2023届天津市五校联考高三上学期期中数学试题含解析

2023届天津市五校联考高三上学期期中数学试题

一、单选题

1．已知全集，集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用列举法即可.

【详解】由题知，，

则，

故选:C.

2．数列的通项公式为，则“”是“为递增数列”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．既不充分也不必要条件 D．充要条件

【答案】A

【分析】根据以及充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可

【详解】由题意得数列为递增数列等价于对任意恒成立，

即对任意恒成立，故，

所以“”是“为递增数列”的充分不必要条件，

故选：A

3．函数（，且）的图像大致为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】利用奇偶性和函数值的特点即可.

【详解】因为，所以

所以函数为奇函数，排除B,C

当时，，，所以

排除A

故选：D

4．对任意实数a，b，c，d，命题：

①若，，则；    

②若，则；

③若，则；    

④若，则；

其中真命题的个数是（    ）

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】B

【分析】根据不等式的性质判断即可.

【详解】①当时，，故①错；

②当时，，故②错；

③若，则且，则，故③正确；

④若，则，故④错.

故选：B.

5．已知，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用对数函数、指数函数、正弦函数的性质比较大小即可.

【详解】，，，∴.

故选：B.

6．已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】结合，利用诱导公式和二倍角公式即可求解

【详解】因为，

所以，

所以，

故选：D

7．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.”则该人第一天走的路程为（    ）

A．63里 B．126里 C．192里 D．228里

【答案】C

【分析】由题意知，每天走的路程构成一个公比为等比数列，已知和求首项，代入公式即可得到.

【详解】由已知，设等比数列首项为，前n项和为，    公比为,，

则 ，等比数列首项.

故选：C.

8．已知函数，现给出下列四个结论，其中正确的是（    ）

A．函数的最小正周期为

B．函数的最大值为2

C．函数在上单调递增

D．将函数的图象向右平移个单位长度；所得图象对应的解析式为

【答案】C

【分析】首先利用三角恒等变换化简函数，再根据函数的性质依次判断选项

【详解】对于A和B，，

所以的最小正周期为，的最大值为1，故A错误，B错误，

对于C，当时，，

因为在上单调递增，所以函数在上单调递增，故C正确；

对于D，将函数的图像向右平移个单位长度，所得图像对应的函数解析式为，故D不正确，

故选：C

9．已知定义在R上的函数，若函数恰有2个零点，则实数m的取值范围为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】把函数恰有2个零点转化为和有两个交点.利用图像法解.

【详解】因为函数恰有2个零点，

所以和有两个交点.

作出函数的图像如图所示：

因为时，和相交，所以只需和再有一个交点.

.

当时，若与相切，则有的判别式，此时.

当时，若与相切，则有的判别式，此时.

当时，若与相切，设切点为.

则有，解得：.

所以要使函数恰有2个零点，

只需或或，解得：

或或.

故选：D

【点睛】已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：

(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；

(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；

(3)数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解．

二、填空题

10．设命题，.若为假命题，则实数的取值范围是______.

【答案】

【分析】分析可知命题的否定为真命题，可得出，即可解得的取值范围.

【详解】命题的否定为：，，

由题意可知，命题的否定为真命题，所以，，解得.

故答案为：.

11．设等差数列的前项和为，若，，若对任意的，恒成立，则实数的取值范围是______.

【答案】

【分析】利用等差数列通项公式和前项公式列方程组即可.

【详解】由题知：等差数列的前项和为，

，，

，

，

，

，当或时，取得最小值，

，

.

故答案为：.

12．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，成等差数列，若，则b边的最小值为______.

【答案】2

【分析】利用等差中项的性质得到，然后利用正弦定理和和差公式得到，然后利用余弦定理和基本不等式求最值即可.

【详解】由题意得，，又，所以，则，

因为，所以，当且仅当时，等号成立，所以的最小值为2.

故答案为：2.

13．已知函数在上有且仅有2个零点，则实数的取值范围为______.

【答案】

【分析】令，解得，然后根据在上有且只有2个零点列不等式，解不等式即可.

【详解】令，则，解得，

因为在上有且只有2个零点，所以，解得.

故答案为：.

三、双空题

14．已知函数，若正数a、b满足，则______，的最小值为______.

【答案】         

【分析】分析出函数为上的增函数且为奇函数，由已知条件可得出，将所求不等式变形得出，然后再利用基本不等式可求得结果.

【详解】函数的定义域为，

，故函数为奇函数，

因为函数、、、均为上的增函数，故函数为上的增函数，

由可得，，

可得，则，

所以，

.

当且仅当，时，等号成立，

所以，的最小值为.

故答案为:；.

15．已知函数，若恰有2个零点，则实数a的值为______，若关于x的方程恰有4个不同实数根，则实数m的取值范围为______.

