2023届辽宁省实验中学高三上学期第一次月考数学试题含解析

2023届辽宁省实验中学高三上学期第一次月考数学试题

一、单选题

1．已知集合，，，则（    ）

A．0 B．1 C．0或1 D．

【答案】B

【分析】根据集合的包含关系及集合元素的互异性计算可得.

【详解】解：因为，且，则,

又，即，所以，即；

故选：B

2．已知复数z满足，则（    ）

A． B．2 C． D．

【答案】C

【分析】利用复数的运算先求z，再利用复数的模长公式即得.

【详解】因为，

所以，

所以.

故选：C.

3．2022年3月21日，东方航空公司MU5735航班在广西梧州市上空失联并坠毁．专家指出：飞机坠毁原因需要找到飞机自带的两部飞行记录器（黑匣子），如果两部黑匣子都被找到，那么就能形成一个初步的事故原因认定.3月23日16时30分左右，广西武警官兵找到一个黑匣子，虽其外表遭破坏，但内部存储设备完整，研究判定为驾驶员座舱录音器．则“找到驾驶员座舱录音器”是“初步事故原因认定”的（    ）

A．充要条件 B．充分不必要条件

C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】因为两部黑匣子都被找到，就能形成一个初步的事故原因认定，根据充分与必要条件的定义即可判断出结果．

【详解】因为两部黑匣子都被找到，就能形成一个初步的事故原因认定，

则“找到驾驶员座舱录音器”不能形成“初步事故原因认定”；

而形成“初步事故原因认定”则表示已经“找到驾驶员座舱录音器”，

故“找到驾驶员座舱录音器”是“初步事故原因认定”的必要不充分条件，

故选：C．

4．已知数列中，，()，则等于（    ）

A． B． C． D．2

【答案】D

【分析】由已知条件可得，，…，即是周期为3的数列，即可求.

【详解】由题设，知：，，，…，

∴是周期为3的数列，而的余数为1，

∴.

故选：D.

5．某校在高一开展了选课走班的活动，已知该校提供了3门选修课供学生选择，现有5名同学参加选课走班的活动，要求这5名同学每人选修一门课程且每门课程都有人选，则5名同学选课的种数为（    ）

A．150 B．180 C．240 D．540

【答案】A

【分析】把问题转化为先把5名同学分为3组，再把这3组同学分配给3门选修课即可解决.

【详解】先把5名同学分为3组：（3人,1人,1人）或（2人,2人,1人），

再把这3组同学分配给3门选修课即可解决.

则5名同学选课的种数为（种）

故选：A

6．圆O是边长为的等边三角形ABC的内切圆，其与BC边相切于点D，点M圆上任意一点，（x，），则的最大值为（    ）

A． B．2 C． D．

【答案】B

【分析】建立坐标系，写出相应的点坐标，根据向量的坐标表示及圆的参数方程可得的表达式，然后利用三角函数的性质可得最大值.

【详解】以D点为原点，BC所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立坐标系，

因为圆O是边长为的等边三角形ABC的内切圆，

所以，即内切圆的圆心为，半径为1，

可设，又，

∴，，

∴，

故得到，

∴，

∴，

当时等号成立，即的最大值为2.

故选：B.

7．在锐角中，、、分别是的内角、、所对的边，点是的重心，若，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】连接并延长交于点，由重心的性质可得出，利用平面向量的线性运算可得出，利用平面向量的数量积以及余弦定理可得出，推导出，再结合锐角三角形这一条件以及余弦定理求出的取值范围，利用双勾函数的单调性可求得的取值范围.

【详解】连接并延长交于点，则为的中点，

因为，则，由重心的性质可得，则，

因为，

所以，，所以，，

所以，，

所以，，则为锐角，

由余弦定理可得，

所以，，

因为为锐角三角形，则，即，即，

所以，，

构造函数，其中，

任取、且，则

.

