2023届河南省濮阳市南乐县第一高级中学高三上学期9月月考数学（文）试题含解析

2023届河南省濮阳市南乐县第一高级中学高三上学期9月月考数学（文）试题

一、单选题

1．已知集合，，则（　　  ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】化简集合,再根据交集的概念进行运算可得.

【详解】因为函数的值域为所以,

又集合,所以.

故选:D

【点睛】本题考查了交集的运算,函数的值域,解一元二次不等式,属于基础题.

2．设，集合是偶数集，集合是奇数集.若命题，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题求解.

【详解】因为命题是全称量词命题，

所以其否定是.

故选：D.

【点睛】本题主要考查含有一个量词的命题的否定，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.

3．已知为非零向量，则“与的夹角为锐角”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】根据平面向量数量积的定义，结合向量共线的性质，利用充分条件与必要条件的定义，即可判断出结论．

【详解】与都是非零向量，若“向量与夹角为锐角”，则 “”，

反之，若，与可能同向共线，此时与的夹角不为锐角．

因此“与的夹角为锐角”是“”的充分不必要条件．

故选：A．

【点睛】方法点睛：判断充分条件与必要条件应注意：首先弄清条件和结论分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.

4．若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先对条件平方得，再根据诱导公式得结果.

【详解】

故选：C

【点睛】本题考查同角三角函数关系、诱导公式，考查基本分析求解能力，属基础题.

5．定义在上的奇函数满足，当时，，则在区间上是（    ）

A．减函数且 B．减函数且

C．增函数且 D．增函数且

【答案】D

【分析】求得函数在区间上的解析式，进而可得出结论.

【详解】由于函数为上的奇函数，

当时，，则，

由于，则当时，，

此时，，

所以，函数在区间上是增函数，且，则.

故选：D.

【点睛】本题考查函数在区间上的单调性与函数值符号的判断，求出函数在区间上的解析式是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.

6．函数在上的图象大致为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】先判断函数的奇偶性和对称性，再利用特殊值的符号进行排除即可．

【详解】依题意，，故函数为偶函数，图象关于轴对称，排除B；

而，排除D，，排除C.

故选：A

【点睛】方法点睛：

识别图像的常用方法：利用函数的定义域，奇偶性，对称性，单调性，特值法一一排除.

7．已知中，点是线段上靠近的三等分点，是线段的中点，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】不妨设为等腰直角三角形，其中，以线段所在直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系,分别求得向量 的坐标，利用平面向量的基本定理求解.

【详解】不妨设为等腰直角三角形，其中，以线段所在直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系；

设，故，，

故，，，

故，，

设，

则，

解得，

故．

故选：C

8．已知函数，将函数图象的横坐标缩短为原来的倍后，再向右平移个单位，得到函数的图象，则下列说法错误的是（    ）

A．的周期为 B．在上先减后增

C． D．在上的最大值为1

【答案】D

【解析】由利用伸缩变换和平移变换得到，然后再逐项判断.

【详解】将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍后，得到，再向右平移个单位后，得到，

故函数的周期为，故A正确；

令，解得，所以函数在上单调递减上单调递增，故B正确；

由于，则是图象的一条对称轴，故C正确；

函数在上的最大值为2，故D错误．

故选：D

【点睛】方法点睛：解决三角函数图象与性质综合问题的方法：先将y＝f(x)化为y＝asin x＋bcos x的形式，然后用辅助角公式化为y＝Asin(ωx＋φ)＋b的形式，再借助y＝Asin(ωx＋φ)的性质(如周期性、对称性、单调性等)解决相关问题．

9．若，，，则下列结论正确的是

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】分析：利用指数函数的性质以及对数函数的性质，分别确定，，的范围，从而可得结果.

详解：因为，

所以，故选D.

点睛：本题主要考查对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于难题.解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间 ）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.

10．已知是定义在上的奇函数，且当时．若，则满足的的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据给定条件确定出函数的单调性，借助单调性解不等式即得.

【详解】因当时，，则在上为减函数，根据奇函数的性质，得在上单调递减，且，

由得：，即，于是得：，解得，

所以的取值范围是.

故选：A

11．在中，角的对边分别为．若，则三角形的面积，因为这个公式最早出现在古希腊数学家海伦的著作《测地术》中，故称之为海伦公式．将海伦公式推广到凸四边形(凸四边形即任取平面四边形一边所在直线，其余各边均在此直线的同侧)中，即“设凸四边形的四条边长分别为，凸四边形的一对对角和的一半为，凸四边形的面积为，现有凸四边形，则四边形的面积的最大值为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据所给公式计算即可，然后由正弦函数性质得最大值．

【详解】由得

又则，

所以当时，凸四边形面积的最大值为．

故选：D．

12．已知函数且恒成立，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】根据条件变形可知在区间上单调递减，转化恒成立，即可求解.

【详解】不妨设可得

令则在区间上单调递减，

所以在区间上恒成立，

当时，

当时，，

而，

所以在区间上单调递减，则，

所以.

故选：A

【点睛】关键点点睛：本题中恒成立，可转化为函数递减是解题的关键，突破此点后，利用导数在区间上恒成立，分离参数就可求解.

二、填空题

13．设平面向量，，若，则的值为_____.

【答案】2

【分析】利用向量垂直的数量积坐标公式可求得答案.

【详解】由，得，解得.

故答案为：2.

【点睛】本题考查向量的数量积的坐标运算，属于基础题.

14．函数的图像在点处的切线垂直于直线，则_______.

【答案】

【分析】先求出，再解方程即得解.

【详解】因为.所以.

因为.

所以.

