2023届河南省濮阳市南乐县第一高级中学高三上学期7月月考数学（理）试题含解析

2023届河南省濮阳市南乐县第一高级中学高三上学期7月月考数学（理）试题

一、单选题

1．i是虚数单位，复数z满足：，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】先求z，再求.

【详解】，．

故选：A.

2．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先求出集合M，N，再求两集合的交集

【详解】解：因为，，

所以．

故选：D．

【点睛】本题考查集合的运算，考查了－元二次不等式的解法，属于基础题．

3．下列函数，在定义域内单调递增且图象关于原点对称的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据已知利用函数的性质逐项分析排除即可.

【详解】在定义域内单调递增且图象关于原点对称的是奇函数，

选项，是偶函数，不符合条件；

选项，定义域不关于原点对称，不符合条件；

选项，是偶函数，不符合条件；

选项中，因为，所以函数为奇函数，将函数式变为，随着增大函数值也增大，是单调递增函数，符合条件，

故选：D.

【点睛】本题考查了函数的单调性、奇偶性，要考虑函数的定义域.

4．函数的图象在点处的切线的倾斜角为，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】求出函数的导函数，导函数在的函数值即是切线的斜率，根据斜率求出倾斜角即可.

【详解】由题意得，所以切线斜率，

所以.

故选：B.

【点睛】本题考查导数的几何意义，求切线的斜率.

5．函数的部分图象大致为（    ）

A．

B．

C．

D．

【答案】A

【分析】根据奇函数图象的对称性排除选项C，D；根据当时，，排除B.从而可得答案.

【详解】因为，

所以，

所以函数为奇函数，排除选项C，D；

又当时，，所以排除B.

故选：A.

【点睛】本题考查了奇函数图象的对称性，考查了排除法，考查了根据函数解析式选择图象，考查了诱导公式，属于基础题.

6．下列有关命题的说法正确的是

A．命题“若，则”的否命题为：“若，则”

B．“”是“”的必要不充分条件

C．命题“，使”的否定是：“均有”

D．命题“若，则”的逆否命题为真命题

【答案】D

【分析】分别根据四种命题之间的关系以及充分条件和必要条件的定义即可得到结论．

【详解】解：．命题“若，则”的否命题为：“若，则”，则错误．

．由，解得或，则“”是“”的充分不必要条件，故错误．

．命题“使得”的否定是：“均有”，故错误．

．命题“若，则”为真命题，则根据逆否命题的等价性可知命题“若，则”的逆否命题为真命题，故正确．

故选．

【点睛】本题主要考查命题的真假判断，要求熟练掌握四种命题，充分条件和必要条件，含有一个量词的命题的否定．

7．已知函数（且），若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由可确定函数解析式，然后根据分段函数的意义求值即可.

【详解】函数（且），，则，

，则，

故选：C

【点睛】本题考查分段函数求函数值问题，考查计算能力，属于基础题.

8．设函数在区间内有零点，则实数的取值范围是

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】试题分析：∵单调函数在区间（1，2）内有零点，

∴f（1）•f（2）＜0

又

则

解得，故选Ｃ．

【解析】函数零点的判定定理．

9．若，，，则下结论正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据指数函数、对数函数、幂函数的单调性进行判断.

【详解】考虑中间值，根据指数函数的单调性，得，即；

根据幂函数的单调性，得，即；

根据对数函数的单调性，得.

所以.

故选：.

10．已知函数若方程恰有三个不同的实数解，，，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】画出的图像，根据图像求出以及+的值和的范围，进一步求出答案.

【详解】画出的图像，

因为方程恰有三个不同的实数解，，

可知的范围

由题可知+=2，

所以

所以.

故选：B.

【点睛】本题考查的是函数与方程的知识点，涉及到数形结合的思想，属于基础题.

11．已知函数对于任意、，总有，且当时，，若已知，则不等式的解集为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】设，分析出函数为上的增函数，将所求不等式变形为，可得出，即可求得原不等式的解集.

