2023届河南省濮阳市南乐县第一高级中学高三上学期10月月考数学（文）试题含解析

2023届河南省濮阳市南乐县第一高级中学高三上学期10月月考数学（文）试题

一、单选题

1．已知全集，集合，则 （    ）

A． B．{4} C．{0，4} D．

【答案】B

【分析】将全集U和集合A具体求出，再求补集即可，需注意元素的范围要求是自然数集.

【详解】

所以.

故选：B.

2．若非零向量，满足，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件， B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】将两边平方可得，，再根据数量积的定义可知，“”是“”的充要条件．

【详解】解：因为，等价于，由数量积的定义可知，等价于，

故“”是“”的充要条件．

故选：．

3．若函数的定义域是，则的定义域为（　　）

A．R B． C． D．

【答案】A

【分析】直接利用求抽象函数定义域的方法，由可得.

【详解】∵的定义域是,

∴满足,

∴,∴的定义域为．故选A．

【点睛】本题主要考查抽象函数的定义域，属于简单题. 定义域的三种类型及求法：(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解；(2) 对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解；(3) 若已知函数的定义域为，则函数的定义域由不等式求出.

4．《周髀算经》规定“一衡之间万九千八百三十三里三分里之一”，就是相邻两衡间距离（半径差）为里，给出了计算各衡直径的一般法则，即“预知次衡径，倍而增内衡之径，二而增内衡径，得三衡径”.这段话的意思是说想求出二次衡的直径，须把半径差二倍加上内一衡（最小圆圈）的直径，次三衡以及以后的都这样要求.已知内一衡径=238000里000步（当时300步为1里），则次三衡径为（    ）

A．396666里200步 B．357000里000步

C．317333里100步 D．277666里200步

【答案】C

【分析】利用题中的条件，可知圆的半径成等差数列，公差为，进而可以解出.

【详解】由题意可知半径差为，

内一衡径为238000里，

因此次二衡直径为：，

次三衡直径为：，

又因为300步为1里，所以里约为100步，

所以次三衡径为317333里100步.

故选：C

5．已知等比数列的公比为，前项的和为，且成等差数列，则（    ）

A．或 B． C．或 D．

【答案】A

【分析】根据等差中项及等比数列前项和的定义，结合等比数列的通项公式即可求解.

【详解】因为成等差数列，

所以.

因为等比数列的前项的和为，

所以，即，解得，

又因为等比数列的公比为，

所以由得，即，解得或.

故选：A.

6．2020年11月24日4时30分，长征五号途五运载火箭在我国文昌航天发射场成功发射，飞行约2200秒后，顺利将探月工程嫦娥五号探测器送人预定轨道，开启我国首次地外天体采样返回之旅.已知火箭的最大速度单位与燃料质量(单位)､火箭质量单位的函数关系为，若已知火箭的质共为火箭的最大速度为则火箭需要加注的燃料为(参考数值为结果精确到0.01（    ）

A．243.69 B．244.69 C． D．

【答案】C

【分析】利用指对互化解出，可得火箭需要加注的燃料的估算值．

【详解】，则，所以

解得

故选：C

7．函数的图象大致为（   ）.

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先结合奇偶性排除D，再采用特殊值法直接选出答案.

【详解】整体为奇函数，整体为偶函数，故为奇函数，排除D，当时，，，故函数值为负，只有A项符合.

故选：A

8．已知向量，若与的夹角为，则的值为（    ）

A．0 B． C． D．0或

【答案】C

【分析】已知，利用向量数量积的坐标运算求出即可．

【详解】由，

有，，，，

又∵，∴，

两边同时平方，解得或,

当，，不合题意，所以舍去，.

故选：C

9．已知函数 ，则f(x)在上的单调递增区间为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用整体代入法求得的单调递增区间，由此确定正确选项.

【详解】由，

解得，

所以的单调递增区间是，

令，得的单调递增区间是，

所以在区间上的单调递增区间为.

故选：B

10．已知点是函数图象的一个对称中心，其中为常数且，则以下结论正确的是（    ）

A．函数的最小正周期为

B．将函数的图象向右平移个单位所得的图象关于轴对称

C．函数在上的最小值为

D．若，则

【答案】B

【分析】首先由题意得出的取值，然后由型函数的图象以及性质可较易得到各选项的判断.

【详解】由题意知：，

∴，，

即：，，∴，符合题意，

∴，

周期，所以A错误；

将的图象向右平移个单位所得的函数设为，

则：，

∵，∴为偶函数，

∴的图象关于轴对称，所以B正确；

由，得：；当时，

即，时，有最小值，为，所以C错误；

设，，，设，

∴当时，单调递减，当时，单调递增，

即：时，单调递减，有，则；

在时，单调递增，有，则，

所以D错误.

故选：B.

11．已知等比数列满足，且，则

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先根据条件确定首项与公比，再利用分组求和法求和.

