调数列
【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是得出其单调性，即，从而得到.
21．已知函数
(1)若，函数在其定义域上是增函数，求实数b的取值范围；
(2)设函数，，若恒成立，求实数m的取值范围；
(3)设函数的图像与函数的图像交于点P、Q两点，过线段PQ的中点R作x轴的垂线分别交、于点M、N，问是否存在点R，使在M处的切线与在N处的切线平行？若存在，求出R的横坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)不存在，理由见解析
【分析】（1）根据题意可得对恒成立，然后分离参数，即可求得的范围.
（2）根据题意求得函数的最小值，即，然后转化为最值问题，即可求得的范围.
（3）设出P、Q的坐标，表示出点M、N中点的横坐标，从而得到在M处的切线斜率，以及在N处的切线斜率，由斜率相等，代入计算，即可得到结果.
【详解】（1）由题意，，因为在上是增函数，
所以对恒成立，即
由，则，所以b的取值范围为
（2），则，
令，计算出
当时，，在递减
当时，，在递增
故在时取得最小值，
恒成立，故
令，易知关于m在递增，
又，故
（3）设点P、Q的坐标是，且
点M、N中点的横坐标为，在M处的切线斜率为，在N处的切线斜率为
假设在M处的切线与在N处的切线平行，则，即，则
，
所以，
设，则，①
则，这与①矛盾，假设不成立．
故在M处的切线与在N处的切线不平行．