2023届天津市部分区高三上学期期中数学试题含解析

2023届天津市部分区高三上学期期中数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用补集运算直接求解即可

【详解】由题

故选D

【点睛】本题考查补集的运算及定义，准确计算是关键，是基础题

2．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据函数的奇偶性和单调性逐项进行判断即可.

【详解】A.因为是奇函数，又是增函数，故错误

B.因为是奇函数，但在定义域上不单调，故错误.

C.因为是奇函数，又是减函数，故正确.

D.因为非奇非偶，是减函数，故错误.

故选：C

【点睛】本题主要考查函数的奇偶性和单调性，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.

3．若等差数列的前三项和，则等于（    ）

A．3 B．4 C．5 D．6

【答案】A

【分析】用等差数列的等差中项性质，若成等差数列，则即可解决.

【详解】等差数列的前三项和，即，因为，所以.

故选：A

4．已知，，则等于（    ）

A． B．7 C． D．－7

【答案】D

【分析】先根据同角三角函数的关系求出角的余弦值，进而求出该角的正切值，然后再利用两角和的正切公式求值即可.

【详解】因为，且，所以，

所以，

故，

故选：D.

5．若，则的解集为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先求导，再解不等式即可.

【详解】由得，，

令且，

解得

即的解集为

故选：C.

6．设为等比数列的前n项和，已知，则公比

A．3 B．4 C．5 D．6

【答案】B

【详解】试题分析：，，选B

【解析】等比数列的公比

7．已知函数的最小正周期为π，将的图象向左平移个单位长度，所得图象关于y轴对称，则φ的一个值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先根据函数的最小正周期为，求出的值，再由平移后得到为偶函数，可得，进而可得结果.

【详解】由函数的最小正周期为，

可得，，

将的图象向左平移个单位长度，

得的图象，

平移后图象关于轴对称，

，，

,，

故选:D.

8．设均为正数，且，，．则（　　）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】试题分析：在同一坐标系中分别画出，， 的图象，

与 的交点的横坐标为， 与的图象的交点的横坐标为 ，与 的图象的交点的横坐标为，从图象可以看出．

【解析】指数函数、对数函数图象和性质的应用．

【方法点睛】一般一个方程中含有两个以上的函数类型，就要考虑用数形结合求解，在同一坐标系中画出两函数图象的交点，函数图象的交点的横坐标即为方程的解．

【详解】9．已知点P在曲线y=上，a为曲线在点P处的切线的倾斜角，则a的取值

范围是（　　　）

A．[0,) B． C． D．

【答案】D

【详解】试题分析：因为，所以，选A.

【解析】导数的几何意义、正切函数的值域.

二、填空题

10．函数的导数为_________.

【答案】

【分析】根据对数函数的求导公式即可求解.

【详解】因为，所以.

故答案为：.

11．已知函数若，则实数＝      .

【答案】2

【详解】试题分析：由，则，所以，解得.

【解析】分段函数的解析式及应用.

12．函数的最小正周期是______．

【答案】

【解析】首先根据题意得到，再求最小正周期即可.

【详解】函数，

最小正周期是.

故答案为：

13．已知数列的前n项和，若第k项满足，则k等于__________.

【答案】8

【分析】先利用公式an求出an，再由第k项满足5＜ak＜8，求出k．

【详解】解：an

∵n＝1时适合an＝2n﹣10，∴an＝2n﹣10．

∵5＜ak＜8，∴5＜2k﹣10＜8，

∴k＜9，又∵k∈N+，∴k＝8，

故答案为8

【点睛】本题考查数列的通项公式的求法，解题时要注意公式an的合理运用．

14．定义在上的偶函数在上为增函数，若满足，则的取值范围是_________

【答案】

【分析】根据偶函数的性质将等价转化为，并利用单调性和定义域，列出关于的不等式组，从而求出的取值范围.

【详解】是定义在上的偶函数，且在上为增函数

不等式等价于：

，解之得

故答案为：

三、双空题

15．已知，则的最小值是_________；此时，的值分别为_________．

【答案】     4    

【分析】直接凑项变形得，再利用基本不等式求解即可.

【详解】因为，

当且仅当，即时等号成立.

故答案为：4；

四、解答题

16．已知函数．

(1)令，判断函数的奇偶性；

(2)求在区间上的最值．

【答案】(1)函数是偶函数

(2)最大值为，最小值为

【分析】（1）利用三角函数的平移规律和诱导公式化简可得，再利用单调性的定义判断可得答案；

（2）利用正弦函数的单调性判断可得答案.

【详解】（1），

，，

函数是偶函数；

（2），

因为时，，所以在区间上单调递增，

时，，所以在区间上单调递减，

因为，，，

所以最大值为，最小值为．

17．已知函数．

(1)当时，求函数的极值；

(2)若在区间是增函数，求的取值范围．

【答案】(1)极小值为，无极大值

(2)

【分析】（1）当时，利用导数分析函数的单调性，即可得出函数的极值；

（2）分析可知在区间上恒成立，结合参变量分离法可求得实数的取值范围.

【详解】（1）解：当时，，其中，则，

列表如下：

所以，函数的极小值为，无极大值.

（2）解：因为函数在区间是增函数，则在上恒成立，

所以，.

因此，实数的取值范围是.

18．设的内角所对的边分别为，且，．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求的值．

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）

【详解】（Ⅰ）因为，

所以

分别代入得解得

（Ⅱ）由得，

因为所以

所以

【考点定位】本题考查了正弦定理和余弦定理的应用，考查了方程思想和运算能力. 由求的过程中体现了整体代换的运算技巧，而求的过程则体现了“通性通法”的常规考查.

19．已知等比数列的首项为1，公比为，依次成等差数列．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）当时，求数列的前项和；

（Ⅲ）当时，求证：．

【答案】（Ⅰ）或；（Ⅱ）；（Ⅲ）证明见解析

【分析】（Ⅰ）利用基本量法可求的值.

（Ⅱ）利用错位相减法可求.

（Ⅲ）利用裂项相消法可求得，利用不等式的性质可知原不等式成立.

【详解】（Ⅰ）∵依次成等差数列，∴.

∵是首项为1的等比数列，∴.

∵， ∴ ，∴或.

（Ⅱ）∵，∴，∴ .

∵，

∴，

∴，

上式减下式得：

,∴.

（Ⅲ）∵，∴，∴,

∴

.

【点睛】数列求和关键看通项的结构形式，如果通项是等差数列与等比数列的和，则用分组求和法；如果通项是等差数列与等比数列的乘积，则用错位相减法；如果通项可以拆成一个数列连续两项的差，那么用裂项相消法；如果通项的符号有规律的出现，则用并项求和法.

20．已知函数在处取得极值0．

(1)求实数，的值；

(2)若关于的方程在区间上恰有2个不同的实数解，求的取值范围；

(3)设函数，若，总有成立，求的取值范围．

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）根据极值与极值点的定义列方程组即可求解；

（2）分离参数，将方程解问题转化为直线与曲线交点问题即可求解；

（3）由题意可知，利用导数求的最小值即可求解.

【详解】（1），

由题意可知：，解得.

（2），

由得，

由题意，曲线与直线在区间上恰有2个交点．

，

时，，时，，

所以在区间上是减函数，在区间上是增函数，

，

又，

∴．

（3）由总有成立可知：

在区间上，

由（2）知在区间上，，

∵，

时，，时，，

∴函数在区间上是减函数，在区间上是增函数，

∴，所以，

∴ ．

【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．