当时，，，则，

当时，，，则，

所以，函数在上单调递减，在上单调递增，

因为，所以，，故.

故选：C.

【点睛】关键点点睛：在涉及到三角形中的中线问题，一般利用向量法来处理，结合三角形中的余弦定理来求解，本题中要求解的是角的余弦值的取值范围，要充分利用已知条件将角的余弦值表示为以某个变量为自变量的函数，结合锐角三角形这一条件求出变量的取值范围，再利用相关函数的单调性求解.

8．若关于x的不等式对恒成立，则实数a的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由题设有，构造，利用导数研究其单调性及值域，将问题转化为在上恒成立，再构造结合导数求参数范围.

【详解】由，可得，

即，令，则在上恒成立，

所以，由可得，由可得，

所以在上递增，在上递减，且，

在上，上，而，

所以，必须且只需在上恒成立，即恒成立，

令，则，即在上递增，

故，

故a的取值范围为.

故选：D.

【点睛】方法点睛：恒（能）成立问题的解法：

若在区间上有最值，则

（1）恒成立：；；

（2）能成立：；.

若能分离常数，即将问题转化为：（或），则

（1）恒成立：；；

（2）能成立：；.

二、多选题

9．已知集合，，若，则的值可能为（    ）

A．或 B．1 C． D．0

【答案】ABC

【分析】根据集合的定义以及集合中元素所具有的几何意义求解．

【详解】由题意当时，，满足题意，

当时，集合表示一条直线，集合也表示一条直线即（去掉一点），

若直线过点，则，解得或，

若两直线平行，则（），解得，

∴的可能值为．

故选：ABC．

【点睛】本题考查集合的交集的定义，考查两直线的位置关系．解题时一是要掌握集合的概念，二是要掌握两直线平行的条件．

10．已知向量，，则下列命题正确的是（    ）

A．存在，使得 B．当时，与垂直

C．当时， D．对任意，都有

【答案】BC

【分析】根据向量平行的坐标表示及三角函数的性质可判断A，根据向量垂直的坐标关系结合条件可判断B，根据向量数量积的坐标表示及同角关系式可判断C，利用特值可判断D.

【详解】因为向量，，

若，则，即，又，

故不存在，使得，故A错误；

当时，，，即与垂直，故B正确；

当时，所以，

∴，即，

所以，即，故C正确；

因为当时，，，，故D错误.

故选：BC.

11．已知函数，下列说法中正确的是（    ）

A． B．在区间上是增函数

C．是奇函数 D．在区间上有唯一极值点

【答案】BCD

【分析】对于A. ，所以该选项错误；

对于B. ，在区间上是增函数，故该选项正确；

对于C. 利用奇函数的定义证明是奇函数，故该选项正确；

对于D. 令，可得，方程的根，即为函数与图象的交点，利用导数证明函数与的图象只有一个交点，分析判断得解.

【详解】对于A. ，所以该选项错误；

对于B. ，当时，，所以在区间上是增函数，故该选项正确；

对于C. ，令，

则，所以是奇函数，故该选项正确；

对于D. 由B知，，令，可得，

方程的根，即为函数与图象的交点，

，

对于函数，，，

由复合函数的性质可知函数为增函数，，

函数在，内存在唯一零点，

所以当，时，，单调递减，当时，，单调递增，

，

当，时，恒成立，故单调递增，

作出函数与图象，如图所示：

由图象可知函数与的图象只有一个交点，

即存在唯一，，使，

所以只有一个极值点，故D正确．

故选：BCD

12．设正整数k使得关于x的方程在区间内恰有5个实根，则（    ）

A． B．

C．，，成等差数列 D．

【答案】ABD

【分析】作出函数的图象，结合已知条件作出满足要求的函数的图象，根据函数图象判断每个选项即可.

【详解】如图所示，函数与函数恰有个交点.