【详解】因为，所以，

因为，所以，

因此

，选D.

【点睛】本题采用分组转化法求和，将原数列转化为两个等比数列的和. 分组转化法求和的常见类型主要有分段型（如 ），符号型（如 ），周期型　（如 ）

12．已知f(x)，g(x)分别为定义域为R的偶函数和奇函数，且，若关于x的不等式在(0，ln 2)上恒成立，则实数a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由奇偶性求得，化简不等式，并用分离参数法变形为，设，换元后利用函数的单调性求得不等式右边的取值范围，从而可得的范围．

【详解】因为分别为偶函数和奇函数，

①，

所以，即②，

①②联立可解得，，

不等式为，

，则，，

设，则，

，，，在上是增函数，，

又在时是增函数，所以，，

，在恒成立，则．

故选：C．

【点睛】方法点睛：本题不等式恒成立问题，考查函数的奇偶性，解题方法是利用奇偶性求得函数的表达式，然后化简不等式，用分离参数法变形转化为求函数的最值或取值范围，从而得结论．

二、填空题

13．一次数学考试后，甲，乙，丙，丁四位同学一起去问数学考试成绩，数学老师对他们说：甲乙两位同学考试分数之和与丙丁两位同学考试分数之和相等；乙同学考试分数介于丙丁两位同学考试分数之间；丙同学考试分数不是最高的；丁同学考试分数不是最低的.由此可以判断分数最高的同学是__________．

【答案】丁

【详解】分析：由甲乙两位同学考试分数之和与丙丁两位同学考试分数之和相等，将四人分数从大到小排列可得甲，乙在两端或丙，丁在两端，再结合乙同学考试分数介于丙丁两位同学考试分数之间可得丙丁在两端，最后根据丙同学考试分数不是最高的可得最高分的同学为丁.

详解：将四人分数从大到小排列，

∵甲乙两位同学考试分数之和与丙丁两位同学考试分数之和相等，

∴甲，乙在两端或丙，丁在两端，即甲乙最大或最小、丙丁最大或最小

又∵乙同学考试分数介于丙丁两位同学考试分数之间，∴丙丁最大或最小

又∵丙同学考试分数不是最高的，丁同学考试分数不是最低的

∴分数最高的同学是丁，故答案为丁.

点睛：本题考查简单的合理推理，考查推理论证能力等基础知识，解答此题的关键是逐条进行分析，排除，是基础题.

14．在点处的切线斜率为________.

【答案】

【分析】利用导数的几何意义直接求解即可

【详解】解：由，得，

所以在点处的切线斜率为，

故答案为：

15． 为等差数列的前项和，，，则____________________．

【答案】

【分析】使用等差数列通项公式及前项和公式计算即可.

【详解】由已知，，

∴，

∵，∴，

∴.

故答案为：81.

16．已知函数有五个不同的零点，且所有零点之和为，则实数的值为______．

【答案】

【分析】将换为，可得，则的图象关于直线对称，由题意可得，解得，再由，根据对称性得，代入求得的值．

【详解】解：函数，

将换为，可得，

则的图象关于直线对称，则中间的一个零点为

由所有零点之和为，

则可得，解得，

则，

由的图象关于直线对称，

可得有个一零点为，即，

得，解得.

故答案为：．

【点睛】关键点点睛：本题关键点为利用函数的对称性，利用对称性及零点的和求出的值，从而得出有一个零点为，代入即可求得所求结果.

三、解答题

17．如图，已知是中的角平分线，交边于点.

（1）用正弦定理证明：；

（2）若，，，求的长.

【答案】(1)证明见解析；(2).

【详解】试题分析：（1）根据是的角平分线,利用正弦定理、三角形内角和定理及诱导公式，即可证明结论成立；(2)根据余弦定理，先求出的值，再利用角平分线和余弦定理，即可求出的长.

试题解析：（1）∵AD是∠BAC的角平分线，∴∠BAD=∠CAD

根据正弦定理，在△ABD中，=

在△ADC中，=

∵sin∠ADB=sin（π﹣∠ADC）=sin∠ADC

∴=，=

∴=

（2）根据余弦定理，cos∠BAC=

即cos120°=

解得BC=

又=

∴=，

解得CD=，BD=；

设AD=x，则在△ABD与△ADC中，

根据余弦定理得，

cos60°=

且cos60°=

解得x=，即AD的长为．

18．已知方程有两个不相等的负根，方程无实根，若或为真命题，求的取值范围.

【答案】

【分析】首先求出当，两个命题是真命题时，求的取值范围，再根据或为真命题，分类讨论列不等式即可求的取值范围.