【答案】     ；    

【分析】先利用导数研的的图象，再作出的图象,恰有2个零点，则与有2个交点，数形结合即可得实数a的值;若关于x的方程恰有4个不同实数根，令，通过分析可得有2个不等根,且，，再数形结合即可建立的不等式组，即可求解

【详解】当时，则，，

令，解得，

所以当时，,单调递增，时，,单调递减,

再根据题意可作出的图象如下:

若有2个零点,则与有2个交点，数形结合可知;

若关于x的方程恰有4个不同实数根，

令，则有两个不等实数根，

故，与都有2个交点或者与仅1个交点，与有3个交点；

当，与都有2个交点，根据图象可得，不满足，舍去；

当与仅1个交点，与有3个交点，则，，

当时，，解得，故，解得或，舍去；

故两个实数根的范围为，，

所以解得，

所以实数m的取值范围为，

故答案为：；

【点睛】关键点点睛：本题求解的关键是利用数形结合思想作出函数的图象，再通过图象得到与仅1个交点，与有3个交点，并通过分析得到，

四、解答题

16．已知函数的最小正周期为.

(1)求的值和函数的单调递增区间；

(2)求函数图像的对称轴方程和对称中心坐标.

【答案】(1)，；

(2)，.

【分析】（1）利用二倍角公式和辅助角公式化简，然后利用正弦型函数的性质求和单调区间即可；

（2）利用整体代入法求对称轴和对称中心即可.

【详解】（1），

因为最小正周期为，所以，解得，

令，解得，

所以单调递增区间为.

（2）令，解得，所以对称轴方程为；

令，解得，所以对称中心为.

17．已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且.

(1)求A；

(2)若，求的值；

(3)若的面积为，，求的周长.

【答案】(1)；

(2)；

(3)8.

【分析】（1）利用正弦定理进行边角互换，然后利用和差公式进行化简得到，即可得到；

（2）利用二倍角公式得到，，然后利用和差公式得到，最后代入即可；

（3）利用面积公式得到，利用余弦定理得到，两式结合可得，然后求周长即可.

【详解】（1）根据正弦定理得，

，

∵，∴，则，

∵，∴.

（2）∵,

∴，，，，

∴

.

（3）∵面积为，且，

∴，整理得①，

根据余弦定理可得，②，

联立①②，可得，所以周长为8.

18．已知函数在点处的切线斜率为4，且在处取得极值.

(1)求函数的单调区间；

(2)若函数恰有两个零点，求实数m的取值范围.

【答案】(1)答案见详解

(2)

【分析】（1）根据题意，列出方程组求得，得到，进而求得函数的单调区间；

（2）由题意得到，利用导数求得函数的单调性与极值，列出不等式组，即可求解.

【详解】（1）解：由题意，函数，可得，

因为函数在点处的切线斜率为4，

且在处取得极值，

可得，即，

解得，   所以，

可得，

令，解得或．

解，得或，即在区间上单调递增，在上单调递增；

解，得，即在上单调递减.

所以函数的单调递减区间是；单调递增区间是，．

（2）解：由（1）得，，

则，由（1）知，

当或时，

当或时，，即；

当时，，即.

所以，函数在处取得极大值，在处取得极小值，

要使得有三个零点，则满足，即，解得，

所以的取值范围为．

19．已知数列是等差数列，其前n项和为，，；数列的前n项和为，.

(1)求数列，的通项公式；

(2)求数列的前n项和；

(3)求证；.

【答案】(1)，；

(2)；

(3)证明见解析.

【分析】（1）利用等差数列的通项公式和求和公式列方程，解得，即可得到，利用时，，得到数列为等比数列，然后求即可；

（2）根据（1）得到，然后利用裂项相消的方法求和即可；

（3）利用放缩的方法得到，然后用错位相减的方法求和，得到，即可证明.

【详解】（1）设数列的公差为，则，解得，∴，

由①可得，当时，，则，

当时，②，

①②相减得，，整理得，所以数列为等比数列，.

（2）由（1）可得，，

所以

.

（3）由（1）可得，，又，

∴，

设，则，

两式相减得，

，

∴，

∴.

20．已知函数，.

(1)当时，若曲线与直线相切，求k的值；

(2)当时，证明：；

(3)若对任意，不等式恒成立，求a的取值范围.

【答案】(1)；

(2)证明见解析；

(3).

【分析】（1）设切点坐标为，然后利用导数的几何意义列方程，解方程即可得到；

（2）证明即证明，然后求导，利用单调性求最值，即可证明；

（3）将不等式转化为，然后构造函数，根据的单调性得到恒成立，即，构造函数，根据的单调性得到，然后代入解不等式即可.

【详解】（1）当时，，则，

设切点坐标为，则，解得，

所以.

（2）当时，，定义域为，，

令，则，当时，，则在上单调递增，

又，所以当时，，时，，所以在上单调递减，上单调递增，

所以，则.

（3）由题可知，，则不等式恒成立，

即，

即，

即，

即在上恒成立，

令，易知在上单调递增，

所以在上恒成立，即，

令，则，当时，，当时，，所以在上单调递减，上单调递增，

则，所以，解得，

所以的取值范围为.

【点睛】对于恒成立问题，常用到以下两个结论：

（1）恒成立⇔；

（2）恒成立⇔.