2023届北京市海淀区北京一零一中学高三上学期9月月考数学试题含解析

2023届北京市海淀区北京一零一中学高三上学期9月月考数学试题

一、单选题

1．已知集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】求出集合后可求.

【详解】，

故，

故选：D.

2．如果－1，a，b，c，－9成等比数列，那么(　　)

A．b＝3，ac＝9 B．b＝－3，ac＝9

C．b＝3，ac＝－9 D．b＝－3，ac＝－9

【答案】B

【详解】因为

3．设，都是上的单调函数，有如下四个命题，正确的是（    ）

①若单调递增，单调递增，则单调递增；

②若单调递增，单调递减，则单调递增；

③若单调递减，单调递增，则单调递减；

④若单调递减，单调递减，则单调递减.

A．①③ B．①④ C．②③ D．②④

【答案】C

【分析】利用函数单调性定义证明②③正确，举反例说明①④错误.

【详解】对于命题①，令，均为增函数，而为减函数，①错误；

对于命题②，设，则，，∴，∴，故单调递增，命题②正确；

对于命题③，设，则，，

∴，∴，故单调递减，命题③正确.

对于命题④，令，均为减函数，而为增函数，故④错误.

故选：C

【点睛】本题考查函数的单调性，属于基础题.

4．若，且，则下列不等式一定成立的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】取即可判断A、B、D选项是错误的，由基本不等式即可判断C选项是正确的.

【详解】取满足，且，此时，A错误；

取满足，且，此时，B错误；

可得，C正确；

取满足，且，此时，D错误.

故选：C.

5．已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则是（    ）

A．钝角三角形 B．等边三角形

C．等腰直角三角形 D．直角三角形，但不是等腰三角形

【答案】B

【分析】先由正弦定理得，进而得到，即可求解.

【详解】由正弦定理得，则，又为三角形内角，

则，则是等边三角形.

故选：B.

6．已知函数的最小正周期为，则（    ）

A．在内单调递增 B．在内单调递减

C．在内单调递增 D．在内单调递减

【答案】B

【分析】根据二倍角公式，结合余弦型函数的最小正周期公式、单调性进行求解即可.

【详解】，

因为该函数最小正周期为，，

所以有，即，

当时，即当时，函数单调递减，因此选项A不正确，选项B正确；

当时，即当时，函数单调递增，因此选项C不正确，选项D不正确，

故选：B

7．若是上周期为5的奇函数，且满足，则

A．－1 B．1 C．－2 D．2

【答案】A

【详解】∵f(x)是R上周期为5的奇函数

∴f(3)=f(3-5)=f(-2)=-f(2)=-2

f(4)=f(4-5)=f(-1)=-f(1)=-1,

f(3)-f(4)=-2+1=-1

8．如图是下列四个函数中的某个函数在区间的大致图像，则该函数是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由函数图像的特征结合函数的性质逐项排除即可得解.

【详解】设，则，故排除B;

设，当时，，

所以，故排除C;

设，则，故排除D.

故选：A.

9．已知函数.若存在实数，使得成立，则实数的取值范围是（  ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据题意将存在实数，使得成立转化为有根，再根据方程变形可得，原问题转化为有根，进而转化为与的图象有交点，根据数形结合即可求出结果．

【详解】∵且，

整理得 ，

∴原问题转化为与的图象有交点， 画出的图象如下：

当时，，由图可知，． 故选：A．

【点睛】本题考查了转化思想和数形结合思想，属于基础题．

10．信息熵是信息论中的一个重要概念．设随机变量X所有可能的取值为1，2，…，n，且P（X＝i）＝pi＞0（i＝1，2，…，n），，定义X的信息熵H（X）＝．给出下面四个结论：

①若n＝1，则H(X)＝0；

②若n＝2，则当时，H(x)取得最小值；

③若，则H(X)随着n的增大而增大；

④若n＝10，随机变量Y所有可能的取值为1，2，…，5，且P（Y＝j）＝pj+p11-j（j＝1，2，…，5），则H（X）＞H（Y）．

其中，正确结论的个数是（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

【分析】对于选项①，，根据信息熵的定义即可判断；对于选项②，利用表示出，然后构造函数分析函数的单调性计即可求得；对于选项③化简即可求解，利用函数的单调性即可判断.

