2023届宁夏平罗中学高三上学期第一次月考数学（理）试题含解析

这是一份2023届宁夏平罗中学高三上学期第一次月考数学（理）试题含解析，共16页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023届宁夏平罗中学高三上学期第一次月考数学（理）试题 一、单选题1．若集合，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出集合后可求.【详解】，故，故选：D 2．已知：，：，，则是的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即得.【详解】由可得，或，，所以由推不出，，由，，可以推出， 故是的必要不充分条件.故选：B.3．函数的单调递增区间是（　　）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据复合函数的单调性即得.【详解】由题知的定义域为，令，则，函数单调递增，当时，关于单调递减，关于单调递减，当时，关于单调递增，关于单调递增，故的递增区间为．故选：D．4．若不等式对一切恒成立，则的取值范围是（  ）A． B． C． D．【答案】C【分析】讨论二次项系数是否为零，结合判别式符号可得答案.【详解】当时，原式化为，显然恒成立；当时，不等式对一切恒成立，则有且，解得.综上可得，.故选：C5．函数的图像为（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】分析函数的定义域、奇偶性、单调性及其在上的函数值符号，结合排除法可得出合适的选项.【详解】函数的定义域为，且，函数为奇函数，A选项错误；又当时，，C选项错误；当时，函数单调递增，故B选项错误；故选：D.6．当时，函数取得最大值，则（    ）A． B． C． D．1【答案】B【分析】根据题意可知，即可解得，再根据即可解出．【详解】因为函数定义域为，所以依题可知，，，而，所以，即，所以，因此函数在上递增，在上递减，时取最大值，满足题意，即有．故选：B. 7．已知，则的大小关系为（   ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据中间值法就可比较大小.【详解】,，则, , ,故选：D.8．《九章算术》中“勾股容方”问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”魏晋时期数学家刘徽在其《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法：如图1，用对角线将长和宽分别为和的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角形再分成一个内接正方形（黄）和两个小直角三角形（朱、青）．将三种颜色的图形进行重组，得到如图2所示的矩形．该矩形长为，宽为内接正方形的边长．由刘徽构造的图形还可以得到许多重要的结论，如图3．设为斜边的中点，作直角三角形的内接正方形对角线，过点作于点，则下列推理正确的是（    ）①由图1和图2面积相等得；②由可得；③由可得；④由可得．A．①②③④ B．①②④ C．②③④ D．①③【答案】A【解析】根据图形进行计算．【详解】①由面积相等得，，正确；②在图3中，由三角形面积得，又，由得，所以，正确；③，由得，所以，正确；④由由得，所以，正确．四个推理都正确．故选：A．【点睛】本题考查推理，通过构造几何图形推导出基本不等式及其推论．本题考查数学文化，激发学生的学习积极性．9．已知函数，若关于的方程有两个不同的实根， 则实数的取值范围为（    ）A．B．C．D．【答案】A【分析】分析函数的性质，作出图象，数形结合即可求解作答.【详解】当时，函数是增函数，函数值集合是，当时，是减函数，函数值集合是，关于的方程有两个不同的实根，即函数的图象与直线有两个交点，在坐标系内作出直线和函数的图象，如图，观察图象知，当时，直线和函数的图象有两个交点，即方程有两个不同的实根，所以实数的取值范围为.故选：A10．已知函数是偶函数，当时，恒成立，设，，，则a，b，c的大小关系为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】通过时，恒成立可得到在上递增，通过是偶函数可得到的图象关于直线对称，即可求出答案【详解】解：∵当时，恒成立，∴当时，，即，∴函数在上为单调增函数，∵函数是偶函数，即，∴函数的图象关于直线对称，∴，又函数在上为单调增函数，∴，即，∴，故选：B．11．已知定义在上的奇函数满足，当时，，则（    ）A．3 B．0 C． D．【答案】D【分析】利用函数的周期性、奇偶性、对称性以及函数的解析式进行求解处理.【详解】因为，所以，所以的周期为4，所以，又是定义在上的奇函数，所以，所以，又因为在中，令，得，所以，又当时，，所以令，，所以.故A，B，C错误.故选：D.12．已知定义在上的偶函数的导函数为，当时，，且，则不等式的解集为（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】由变形得，即可构造，结合的奇偶性可得是上的奇函数且在上单调递减，则可对的符号分类讨论，可将化为关于的不等式，最后结合单调性求解即可【详解】当时，，∴，令，∴在上单调递减，又是定义在上的偶函数，∴是上的奇函数，即在上单调递减，∵，∴，当，即时，，∴；当，即时，，∴，则.故不等式的解集为.故选：A. 二、填空题13．若实数，满足约束条件，则的最大值为______．【答案】5【分析】画出线性可行域，结合目标式的几何意义判断取最大时所过的点，即可求最大值.