【详解】令，则，

对任意的、，总有，则，

令，可得，可得，

令时，则由，即，

当时，，即，

任取、且，则，即，即，

所以，函数在上为增函数，且有，

由，可得，即，

所以，，所以，，解得.

因此，不等式的解集为.

故选：A.

12．已知函数，．若，都，使成立，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】将问题转化为，结合对勾函数单调性可确定；通过对二次函数对称轴位置的讨论可得的单调性，从而确定，由此构造不等式求得结果.

【详解】，都，使成立，；

当时，，

在上单调递减，在上单调递增，

又时，；时，；，

当时，；

①当，即时，在上单调递增，，

，解得：，；

②当，即时，在上单调递减，在上单调递增，

，，解得：或，

；

③当，即时，在上单调递减，，

，解得：，；

综上所述：的取值范围为.

故选：D.

【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：

一般地，已知函数，

（1）若，，总有成立，故；

（2）若，，有成立，故；

（3）若，，有成立，故；

（4）若，，有成立，故；

（5）若，，有，则的值域是值域的子集 ．

二、填空题

13．若函数称为“准奇函数”，则必存在常数a，b，使得对定义域的任意x值，均有，已知为准奇函数”，则a＋b＝_________.

【答案】2.

【分析】根据函数关于点对称的关系式，找到函数f（x）的对称点，即可得到结论．

【详解】由知“准奇函数”关于点对称；

因为=关于对称，所以，，.

故答案为2.

【点睛】本题考查新定义的理解和应用，考查了函数图象的对称性的表示方式，属于基础题．

14．已知命题；命题是增函数.若“”为假命题且“”为真命题，则实数的取值范围为_______.

【答案】

【分析】分别求出为真时的的范围，通过讨论的真假，从而求出的范围即可．

【详解】命题，解得：；

命题是增函数，则，解得.

若“”为假命题且“”为真命题，则一真一假，

真假时： 无解，

假真时： ，解得：.

故答案为：．

15．已知函数的值域为（），函数，，，总，使得成立，则实数的取值范围为________________.

【答案】

【分析】依题意分析的值域A包含于的值域B，再对分类讨论得到的值域，列关系计算即可.

【详解】因为，总，使得成立，

所以的值域A包含于的值域B，依题意A=，

又函数，，因此，

当时，，不满足题意；

当时，在上递增，则，

故，即得；

当时，在上递减，则，

故，即得.

综上，实数的取值范围为.

故答案为：.

【点睛】本题考查了恒成立问题、函数的值域，以及利用包含关系求参数范围问题，属于中档题.

16．已知且对任意的恒成立，则的最小值为_____．

【答案】1

【详解】设，则由得：，当当时，，当时，，所以当时，有唯一极值，也是最小值，所以由对任意的恒成立，得，可得，因为 ，故成立，

令（），，当时，，当时，，所以当时，，所以，故填．

三、解答题

17．已知函数().

（1）若函数是定义在上的奇函数，求的值；

（2）当时，，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）运用，即可解出的值.

（2）可采用分离常数法得对于任意的恒成立，令，则，令，所以，结合二次函数的性质即可求解.

【详解】（1）因为函数是定义在上的奇函数，所以对任意恒成立，

即对任意恒成立，

整理得对任意恒成立，所以.

（2）根据题意，不等式对于任意的恒成立，

即不等式对于任意的恒成立.

令，则，

令，所以.

而在上单调递增，

所以，所以，解得.

故的取值范围是.

【点睛】本题主要考查了利用函数的奇偶性求参数，以及恒成立问题求参数，属于中档题

18．某大型超市为调查2022年元旦购物者的消费情况，从当天消费金额不低于50元的购物者中随机抽取100名进行调查，得到如下统计表：

(1)从这100名购物者中随机抽取1人，估计该人消费金额低于200元的概率；

(2)以频率估计概率，从元旦当天消费金额不低于50元的购物者中随机抽取3人，记消费金额不低于200元的购物者人数为，求的分布列及数学期望．

【答案】(1)；

(2)分布列见解析，.