选项A，根据对称性可知，A正确；

选项B，考虑在区间内，两函数在时相切，又，

所以，所以满足，设，其中，则，所以函数在上单调递减，而，即，又，所以，B正确；

选项C，由图可知，，，所以，所以，故，，不是等差数列，C错误.

选项D，两函数在时相切，所以，所以，D正确；

故选：ABD.

三、填空题

13．计算：___________.

【答案】

【分析】先切化弦，再根据二倍角的正弦公式、诱导公式、两角差的余弦公式化简即可得解.

【详解】

.

故答案为：

14．已知，则的值为_____ .

【答案】63

【分析】根据二项式定理将写成的形式，由此求出n的值后结合二项式系数性质公式求解即可．

【详解】由二项式定理得，

∴＝729，解得n＝6，

∴＝64﹣1＝63．

故答案为：63．

15．沈阳京东MALL于2022年国庆节盛大开业，商场为了满足广大数码狂热爱好者的需求，开展商品分期付款活动.现计划某商品一次性付款的金额为 a 元，以分期付款的形式等额分成 n 次付清，每期期末所付款是 x 元，每期利率为 r ，则爱好者每期需要付款______．

【答案】

【分析】根据等比数列求和公式即得.

【详解】由题意得，

，

.

故答案为：.

16．已知平面向量，，满足，，则的取值范围为__________．

【答案】

【分析】利用平面向量的几何含义，作出，，，若，求、且，进而分析最大或最小时、的位置关系，结合向量数量积的几何意义及三角恒等变换、二次函数的性质求的取值范围.

【详解】如下图，，，则，，

若，则，，

若，由，

∴要使最大，则、同向共线，如下图示，

此时，，而，

∴当时，最大值为.

要使最小，则、反向共线且，如下图示，

此时，而，

∴当时，最小值为.

综上，取值范围为.

故答案为：

【点睛】关键点点睛：作几何图形，并确定平面向量所对应线段，结合向量数量积的几何含义，分析最大或最小时、的位置关系，进而得到关于的函数，并确定最值，即可得范围.

四、解答题

17．已知函数.

（1）求函数的单调递减区间；

（2）将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再将所得图象向左平移个单位，得到函数的图象，求函数在的值域.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）通过降幂公式和辅助角公式将函数f（x）化简，进而求出单调递减区间；

（2）先通过图象变换求出函数g（x），进而通过降幂公式和辅助角公式将函数h（x）化简，进而求出函数的值域.

【详解】（1），

令则

∴函数的单调递减区间为：.

（2）将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，再将图象向左平移个单位，得到的图象，

∴，

∵，∴，∴，

∴，

即的值域为：.

18．已知，.

（1）求函数的最小值；

（2）对一切，恒成立，求实数的取值范围.

【答案】(1) ;(2) .

【详解】试题分析：（1）求出，利用导数与单调性的关系，分类求解；（2））由已知，，分离参数，则，构造 (x＞0) 通过研究h（x）的最值确定a的范围．

试题解析：解：（1），

当，，f(x)单调递减，当，，f(x)单调递增

①，没有最小值；

②，即时，；

③，即时，f（x）在[t，t+2]上单调递增，；

所以;

（2）由已知，，则，

设，则，

①x∈（0，1），h'（x）＜0，h（x）单调递减，

②x∈（1，+∞），h'（x）＞0，h（x）单调递增，

所以h（x）min=h（1）=4，对一切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，

所以a≤h（x）min=4；，所以a的范围是（-∞，4].

【解析】导数的应用

19．已知数列是等差数列且公差不为0，数列是等比数列，且，记的前n项和为，

(1)求数列和的通项；

(2)设数列，求证：．

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）根据等差数列的通项公式和等比数列的性质可求出公差，然后可写出通项公式.

（2）利用等比数列的通项公式和裂项相消进行求和，即可证明不等式.