【详解】由约束条件得可行域如下图示：要使最大，只需其对应直线与数轴截距最大即可，所以，当表示直线过的交点时，.故答案为：514．已知函数，则不等式的解集为______.【答案】【分析】首先判断函数的奇偶性与单调性，则不等式等价于，根据单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可.【详解】解：因为定义域为，且，即为奇函数，又与在定义域上单调递增，所以函数在上单调递增，则不等式等价为，即，解得，即不等式的解集为.故答案为：15．已知函数对任意的，都有，函数是奇函数，当时，，则方程在区间内的所有零点之和为_____________.【答案】4【分析】由已知可得函数的图象关于点对称，由可得函数的周期为2，且图象关于直线对称，从而画出函数的图像，结合图像可得出结果【详解】∵函数是奇函数，∴函数的图象关于点对称，∴把函数的图象向右平移1个单位可得函数的图象，即函数的图象关于点对称，则，又∵，∴，从而，∴，即，∴函数的周期为2，且图象关于直线对称，画出函数的图象如图所示： ∴结合图象可得区间内有8个零点，且所有零点之和为.故答案为：4.【点睛】此题考查函数的奇偶性和周期性，考查函数与方程，考查数形结合思想，属于中档题.16．设函数的定义域为，满足，且当时，若对任意，都有，则的取值范围是__________．【答案】【分析】根据给定条件分段求解析式及对应函数值集合，再利用数形结合即得.【详解】因，又当时，，当时，，，当时，由，解得或，当时，，，显然，当时，，作出函数的大致图象，对任意，都有，必有，所以m的取值范围是.故答案为：. 三、解答题17．（1）设，，求证：；（2）已知，求的最小值.【答案】（1）证明见解析；（2）．【分析】（1）由基本不等式证明；（2）利用柯西不等式求最小值．【详解】（1）因为，，所以，当且仅当，即时等号成立，所以原不等式成立．（2），当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值是．18．已知函数（1）若，求的值域；（2）当时，求的最小值.【答案】（1）（2）【分析】（1）把代入中,得到是关于的二次函数,根据定义域求值域即可.（2）令,将表示为关于的二次函数,分,,三种情况讨论,即可得出最小值.【详解】解：（1）当时,则因为,所以,.（2）令,因为,故,函数可化为,当时,；当时,；当时,；综上,【点睛】本题主要考查指数函数、函数的性质,考查了换元法、分类讨论思想、逻辑推理能力与计算能力.19．已知函数在上的最大值与最小值之和为．（1）求实数的值；（2）对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）【分析】（1）根据指对数函数的单调性得函数在上是单调函数，进而得，解方程得；（2）根据题意，将问题转化为对于任意的，恒成立，进而求函数的最值即可.【详解】解：（1）因为函数在上的单调性相同，所以函数在上是单调函数，所以函数在上的最大值与最小值之和为，所以，解得和（舍）所以实数的值为.（2）由（1）得，因为对于任意的，不等式恒成立，所以对于任意的，恒成立，当时，为单调递增函数，所以，所以，即所以实数的取值范围【点睛】本题考查指对数函数的性质，不等式恒成立求参数范围，考查运算求解能力，回归转化思想，是中档题.本题第二问解题的关键在于根据题意，将问题转化为任意的，恒成立求解.20．已知函数．(1)求曲线在点处的切线方程；(2)设，讨论函数在上的单调性；【答案】(1)；(2)在上单调递增. 【分析】（1）利用导数的几何意义即得；（2）利用函数的单调性与导数符号之间的关系可得出结论.【详解】(1)因为，所以，即切点坐标为，又，∴切线斜率∴切线方程为，即；(2)因为所以，令，则，∴在上单调递增，∴，∴在上恒成立，∴在上单调递增.21．已知函数．(1)讨论的单调性；(2)讨论在上的零点个数．【答案】(1)答案见解析；(2)答案见解析. 【分析】（1）求得，对参数进行分类讨论，根据不同情况下导数的正负即可判断对应的单调性；（2）根据（1）中所求函数的单调性，结合零点存在定理，逐一分析每种情况下函数零点的个数即可.【详解】(1)因为，则，当时，，此时在上单调递减；当时，令，可得，则当时，，单调递增，当时，，单调递减.综上所述：当时，在上单调递减；当时，在单调递增，在上单调递减.(2)当时，在上单调递减，又，故当时，，故此时在无零点；当时，，故在单调递减，同时，此时在无零点；当时，，故在单调递增，在单调递减，，若，即时，，故在无零点；若，即时，，此时在有一个零点；若，即时，，又因为，故在上一定存在一个零点；又因为，且，故在上也一定存在一个零点；下证：，令，则，即在单调递减，故，即故.故当时，有两个零点.综上所述：当时，在无零点；时，在有一个零点；时，有两个零点.【点睛】本题考察利用导数研究含参函数的单调性，以及函数的零点个数，涉及零点存在定理，属综合中档题.22．已知函数(其中为自然对数的底数)(1)讨论函数的单调性;(2)当时，若恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)答案见解析(2) 【分析】（1），进而分，，三种情况讨论求解即可；（2）由题意知在上恒成立，故令，再根据导数研究函数的最小值，注意到使，进而结合函数隐零点求解即可.【详解】(1)解：①，在上单调增；②，令，单调减单调增；③，单调增单调减.综上，当时，在上单调增；当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减.(2)解：由题意知在上恒成立，令，，单调递增∵，∴使得，即单调递减；单调递增，令，则在上单调增，∴实数的取值范围是