2023届黑龙江省哈尔滨市宾县第二中学高三上学期第一次月考数学试题含解析

这是一份2023届黑龙江省哈尔滨市宾县第二中学高三上学期第一次月考数学试题含解析，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023届黑龙江省哈尔滨市宾县第二中学高三上学期第一次月考数学试题 一、单选题1．已知集合，，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出集合、，再由交集的定义求解即可【详解】集合，，则.故选：B.2．函数的定义域是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】列出使函数有意义的不等式组，进而即得.【详解】要使函数有意义，则,解得且，所以函数的定义域为.故选：C.3．“关于x的不等式对恒成立”的一个必要不充分条件是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据恒成立求出的范围,根据选项选出它的必要不充分条件即可.【详解】解:由题知,不等式,恒成立,只需,故,则选项是的必要不充分条件,即真包含于选项中,所以选D,故选:D.4．在中，内角所对的边分别为，则下列条件能确定三角形有两解的是（    ）A．B．C．D．【答案】B【分析】结合已知条件和正弦定理即可求解.【详解】对于A：由正弦定理可知，∵，∴，故三角形有一解；对于B：由正弦定理可知，，∵，∴，故三角形有两解；对于C：由正弦定理可知，∵为钝角，∴B一定为锐角，故三角形有一解；对于D：由正弦定理可知，，故故三角形无解.故选：B.5．已知为角终边上一点，关于的函数有对称轴，则（    ）A． B．2 C． D．【答案】A【分析】根据任意角三角函数你会定义得，再根据题意得，再利用诱导公式求解即可.【详解】因为为角终边上一点，所以，，当时，，，所以.故选：A.6．已知定义在R上的奇函数f（x）满足，当时，，则（    ）A．2 B． C．－2 D．－【答案】A【分析】由题意可得函数的周期，从而得到，由解析式可得答案.【详解】解：依题意，，，函数的周期为6，故，又，则．故选：A．7．通过研究正五边形和正十边形的作图，古希腊数学家毕达哥拉斯发现了黄金分割率，黄金分割率的值也可以用表示，即.记，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】将代入，根据恒等变换公式化简，即可求得结果.【详解】，故选:A.8．已知过点作曲线的切线有且仅有条，则（    ）A． B． C．或 D．或【答案】C【分析】设出切点，对函数求导得出切线的斜率，利用点斜式方程写出切线，将点代入，并将切线有且仅有条，转化为方程只有一个根，列方程求解即可．【详解】设切点为，由已知得，则切线斜率，切线方程为直线过点，则，化简得切线有且仅有条，即，化简得，即，解得或故选：C 二、多选题9．设，则下列不等式中一定成立的是（    ）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】利用基本不等式及其变形求最值即可判断.【详解】A选项：，当且仅当时，等号成立，故A正确；B选项：，所以，当且仅当时，等号成立，故B错；C选项：，当且仅当时，等号成立，故C正确；D选项：，当且仅当，即，时，等号成立，故D正确.故选：ACD.10．某人向正东方向走了x km后向右转了150°，然后沿新方向走了3，结果离出发点恰好，则x的值为（    ）A． B．2 C．2 D．3【答案】AB【分析】根据余弦定理列出方程，即可求解.【详解】如图所示，在中，，由余弦定理得，，整理得，解得或.故选：AB11．已知函数（其中，，）的部分图象如图所示，则（    ）A．B．的图象关于直线对称C．D．在上的值域为【答案】AC【分析】结合函数图像求出的解析式，进而判断AC；利用代入检验法可判断B；利用换元法和三角函数性质求出在上的值域可判断D.【详解】由图像可知，，，故A正确；从而，又由，，因为，所以，从而，故C正确；因为，所以不是的对称轴，故B错误；当时，则，因为在上单调递减，在上单调递增，所以，因为，，所以，故，即，从而，即在上的值域为，故D错误.故选：AC.12．设函数在上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（    ）A．函数在上递减，在上递减B．函数在上递增，在上递增C．函数有极大值和极小值D．函数有极大值和极小值【答案】BD【分析】结合函数图象，对分区间讨论与大小关系，从而推导出在区间上的单调性即可；【详解】解：由图可知：当时，，故在上单调递增；当时，，故在上单调递减；当时，，故在上单调递减；当时，，故在上单调递增；故函数在时取得极大值，在时取得极小值，即函数有极大值和极小值；故选：BD． 三、填空题13．若角的终边在第四象限，且，则＝________．【答案】【分析】根据同角三角函数的基本关系及和角的正切公式化简计算.【详解】角的终边在第四象限，且，所以，，所以.故答案为：.14．函数的单调减区间为__________．【答案】【分析】求导，利用导数求单调区间，注意原函数的定义域.【详解】∵，则令，则∴函数的单调减区间为故答案为：.15．已知的面积为，则的中线长的一个值为___________.【答案】或【分析】结合已知条件和三角形面积公式求，然后利用余弦定理即可求解.【详解】因为的面积为，所以，故或；①当时，，故，因为，所以，故；②当时，，故，在中，由余弦定理可知，在中，由余弦定理可知，，故.综上所述，的中线长为或.故答案为：或.16．