【详解】解：由题意得：

对于选项①：若，则，

所以，故①正确；

对于选项②：若，则

当时，

设，

则

当时，此时函数单调递增；

当时，此时函数单调递减；

当时，此时函数取最大值；

故②错误；

对于选项③：若，则

故随着n的增大而增大，故③正确；

对于选项④：若n＝10，随机变量Y所有可能的取值为1，2，…，5，且

由于

故根据对数函数的单调性可知：

根据不等式的同向相加可知：

则H（X）＞H（Y），故④正确；

故选：C

二、填空题

11．在中，，则_____.

【答案】

【分析】在中，根据，利用正弦定理结合二倍角正弦公式求解.

【详解】在中，因为，

所以，即，

解得，

故答案为：

12．若函数，为奇函数，则参数a的值为___________．

【答案】1

【分析】根据奇函数的定义可求参数的值.

【详解】当时，，

当时，，故，

而，故即，

故答案为：1.

13．已知数列满足，，若，则_______．

【答案】

【分析】由递推式，结合依次求出、即可.

【详解】由，可得：，

又，可得：.

故答案为：.

14．如图，将钢琴上的12个键依次记为设．若且，则称为原位大三和弦；若且，则称为原位小三和弦．用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为__________．

【答案】10

【分析】利用列举法和分类计数原理可求原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和.

【详解】若且，则符合条件的分别为：

，共5个原位大三和弦；

若且，则符合条件的分别为：

，共5个原位小三和弦；

故用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为10.

故答案为：10.

三、双空题

15．已知函数，若函数＝f（x-4）+x，则函数的图象的对称中心为__________；若数列｛an｝为等差数列，a1+a2+a3+…+a11＝44，则g（a1）+g（a2）+…+g（a11）＝__________．

【答案】     （4，6）     66

【分析】先利用函数的奇偶性判断是奇函数，对称中心为，即可得到的图象的对称中心，再利用等差数列的性质和的对称性即可求解.

【详解】由，，

所以是奇函数，对称中心为，

是将的图象向右平移个单位长度得到，故其对称中心为，

因为，

，

函数的图象的对称中心为.

因为数列｛an｝为等差数列，a1+a2+a3+…+a11＝44，

所以，所以，，

所以g（a1）+g（a2）+…+g（a11）＝.

故答案为：；66.

四、解答题

16．已知函数的部分图象如图所示，在条件①､条件②､条件③这三个条件中选择两个作为已知.

(1)求函数的解析式：

(2)设函数，若在区间上单调递减，求的最大值.

条件①：；条件②：；条件③：.

注：如果选择多个条件组合分别解答，则按第一个解答计分.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由图象可知，若选①②可得函数的周期，进而可得，代入点，即可得，即可得函数解析式；若选①③可得函数的周期，进而可得，代入点，即可得，即可得函数解析式；若选②③可得函数的周期，进而可得，代入点，即可得，即可得函数解析式.

（2）结合（1）可得函数解析式，进而可求函数的单调区间，根据单调性可得参数的取值范围.

【详解】(1)选条件①②：

因为，所以，即，则.

由题意可知，则.

因为，，

所以，即.

因为，所以，.

所以.

选条件①③：

因为，所以，即，则.

由题意可知，则.

因为，，

所以，即.

因为，所以，.

所以.

选条件②③：

因为，，所以，即，则.

由题意可知，则.

因为，，

所以，即.

因为，所以，.

所以.

(2)由题意得.

函数的单调递减区间为.

由，

得.

因为函数在区间上单调递减，且，此时.

所以，所以的最大值是.

17．记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S9=－a5．

（1）若a3=4，求{an}的通项公式；

（2）若a1>0，求使得Sn≥an的n的取值范围．

【答案】（1）；

（2）.

【分析】（1）首项设出等差数列的首项和公差，根据题的条件，建立关于和的方程组，求得和的值，利用等差数列的通项公式求得结果；

（2）根据题意有，根据，可知，根据，得到关于的不等式，从而求得结果.

