2023届安徽省六安第一中学高三上学期第三次月考数学试题含解析

这是一份2023届安徽省六安第一中学高三上学期第三次月考数学试题含解析，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023届安徽省六安第一中学高三上学期第三次月考数学试题 一、单选题1．已知集合，，则（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】先求得集合，结合集合并集的概念与运算，即可求解.【详解】由不等式，解得，所以，又由集合，所以.故选：C.2．设，则的虚部为（    ）A．i B．2i C．1 D．2【答案】D【分析】根据复数的除法法则化简，结合复数的相关概念判断.【详解】∵，故的虚部为2.故选：D.3．设数列满足且，则（    ）A． B． C． D．3【答案】D【分析】由题意首先确定数列为周期数列，然后结合数列的周期即可求得最终结果.【详解】由题意可得：，，，，据此可得数列是周期为4的周期数列，则.故选：D4．已知向量，，且，则“”是“”的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据向量平行公式结合三角函数知识得到或，根据范围的大小关系得到答案.【详解】，，且，，则，即，或，故“”是“”的充分不必要条件.故选：A.5．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“三百七十八里关，初行健步不为难.次日脚痛减一半，六朝才得到其关.要见每朝行里数，请公仔细算相还.”意思是：有一个人要走441里路，第一天走得很快，以后由于脚痛，后一天走的路程都是前一天的一半，6天刚好走完.则此人最后一天走的路程是（    ）A．7里 B．14里 C．21里 D．112里【答案】A【分析】由等比数列的性质求解，【详解】设为公比为的等比数列，则，解得，则，故选：A6．已知为等差数列，为的前项和.若，，则当取最大值时，的值为（    ）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】D【分析】根据等差数列的，且，由此可以得到，结合条件结论即可得到.【详解】在等差数列中，因为，所以，又，所以，所以，所以有该等差数列首项，公差，所以.故选: D.7．如图，在中，，，P为CD上一点，且满足，若，，则的值为（    ）A． B． C．1 D．2【答案】C【分析】由题意设，则可得，再结合可求出，再表示出，再结合已知条件可求得的值.【详解】由题意设，因为，所以，所以，因为，所以，解得，所以，因为，，，，所以,故选：C.8．在钝角中，分别是的内角所对的边，点是的重心，若，则的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】延长交于，由重心性质和直角三角形特点可求得，由，利用余弦定理可构造等量关系得到，由此确定为锐角，则可假设为钝角，得到，，，由此可构造不等式组求得的取值范围，在利用余弦定理可得，利用的范围，结合为锐角可求得的取值范围.【详解】延长交于，如下图所示：为的重心，为中点且，，，；在中，；在中，；，，即，整理可得：，为锐角；设为钝角，则，，，，，解得：，，，由余弦定理得：，又为锐角，，即的取值范围为.故选：C.【点睛】关键点点睛：本题考查解三角形中的取值范围问题的求解，解题关键是能够由两角互补得到余弦值互为相反数，由余弦定理得到，确定为锐角，从而得到三边之间的不等关系，求得的范围. 二、多选题9．若复数，，其中是虚数单位，则下列说法正确的是（    ）A．B．C．若是纯虚数，那么D．若，在复平面内对应的向量分别为，（为坐标原点），则【答案】BC【分析】由虚数不能比较大小可判断A，由复数模的计算可判断B，由纯虚数的定义可判断C，由向量的运算可判断D.【详解】对于A，虚数不能比较大小，故A错误；对于B，， ，，，故有，B正确；对于C，，若是纯虚数，则有，即，C正确；对于D，，，则，，所以，所以，D错误.故选：BC10．在中，角，，的对边分别是，，.下面四个结论正确的是（    ）A．若，则 B．，，则的外接圆半径是4C．若，则 D．若，，，则有两解【答案】AC【分析】由正弦定理可判断ABC；余弦定理可判断D.【详解】对于A，若，则，由正弦定理得，即，故正确；对于B， ，，由正弦定理可得，则的外接圆半径是2，故错误；对于C， 若，由正弦定理得，，因为，所以，故正确；    对于D， 若，，，则由余弦定理可得，即，，解得，因为，所以有一解，即有一解，故错误.故选：AC.11．正方形ABCD的边长为4，E是BC中点，如图，点P是以AB为直径的半圆上任意点，，则（    ）A．最大值为1 B．最大值为2C．最大值是8 D．最大值是【答案】ACD【分析】如图，以线段AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，设，,又，利用向量的坐标运算，结合三角函数的性质逐一求解即可.【详解】如图，以线段AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，设，又，则，，即，解得，因为，则，，其中，为锐角，当，即时，取最大值，故A正确，B错误；，C正确；，其中，为锐角当，即时，取最大值，D正确故选：ACD.12．已知数列中，，若，则下列结论中正确的是（    ）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】根据递推公式，求得，再对每个选项进行逐一分析，即可选择.