【详解】若方程有两个不相等的负根，两个负根假设为

则，解得：；

若方程无实根，

则，即，解得；

因为或为真命题，所以真真，真假，假真共三种情况，

所以当真真，，解得；

当真假，，解得；

当假真，，解得；

综上所述，m的取值范围是

19．已知平面向量，，其中，．

(1)求与的夹角；

(2)若与共线，求实数的值．

【答案】(1);

(2).

【分析】（1）根据向量的坐标运算及向量的夹角公式计算求解即可；

（2）由共线向量的坐标表示求解即可.

【详解】（1）因为，，

所以，，

，，

，

，.

（2），，

与共线，，

解得.

即实数的值为.

20．已知数列{an}中，a1＝1，an＞0，前n项和为Sn，若（n∈N，且n≥2）．

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）记，求数列{cn}的前n项和Tn．

【答案】(1) an＝2n﹣1；(2) Tn．

【解析】（1）根据题意，有an＝Sn﹣Sn﹣1，结合分析可得1，则数列{}是以1为首项，公差为1的等差数列，由等差数列的通项公式可得1+（n﹣1）＝n，则Sn＝n2，据此分析可得答案；

（2）由（1）的结论可得cn＝（2n﹣1）×22n﹣1；进而可得Tn＝1×2+3×23+5×25+……+（2n﹣1）×22n﹣1，由错位相减法分析可得答案．

【详解】（1）数列{an}中，an＝Sn﹣Sn﹣1，（n∈N，且n≥2）①

，（n∈N，且n≥2）②

①÷②可得：1，

则数列{}是以1为首项，公差为1的等差数列，

则1+（n﹣1）＝n，

则Sn＝n2，

当n＝1时，a1＝S1＝1，

当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝2n﹣1，

a1＝1也符合该式，

则an＝2n﹣1；

（2）有（1）的结论，an＝2n﹣1，

则cn＝（2n﹣1）×22n﹣1；

则Tn＝1×2+3×23+5×25+……+（2n﹣1）×22n﹣1，③；

则4Tn＝1×23+3×25+5×27+……+（2n﹣1）×22n+1，④；

③﹣④可得：﹣3Tn＝2+2（23+25+……+22n﹣1）﹣（2n﹣1）×22n+1（2n）×22n+1，

变形可得：Tn．

【点睛】本题考查数列的递推公式的应用以及数列的错位相减法求和，关键是求出数列{an}的通项公式，考查学生的计算能力．

21．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asinB＝bsin（A）．

（1）求A；

（2）D是线段BC上的点，若AD＝BD＝2，CD＝3，求△ADC的面积．

【答案】（1）A；（2）.

【解析】（1）首先利用正弦定理可得asinB＝bsinA，然后利用两角差的正弦公式展开化简即可求解.

（2）设∠B＝θ，，由题意可得∠BAD＝θ，∠ADC＝2θ，∠DACθ，在△ADC中，利用正弦定理可得sinθcosθ，根据同角三角函数的基本关系求出sin2θ，再利用三角形的面积公式即可求解.

【详解】（1）由正弦定理可得asinB＝bsinA，

则有bsinA＝b（sinAcosA），化简可得sinAcosA，

可得tanA，

因为A∈（0,π），

所以A．

（2）设∠B＝θ，，由题意可得∠BAD＝θ，∠ADC＝2θ，

∠DACθ，∠ACDθ，

在△ADC中，，则，

所以，可得sinθcosθ，

又因为sin2θ+cos2θ＝1，可得sinθ，cosθ，

则sin2θ＝2sinθcosθ，

所以S△ADCsin∠ADC．

【点睛】本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．

22．已知函数．

(1)证明：在区间存在唯一的极值点；

(2)试讨论的零点个数.

【答案】(1)证明见解析

(2)有且只有2个零点

【分析】（1）求出函数的导数，判断其单调性，结合零点存在定理，判断其零点情况，即可证明在区间存在唯一的极值点；

（2）分区间讨论，讨论函数的导数在区间内的正负情况，从而判断函数的单调性，结合零点存在定理，即可判断函数的零点情况.

【详解】（1）证明：函数的定义域为，导函数为,

当时，，所以在单调递减．

又因为

，，

根据函数零点存在定理，在区间有且只有一个零点．

当时，；当时，,

因此，在单调递增，在单调递减，

故在区间存在唯一的极值点；

（2）令，则．当时，；

当时，．因此，在单调递增，在单调递减．

由于，且当时，，

故当时，，从而在区间没有零点．

当时，，从而，

在单调递减．又，

根据函数零点存在定理，在区间有且只有一个零点．

当时，由（1）知在单调递增，在单调递减．

又，

根据函数零点存在定理，在区间有且只有一个零点,

综上所述，有且只有2个零点．

【点睛】本题考查用导数判断函数的极值点以及函数的零点个数问题，综合考查学生应用导数知识的能力和数学素养，解答时要明确导数与函数的极值以及零点之间的关系问题，能用导数灵活判断函数的单调性.