【分析】（1）应用古典概型的概率求法求该人消费金额低于200元的概率；

（2）由题设有的可能取值0，1，2，3，应用二项分布概率公式求各可能值概率，进而写出其分布列，最后根据分布列求期望即可.

【详解】（1）这100名购物者中消费金额低于200元的人数为．

故从这100名购物者中随机抽取1人，估计该人消费金额低于200元的概率为．

（2）由题意知，的可能取值0，1，2，3

由（1）知，任意1名购物者消费金额低于200元的概率为，消费金额不低于200元的概率为，

若以频率估计概率，则服从二项分布．

；；

；．

所以的分布列为

．

19．如图，正四面体中，O是顶点A在底面内的射影，E是中点，平面与棱交于M．

（1）求证：平面平面；

（2）求二面角的余弦值．

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【分析】（1）延长与交于N，设正四面体的棱长为a，即可求出，再利用勾股定理求出，依题意可得，从而求出，即可得到，，两两垂直，则平面，即可得证．

（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出二面角的余弦值；

【详解】（1）延长与交于N，设正四面体的棱长为a，

则，，

，

又O正三角形的中心，，

得：，

则由勾股定理逆定理，

，，两两垂直，

即，，，且，平面

平面．

因为平面

所以平面平面

（2）取为原点，、、方向为x、y、z轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图，

则，，，，

设平面的法向量为，

则

令，得：，

由（1）知，平面的一个法向量是，

不妨取，得：，

则，

易知二面角的平面角为锐角，

故二面角的余弦值为．

20．、，分别为椭圆的左、右焦点，过的动直线l与椭圆C交于A、B，当B与上顶点重合时，l的倾斜角为60°，的周长为8．

（1）求椭圆C的方程；

（2）是A关于x轴的对称点，且，求直线l的方程．

【答案】（1）；（2）．

【分析】（1）由题意可得，，再结合，从而出，进而可得椭圆C的方程；

（2）设，，直线l的斜率为k，则，，由，可得，从而可得，将直线方程代入椭圆方程消去，利用根与系数的关系，结合前面的式子可求出的值，进而可得到直线l的方程

【详解】（1）由直线l的斜率，又的周长，

得：，，，

故椭圆C的方程为．

（2）设，，直线l的斜率为k，

则，而，，

由，

得：，

整理得：（）

将代入，整理得：，

可得：，代入（）式，

化简得：，

则直线l的方程为：．

21．函数．

（1）讨论的极值点的个数；

（2）设，若恒成立，求a的取值范围．

【答案】（1）答案见解析；（2）．

【分析】（1）根据，讨论、研究的单调性，进而判断极值点的个数；

（2）由题意可知恒成立，构造并应用导数研究单调性，由求a的范围．

【详解】（1），

若，而，，无极值点；

若，得，而，故不是极值点，

∴当时，，此时函数单调递减，

当时，，此时函数单调递增，

此时，有唯一的极值点．

（2）恒成立，

∴恒成立，

设，有，

，

当时，，，，单调增；

当时，，，，单调减．

当时，取得极大值，也是最大值，

由题意：，

∴a的取值范围为．

22．以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知倾角为的直线的极坐标方程为，圆的参数方程为（是参数）．

（1）求直线的普通方程；

（2）若直线与圆相交于、两点，且，求的值．

【答案】（1）；（2）或．

【分析】（1）利用两角差的正弦公式结合极坐标与直角坐标之间的转换关系可将直线的方程化为普通方程；

（2）由圆的参数方程可得出圆心的坐标与圆的半径，求出弦心距，利用勾股定理可求得的值，结合的取值范围可求得的值.

【详解】（1）由得，

故直线的普通方程为：；

（2）由圆的参数方程知，圆心，半径，

弦心距，

由勾股定理得，即，可得，

因为，因此，或．

23．已知，，．

（1）求证：；

（2）求证：．

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．

【分析】（1）将要求证的等式左边平方，利用基本不等式结合已知条件即可证结论，注意等号成立条件.

（2）利用“1”的代换有，再由基本不等式求证即可，注意等号成立条件.

【详解】（1），当且仅当时，等号成立．

．

（2）．（当且仅当时，等号成立）．