【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为，

根据题意有，

解答，所以，

所以等差数列的通项公式为；

（2）由条件，得，即，

因为，所以，并且有，所以有，

由得，整理得，

因为，所以有，即，

解得，

所以的取值范围是：

【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有等差数列的通项公式，等差数列的求和公式，在解题的过程中，需要认真分析题意，熟练掌握基础知识是正确解题的关键.

18．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，已知．

(1)求的面积；

(2)若，求b．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）先表示出，再由求得，结合余弦定理及平方关系求得，再由面积公式求解即可；

（2）由正弦定理得，即可求解.

【详解】(1)由题意得，则，

即，由余弦定理得，整理得，则，又，

则，，则；

(2)由正弦定理得：，则，则，.

19．已知函数.

(1)求的值；

(2)求不等式＞1的解集；

(3)当x0＜0时，是否存在使得成立的x0值？若存在，直接写出x0的值；若不存在，说明理由．

【答案】(1)4

(2)

(3)存在；

【分析】（1）由题意，根据分段函数定义，由取值，可得答案；

（2）根据分段函数，分类讨论，整理不等式，可得答案；

（3）根据函数与方程的关系，问题转化为函数求交点问题，根据二次函数与指数函数性质，可得答案.

【详解】(1)．

(2)由＞1，

①，则，，解得，故；

②，则，解得，故.

解得．

(3)由题意，问题等价于方程在上存在一个根，

则等价于函数与图象在上有交点，

，根据二次函数的性质，

在单调递增，在单调递减，；

，根据指数函数性质，在上单调递减，.

由，故函数与图象在上有唯一交点，

则存在唯一的，使得成立．

20．已知函数.

(1)当时，求曲线在处的切线方程；

(2)求函数在上的最小值.

【答案】(1)

(2)答案见解析

【分析】（1）利用导数的几何意义，求切线方程；

（2）首先求函数的导数，化简为，再讨论和两种情况讨论函数的单调性，再求函数的最值.

【详解】(1)当时，

所以.

所以曲线在处的切线方程为：.

(2).

①当时，.

所以时，.

所以在上是增函数.所以.

②当时，令，解得（舍）

1°当，即时，时，.

所以在上是增函数.所以.

2°当，即时，

所以.

3°当，即时，时，.

所以在上是减函数.所以.

综上，当时，；

当时，.

当时，.

21．已知数列，其中，且.若数列满足，，当时，或，则称为数列A的“紧数列”.例如，数列A：2，4，6，8的所有“紧数列”为2，3，5，8；2，3，7，8；2，5，5，8；2，5，7，8.

(1)直接写出数列A：1，3，6，7，8的所有“紧数列”；

(2)已知数列A满足：，，若数列A的所有“紧数列”均为递增数列，求证：所有符合条件的数列A的个数为；

(3)已知数列A满足：，，对于数列A的一个“紧数列”，定义集合，如果对任意，都有，那么称为数列A的“强紧数列”.若数列A存在“强紧数列”，求的最小值.（用关于N的代数式表示）

【答案】(1)；；；

(2)证明见解析

(3)

【分析】（1）利用“紧数列”的定义求解；

（2）由均为递增数列，得到，进而转化为证明：①，②，③，④即可；

（3）记，且根据“强紧数列”的定义求解.

【详解】(1)解：；；；.

(2)依题意，对任意，有或，或，

因为均为递增数列，所以有，即同时满足：

①，②，③，④.

因为为递增数列，因此①和②恒成立.

又因为为整数数列，对于③，也恒成立.

对于④，一方面，由，得，即.

另一方面，，

所以，

即从第项到第项是连续的正整数，

所以，，

因此，

故共有种不同取值，即所有符合条件的数列共有个.

(3)记，依题意，

对任意，有或，

注意到，即对任意，有，

若，则，即；

若，则，即，

即对任意，或者，或者.

所以，所以不能成立.

记，

，

则，且.

注意到：若存在且，即，则.

否则，若，则，不合题意.

因此集合有以下三种情形：

①，.

对任意，有，则

，

当且仅当：，，

即时，等号成立，

此时存在“强紧数列”，

故此情形下，的最小值为；

②，，其中.

对任意，有，对任意，有.

.

故此情形下，的最小值不小于；

③，.

对任意，有，

.

故此情形下，的最小值不小于.

综上，的最小值为.