2023届新疆生产建设兵团第二师八一中学高三上学期第一次月考试数学（理）试题含解析

2023届新疆生产建设兵团第二师八一中学高三上学期第一次月考试数学（理）试题

一、单选题

1．已知集合，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据交集的定义直接求解即可.

【详解】因为，

所以，

故选：C

2．命题“，”的否定为（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】C

【分析】由特称命题的否定需改变量词，否定结论可得.

【详解】命题“，”的否定为“，”．

故选：C．

3．已知函数则（    ）

A．4 B．2 C． D．

【答案】C

【分析】根据分段函数的定义即可求解.

【详解】解：因为，所以，

所以，

故选：C.

4．已知命题p：若 ，则；命题q：“ ”，下列命题是真命题的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】判断命题p,q的真假，从而可判断的真假，根据且命题真假的判断方法，可得答案.

【详解】因为， ，故命题p为假命题，则为真命题，

命题q：“ ”为真命题，则为假命题，

故为假命题，为真命题，为假命题，为假命题，

故选：B

5．在下列四组函数中，与表示同一函数的是（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】B

【分析】根据题意，先看函数的定义域是否相同，再观察两个函数的对应法则是否相同，即可得到结论.

【详解】对于A中，函数的定义域为，而函数的定义域为，所以两个函数不是同一个函数；

对于B中，函数的定义域和对应法则完全相同，所以是同一个函数；

对于C中，函数的定义域为，而函数的定义域为 ，所以两个函数不是同一个函数；

对于D中，函数的定义域为，

而函数的定义域为，所以不是同一个函数，

故选：B

6．设，则“”是“”的（    ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】先解出不等式，再判断充分性和必要性即可.

【详解】由于不等式的解集为，则可推出，反之不成立，

所以“”是“”的充分而不必要条件．

故选：A.

7．已知函数，且，则（    ）

A．7 B．5 C．3 D．4

【答案】A

【分析】利用凑配法求函数的解析式，代入即可求解.

【详解】,

.

,解得．

故选：A.

8．函数f（x）的定义域为R，则实数m的取值范围是（       ）

A．（0，1） B．（﹣∞，﹣1] C．[1，+∞） D．（﹣∞，﹣1）

【答案】B

【分析】问题转化为恒成立，则，求解即可

【详解】f（x）的定义域是R，则恒成立，

即恒成立，则，解得，

所以实数m的取值范围为.

故选：B.

9．定义在上的偶函数满足：对任意的，有，则、、的大小关系为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】由已知条件得出单调性，再由偶函数把自变量转化到同一单调区间上，由单调性得结论．

【详解】因为对任意的，有，

所以当时，，

所以在上是减函数，

又是偶函数，所以，，

因为，所以，

即．

故选：D．

10．已知定义在上的奇函数满足，当时，，则（    ）

A．3 B．0 C． D．

【答案】D

【分析】利用函数的周期性、奇偶性、对称性以及函数的解析式进行求解处理.

【详解】因为，所以，所以的周期为4，

所以，

又是定义在上的奇函数，所以，

所以，

又因为在中，令，得，

所以，又当时，，所以令，，

所以.故A，B，C错误.

故选：D.

11．已知，且，则的最小值为（    ）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】A

【分析】转化后由基本不等式“1”的妙用求解

【详解】因为，，所以，

所以

，

当且仅当，即，时等号成立.所以的最小值为2.

故选：A

12．已知函数的定义域为，且，为偶函数，若，，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】分析可知函数为周期函数，且周期为，求得，，结合可求得的值.

【详解】对任意的，由可得，

所以，，则，

所以，函数为周期函数，且周期为，

因为为偶函数，所以，

所以，函数的图象关于直线对称，则，

因为，则，

因为且，则，所以，，

因为，且，

因为，故.

故选：D.

二、填空题

13．函数的定义域是___________.

【答案】

【分析】写出使函数有意义的表达式，求定义域．

【详解】的定义域需满足，

所以函数的定义域．

故答案为：

14．已知则的最大值为______

【答案】

【分析】三维柯西不等式的直接应用，凑形式即可.

【详解】由柯西不等式，

则，

所以，当且仅当时，等号成立，

所以的最大值为.

故答案为：.

15．函数在上是增函数，则a的取值范围为________．

【答案】

【分析】根据分段函数单调性，列出各段为减函数的条件，并注意两段分界处的关系，即可求解.

【详解】解：因为函数在上是增函数，

所以当时，为增函数，则，解得，

当时，为增函数，则，且，解得，

综上，a的取值范围为.

故答案为：.

16．在直角坐标系中，曲线方程为，直线的参数方程为（为参数），若曲线截直线所得线段的中点坐标为，则的斜率是_____.