某容量为万立方米的小型湖，由于周边商业过度开发，长期大量排放污染物，水质变差，今年政府准备治理，用没有污染的水进行冲洗，假设每天流进和流出的水均为万立方米，下雨和蒸发正好平衡.用函数表示经过天后的湖水污染质量分数，已知，其中表示初始湖水污染质量分数.如果，要使湖水的污染水平下降到开始时污染水平的以下，至少需要经过天___________.（参考数据：）【答案】116【分析】根据题意列不等式，再结合对数计算公式解不等式即可.【详解】设至少需要经过天，因为要使湖水的污染水平下降到开始时污染水平的10%以下，所以，又因为，所以，由题意知，，，所以，整理得，，解得，所以至少需要经过116天.故答案为：116. 四、解答题17．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．(1)求A的大小；(2)若，，求a的值．【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用正弦定理，结合两角和的正弦公式对已知等式进行化简可得值，又由，可求A．（2）利用平面向量数量积的运算可得的积，进而由余弦定理即可求解．【详解】（1）（1），，可得，，，又，．（2）， ，，.又由，根据余弦定理得：．18．全国中学生生物学竞赛隆重举行．为做好考试的评价工作，将本次成绩转化为百分制，现从中随机抽取了50名学生的成绩，经统计，这批学生的成绩全部介于40至100之间，将数据按照[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图．(1)求频率分布直方图中的值，并估计这50名学生成绩的中位数；(2)在这50名学生中用分层抽样的方法从成绩在[70，80)，[80，90)，[90，100]的三组中抽取了11人，再从这11人中随机抽取3人，记为3人中成绩在[80，90)的人数，求的分布列和数学期望；【答案】(1)，中位数；(2)分布列见解析，. 【分析】（1）根据频率分布直方图中所有小矩形的面积为1，结合中位数的定义进行求解即可；（2）根据分层抽样的性质，结合古典概型公式、数学期望公式进行求解即可.【详解】（1）由频率分布直方图的性质可得，，解得，设中位数为， 解得；（2）的三组频率之比为0.28：0.12：0.04=7：3：1从中分别抽取7人，3人，1人，所有可能取值为0，1，2，3，，，，故的分布列为：0123 故19．某校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处在坡角为的观礼台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部B的仰角分别为和，第一排和最后一排的距离为米（即图中线段），旗杆底部与第一排在同一水平面上．(1)求旗杆长度；(2)若国歌播放的时间约为50秒，升旗手应以约多大的速度匀速升旗？【答案】(1)30（米）(2)0.6（米/秒） 【分析】（1）根据题意在△BCD中利用正弦定理，可求，再在Rt△ABC中根据求解；（2）直接利用速度公式计算．【详解】（1）在△BCD中，，，，由正弦定理，得；在Rt△ABC中，（米）．（2）升旗速度（米/秒）．20．已知在时有极小值．(1)求常数，的值；(2)求在区间上的最值．【答案】(1)，(2)最大值为，最小值为 【分析】（1）求解导函数，利用极小值列方程组求解，并检验；（2）利用导数判断函数在上的单调性，求解极值与端点处的函数值，从而可得最大、最小值.【详解】（1）由，得，在时有极小值，，，解得或，经检验，当，时，符合题意，，．（2）由（1）知，，令，则或，，当或时，，当时，；函数在和上单调递增，上单调递减；的极大值为，极小值为，又，；，，的最大值为，最小值为.21．已知函数的部分图象如图所示，在条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知.条件①：；条件②：；条件③：.注：如果选择多个条件组合分别解答，则按第一个解答计分.(1)求函数的解析式；(2)设函数，若在区间上单调递减，求m的最大值.【答案】(1)条件选择见解析，(2) 【分析】（1）由的值或关系，即可得出，从而求出，再根据零点，即可求出，由图像即可求出.（2）根据正弦函数的单调递减区间，即可求出的单调递减区间.【详解】（1）选条件①②：因为，所以，即，则.                由图可知，则.               因为，，所以，即.因为，所以，所以.  选条件①③：因为，所以，即，则.由题意可知，则.因为，所以，即.因为，所以.所以.选条件②③：因为，所以，即，则.由题意可知，则.因为，，所以，即.因为，所以，所以.（2）.由，得.                    因为函数在区间上单调递减，且，此时.所以，所以m的最大值是.22．已知函数f(x)=x-mlnx-m.(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若函数f(x)有最小值g(m)，证明：g(m) 在上恒成立.【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析 【分析】（1）求出函数的导数，讨论其符号后可得函数的单调区间.（2）根据（1）的结论可得函数的最小值，再利用导数可证不等式.【详解】（1）函数的定义域为，且，当时，在上恒成立，所以此时在上为增函数，当时，由，解得，由，解得，所以在上为减函数，在上为增函数，综上：当时，在上为增函数，当时，在上为减函数，在上为增函数；（2）由（1）知:当时，在上为增函数，无最小值.当时，在上上为减函数，在上为增函数，所以，即，则，由，解得，由，解得，所以在上为增函数，在上为减函数，所以，即在上恒成立.