【详解】因为，故可得，，对A：当时，，故可得，故A正确；对B：因为，则对也成立，又当，时，，则，故B正确；对C：令，则，故在单调递减，则，则当时，，；则当，时，，即；则，即，又，，故C正确；对D：，故D错误.故选：ABC.【点睛】关键点点睛：本题考查数列的综合知识，涉及逐差法的应用，以及导数的应用，解决问题的关键是熟练使用逐差法，以及能够结合导数证明不等式，属综合中档题. 三、填空题13．已知向量，满足，，与的夹角为，，则_______.【答案】4【分析】利用向量垂直以及数量积的运算法则，可得，在结合题目所给的模，代入即可求得.【详解】， 即，又 故答案为：414．如图，某中学校园中央有一座钟楼，某学生为了测量钟楼高AB，该学生先在钟楼的正西方点C处测得钟楼顶部的仰角为45°，然后从点C处沿南偏东30°方向前进20m到达点D处，在D处测得钟楼顶部的仰角为30°，则钟楼AB的高度是___________m.【答案】【分析】利用余弦定理即可求得.【详解】由已知设 如图在中：，所以 在中：，所以在中，易得 由余弦定理可得 故 解得或（舍）故答案为：15．记为数列的前项和，为数列的前项积，已知，则___________.【答案】【分析】由题意可得，从而得到是等差数列，进一步得，再求出，利用求得＝即可求出答案.【详解】解：因为，所以，，所以，又因为，当时，得，所以， 当时，，即，所以是等差数列，首项为，公差， 所以， 所以，满足， 故，即， 所以，两式相除得，当时也成立，所以，所以，所以. 故答案为：.16．中，，，是外接圆的圆心，则的最大值为___________.【答案】6【分析】首先根据平面图形的几何性质求出外接圆半径长度与，然后将向量，，用向量，，线性表示.再根据数量积运算得，最后根据的取值范围求得的最大值即可【详解】中，，是外接圆圆心，如图所示：则，又因为，所以，即外接圆的半径.，，即.故得，因为、不重合，所以向量与的夹角范围为，所以，所以，即为的中点时，取得最大值为.故答案为： 四、解答题17．已知向量，，函数.(1)求函数的单调递增区间；(2)求函数在上的最大值和最小值以及对应的的值.【答案】(1)(2)时，，时，. 【分析】（1）利用向量数量积的坐标运算以及三角函数辅助角公式，可得，再结合三角函数单调性，即可求得单调增区间.（2）利用换元法，再结合三角函数图像性质，即可求解.【详解】（1）令，∴函数的单增区间为.（2）由（1）可知，，令，当即时，当即时，.18．已知数列的首项，，.(1)证明：为等比数列；(2)证明：.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析 【分析】（1）由题知，再根据等比数列的定义证明即可；（2）结合（1）得，，进而根据裂项求和方法求解即可证明.【详解】（1）解：∵，∴∴（且）又∵∴是以4为首项，以2为公比的等比数列.（2）解：由（1）得，∴∴∵，∴，∴.19．设内角，，的对边分别为，，，已知.(1)求角的大小；(2)若，且___________，求的周长.请在下列三个条件中，选择其中的一个条件补充到上面的横线中，并完成作答.①；②；③的面积为.注：如果选择多个条件分别解答，那么按第一解答计分.【答案】(1)(2) 【分析】（1）结合正弦定理、三角恒等变换等知识求得.（2）选①则根据正弦定理求得，选②则根据向量运算求得，选③则根据三角形的面积公式求得；结合余弦定理求得，进而求得三角形的周长.【详解】（1），，，∵，∴,又，∴.（2）若选①且，，∴.若选②，，则.若选③，则.由余弦定理得，，∴，∴，∴的周长为.20．已知锐角内角，，的对边分别为，，.若.(1)求角的大小；(2)若，求边上高的取值范围.【答案】(1)(2) 【分析】(1)根据条件，运用诱导公式以及倍角公式即可求出角C；(2)运用等面积法将AB边上的高h转化为ab的乘积，在根据正弦定理转化为三角函数，运用三角函数的性质即可求出h的范围.【详解】（1）由条件可知：，，∵，∴，，又，∴，∴，∴；（2）设边上的高为，则且，∴，∴由正弦定理得，∴，，又∴，∵为锐角三角形，∴ ，解得： ，∴，∴，∴边上高的取值范围是；综上， ，边上高的取值范围是.21．已知数列是公差不为0的等差数列，为的前项和，，且为与的等比中项.(1)求的通项公式；(2)若，求的前项和；(3)若，判断数列是否存在最大项，若存在，求的最大项，若不存在，请说明理由.【答案】(1)；(2)；(3)存在，最大项为. 【分析】（1）由等差数列及前n项和定义、等比中项性质列式可解出，，即可写出等差数列的通项；（2）由错位相减法求和；（3），取对数得，由导数法讨论的最大值，结合为正整数，即可求得的最大项【详解】（1）设的首项为，公差为，则，∵为和的等比中项，∴，即，可解得，，∴；（2），①，②，由①-②得，∴.（3），令，当时，，当时，，∴在上单增，在上单减，故最大值为，∵为正整数，故，又，，且，∴，∴的最大项为.22．已知函数，设函数为的导函数.(1)当时（ⅰ）讨论函数的单调性；（ⅱ）证明：.(2)设方程在区间内的根为，，证明：.【答案】(1)（ⅰ）在上单增，在上单减；（ⅱ）证明见解析(2)证明见解析 【分析】（1）（ⅰ）对函数求导，即可得到其在的单调性.（ⅱ）令，转化为，然后对函数求导，求得其在的最小值，即可证明.（2）根据题意可得，分别得出，由（1）得在上单调递减及由（ⅱ）得，代入计算化简，即可证明.【详解】（1）（ⅰ），当时，，当时，∴在上单增，在上单减.（ⅱ）证明：由题意得，令，当时，，∴在上单减，∴∴当时，.（2）证明：由题意得，∴设，则且由（1）得在上单调递减，∴又在上单减，∴由（ⅱ）得∴∴∴.