【答案】

【分析】将直线的参数方程代入曲线方程化简，由题意可知，则，从而可求出直线的斜率

【详解】因为直线的参数方程为（为参数），表示过点的直线，

所以将直线的参数方程代入曲线方程得

，

化简整理得，

因为直线的参数方程中参数的几何意义为直线上的点到点的位移，

所以两交点到中点的距离和为0，即，

所以，

解得，

所以，

所以的斜率是，

故答案为：

三、解答题

17．已知函数.

（1）解不等式；

（2）若对恒成立，求的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）利用零点分域法去绝对值，分，，三种情况讨论解不等式即可求而即；

（2）由绝对值三角不等式求出的最小值，解不等式即可求解.

【详解】（1）由，

得 或或

解得：或或，

所以原不等式的解集为.

（2），

当且仅当，即时取等号，即，

所以，即，解得：，

所以的取值范围为.

18．求解下列问题：

(1)已知是一次函数，且满足，求的解析式.

(2)已知是定义在上的偶函数，当时，.

①求的值；

②求的解析式.

【答案】(1)

(2)①；②

【分析】（1）根据题意设，再代入已知条件化简可求出，从而可求出函数解析式，

（2）①根据偶函数的性质结合已知函数的解析式求解，②令时，，代入已知的解析式中化简可求出时的解析式，从而可求得的解析式.

【详解】(1)设，依题意，

所以，即，

所以，解得，

所以，

(2)依题意是定义在上的偶函数，当时，.

①，

②当时，，

所以，

所以.

19．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．

（1）求直线与曲线的普通方程；

（2）若直线与曲线交于、两点，点，求的值．

【答案】（1）（或）；；（2）.

【分析】（1）由可将直线的极坐标方程化为普通方程，在曲线的参数方程中消去参数可将曲线的参数方程化为普通方程；

（2）求得直线的参数方程为（为参数），设点、对应的参数分别为、，将直线的参数方程与曲线的普通方程联立，列出韦达定理，进而可计算出的值.

【详解】（1）因为，所以，

所以直线的普通方程为（或）．

因为曲线的参数方程（为参数），可得，

，

所以曲线的普通方程为；

（2）设直线的倾斜角为，直线的斜率为，

由题意可得，解得，

易知点在直线上，所以，直线的参数方程为（为参数），

设点、对应的参数分别为、，

将直线的参数方程代入曲线的普通方程得，，

由韦达定理得，，所以，，，

故．

【点睛】本题考查极坐标方程、参数方程与普通方程之间的相互转化，同时也考查了利用直线参数方程的几何意义求值，考查计算能力，属于中等题.

20．已知函数是定义域为的奇函数，且.

(1)求的值；

(2)若函数满足，求的取值范围.

【答案】(1)或

(2)

【分析】（1）由题意可得，求得，再由可求出，

（2）由于函数为奇函数，所以将原不等式化为，再由函数在上为增函数，列出关于的不等式组，从而可求出的范围.

【详解】(1)因为是定义在的奇函数，故可得，则；

因为，故可得，解得或；经检验成立

综上所述：或.

(2)由，得，

因为为奇函数，所以，

由（1）得在上为增函数，

所以，即，

即，

解得

即的取值范围为.

21．在直角坐标系中，曲线的方程为（为参数），曲线的方程为.以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.

（1）求曲线和的极坐标方程；

（2）已知射线的极坐标方程是，且与曲线和交于，两点，试确定的值，使达到最小.

【答案】（1）；；（2）.

【分析】（1）根据参数方程与普通方程的互化，得到曲线的普通方程，再由直角坐标与极坐标方程的互化公式，即可得出曲线和的极坐标方程；

（2）设点，根据极坐标方程，得到；设点，根据极坐标方程，得到，推出，令，，由于，得到，，用导数的方法求其最值，即可得出结果.

【详解】（1）由消去参数得曲线的普通方程为：，

所以其极坐标方程为：：即，

由得：曲线的的极坐标方程为；

（2）设点，则有，解得，

所以，；

设点，则有，解得，所以，.

.

令，，由于，则，.

令，则.

由于，，，；

所以为的极大值点，从而的最小值为，

此时，即有.

【点睛】本题考查极坐标与参数方程有关知识，考查转化与化归及运算求解能力，涉及导数的方法求函数的最值，属于常考题型.

22．设函数．

（1）解不等式；

（2）若在上恒成立，求实数的取值范围．

【答案】（1）；（2）．

【分析】（1）分段讨论，可得解析式，分别求解，综合分析，即可得答案.

（2）由题意得在上恒成立，令，在同一个坐标系中画出函数和的图象，数形结合，即可得答案.

【详解】（1）函数

故由不等式可得，，或，

解得．故不等式的解集为.

（2）不等式在]上恒成立，

即在上恒成立，

令，

在同一个坐标系中画出函数和的图象，

如图所示．

故当时，若，则函数的图象在函数的图象的下方，

在上恒成立，求得，

故所求的实数的取值范围为．