【详解】(1)解：由题意得：

设的公差为d，，，

所以，可得或（舍去）             

所以

(2)证明：

所以

令

则有

20．某种疾病可分为，两种类型，为了解该疾病的类型与患者性别是否相关，在某地区随机抽取了若干名该疾病的患者进行调查，发现女性患者人数是男性患者的2倍，男性患型疾病的人数占男性患者的，女性患型疾病的人数占女性患者的.

，

(1)若本次调查得出“在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为‘所患疾病的类型’与‘性别’有关”的结论，求被调查的男性患者至少有多少人？

(2)某团队进行预防型疾病的疫苗的研发试验，试验期间至多安排2个周期接种疫苗，每人每个周期接种3次，每次接种费用为元.该团队研发的疫苗每次接种后产生抗体的概率为，如果一个周期内至少2次出现抗体，则该周期结束后终止试验，否则进人第二个周期.若，试验人数为1000人，试估计该试验用于接种疫苗的总费用.

【答案】(1)男性患者至少有12人

(2)

【分析】（1）设男性患者有人，则女性患者有人，即可得到列联表，计算出卡方，从而得到不等式，求出的取值范围，即可得解；

（2）设该试验每人的接种费用为元，则的可能取值为，，求出所对应的概率，即可求出数学期望，再由，试验人数为人，求出总费用的期望值；

【详解】(1)解：设男性患者有人，则女性患者有人，列联表如下：

假设：患者所患疾病类型与性别之间无关联，

根据列联表中的数据，经计算得到，

要使在犯错误的概率不超过的前提下认为“所患疾病类型”与“性别”有关，

则，解得，

因为，，所以的最小整数值为，

因此，男性患者至少有人.

(2)解：设该试验每人的接种费用为元，则的可能取值为，.

则，

，

所以，

因为，试验人数为人，

所以估计该试验用于接种疫苗的总费用为，

即元.

21．如图，设中角所对的边分别为为边上的中线，已知且.

（1）求b边的长度；

（2）求的面积；

（3）设点分别为边上的动点，线段交于G，且的面积为面积的一半，求的最小值.

【答案】（1）；（2）；（3）2.

【分析】（1）由正弦定理角化边，再用余弦定理化简，进而得到答案；

（2）设的夹角为，通过，得到和，进而根据求出，最后求出面积；

（3）设，，再根据向量的运算性质求出的表达式，进而通过函数交点求出最小值.

【详解】（1）∵，由正弦定理： ，

由余弦定理：,∵c=1，∴.        

（2）因为D为中点，所以，设的夹角为，

∴，

又，

∴，即，

解得或，又，所以，易得，

∴的面积为.

（3）设，∵的面积为面积的一半，∴

设，则，又共线，所以设，则，

∴，解得：.

∴，又，

∴

，又，化简得，又，则，

则时，的最小值为2.

【点睛】本题第（3）问用到了一个性质“平面向量三点共线定理”，在“”这一步.如图，在平面中，A,B,C三点共线的充要条件是：存在实数，使得，其中，点O为平面内一点.

在“”这一步，“”分离常数是很常规的处理方式，注意归纳方法.

22．已知函数

（1）当时，若关于的不等式恒成立，求的取值范围；

（2）当时，证明：．

【答案】（1）.（2）见解析.

【详解】试题分析：（1）由，得恒成立，令.求出的最小值，即可得到的取值范围；

∵为数列的前项和，为数列的前项和.

∴只需证明 即可.

试题解析：

（1）由，得 .

整理，得恒成立，即.

令.则.

∴函数在上单调递减，在上单调递增.

∴函数的最小值为.

∴，即.

∴的取值范围是.

（2）∵为数列的前项和，为数列的前项和.

∴只需证明 即可.

由（1），当时，有，即.

令，即得 .

∴ .

现证明，

即 .

现证明.

构造函数 ，

则 .

∴函数在上是增函数，即.

∴当时，有，即成立.

令，则式成立.

综上，得 .

对数列，，分别求前项和，得

.