故答案为：

【点睛】本题主要考查求导和导数的几何意义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

15．已知是上的奇函数，且当时，，则函数在上的零点的个数是______.

【答案】5

【分析】由函数的零点，在时,令求零点，根据奇函数的对称性及性质可得其它的零点，即可知在上的零点的个数.

【详解】时,令，解得，；

根据奇函数的对称性，当时，的零点是，；

又，所以在上共有5个零点.

故答案为：5.

【点睛】本题考查了函数的零点，应用了奇函数的性质：关于原点对称且，属于基础题.

16．对于三次函数 ，给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.设函数，则_____.

【答案】2019

【分析】令，求得的对称中心是，进而得到求解.

【详解】因为，

所以，，

令，得，

又，

所以的对称中心是，

所以，

所以，

，

，

故答案为：2019

【点睛】关键点点睛：本题关键是理解拐点即为对称点，由求得对称中心.

三、解答题

17．设，：函数的定义域为R，q：函数在区间上有零点.

（1）若q是真命题，求a的取值范围；

（2）若是真命题，求a的取值范围.

【答案】（1）（2）或

【解析】（1）将函数的零点问题转化为两个函数的交点问题，从而得出的范围；

（2）由判别式小于0得出中的范围，根据或命题的性质得出的范围.

【详解】解：（1）当q是真命题时，在上有解

即函数与函数有交点

又的值域为

所以a的取值范围为.

（2）当p是真命题时，由题意，在上恒成立，

则，则.

记当p是真命题时，a的取值集合为A，则；

记当是真命题时，a的取值集合为B，则或，

因为是真命题

所以a的取值范围是或

【点睛】本题主要考查了由命题为真命题求参数的范围，属于中档题.

18．已知的一个极值点为2.

（1）求函数的单调区间；

（2）求函数在区间上的最值.

【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为，；（2）最小值为，最大值为.

【分析】（1）由题目极值点为2可以求得解析式中的值，并验证确为极值点，则函数表达式确定，根据导数的正负判断函数单调性即可

（2）根据（1）中对函数单调性的研究，可以判断在区间上的单调性，从而得出最大最小值

【详解】解:（1）因为，所以，

因为的一个极值点为2，

所以，解得，

此时，，

令，得或，

令，得；令，得或，

故函数在区间上单调递减，在区间，上单调递增.即适合题意                                      

所以，函数单调递减区间为，单调递增区间为，

（2）由（1）知，在上为增函数，在上为减函数，

所以是函数的极大值点，又，，，

所以函数在区间上的最小值为，最大值为.

19．已知向量与的夹角为，且，．

(1)若向量与共线，求实数的值；

(2)若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由与共线，得到，然后由，即，根据，不共线求解；

（2）法一：根据与的夹角为锐角，由且与的夹角不为求解；法二：设与的夹角为，然后由即求解．

【详解】（1）解：因为与共线，所以，

即存在实数，使得，即，

因为，不共线，所以解得，

故．

（2）法一：因为与的夹角为锐角，

所以且与的夹角不为．

首先，

因为，

所以，解得；

其次当时，由（1）得与的夹角为，所以，

所以的取值范围为．

法二：设与的夹角为，由已知得．

因为，，

．

．

所以，

解得，，

所以的取值范围为．

20．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，.

（1）求角A；

（2）若，求的最大值.

【答案】（1）；（2） .

【分析】（1）先用正弦定理，将条件中的边化为角，再利用,将角化成形式，即，进而求得，即可得到的值；

（2）由余弦定理，可以转化为，再利用基本不等式求的最大值.

【详解】（1）由，

根据正弦定理，得，

即，

所以，

因为，所以，即，

∵，∴.

（2）因为，，由余弦定理得：

，即，

∴.

∵，∴，

∴，当且仅当时等号成立.

故的最大值为.

【点睛】本题考查解三角形中的求角、边的最值，考查函数与方程思想的应用，考查基本运算求解能力，利用基本不等式求的最大值时，要注意等号成立的条件.

21．已知，，．

（1）求函数的单调递增区间；

（2）当时，对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围．

【答案】（1）

（2）

【详解】试题分析：先利用平面向量的数量积运算化简成的形式，再利用整体思想与三角函数的图像与性质进行求解．

试题解析：

（1）令得

,

所以函数的单调递增区间为

（2）当时，，，

因为对任意，不等式恒成立

所以恒成立，即，即恒成立

若，符合条件；若，则且，即；

所以实数的取值范围为

【解析】1．平面向量的数量积；2．函数的单调区间；3．函数的值域．

22．设函数，，其导函数为．

(1)求函数的单调区间；

(2)若，为整数，且当，，求的最大值．

【答案】(1)详见解析；

(2)2.

【分析】(1)求出函数的导函数，再按、讨论正负即可得解；

(2)根据给定条件将不等式等价转化并分离参数，构造函数，讨论它的最小值即可得解.

【详解】（1）因为的定义域为R，．

当时，则，在R上单调递增；

当时，则，解得，

当x变化时，，变化如下表：

综上，当时，在R上单调递增；

当时，的单调减区间是，增区间是；

（2）由于，

∴．

故当时，等价于，

令，则．

由（1）知，函数在上单调递增，

而，，

∴在存在唯一的零点，

故在存在唯一的零点．设此零点为m，则．

当时，；当时，，

∴在的最小值为．

又由，可得，

∴．

由于，

故整数的最大值为2．

【点睛】关键点睛：本题考查函数的单调性，考查函数的最值；解决本题的关键是第一小题应用分类讨论的方法；第二小题将问题转化为求函数的最小值问题.