四川省成都市成都外国语学校2020-2021学年八年级上学期期中数学试题

这是一份四川省成都市成都外国语学校2020-2021学年八年级上学期期中数学试题，共31页。试卷主要包含了请将答案正确填写在答题卡上，函数中，自变量 x的取值范围是，下列说法正确的是，下列计算正确的是，若点P等内容，欢迎下载使用。

绝密★启用前
2022-2023学年度???学校8月月考卷
试卷副标题
考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx
题号
一
二
三
总分
得分




注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
请点击修改第I卷的文字说明
评卷人
得分



一、单选题
1．下列各数中的无理数是（        ）
A． B．3.14 C． D．π
【答案】D
【解析】
【分析】
无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【详解】
解：A、，是有理数；
B、3.14，属于有理数；
C、是分数，是有理数；
D、π是无理数；
故选：D．
【点睛】
此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
2．下列三条长度的线段不能组成直角三角形的是(        )
A． B．12，5，13 C．7，24，25 D．9，40，41
【答案】A
【解析】
【分析】
根据勾股定理的逆定理依次判断即可得到答案.
【详解】
A、∵，∴此三角形不是直角三角形，符合题意；
B、∵，∴此三角形是直角三角形，不符合题意；
C、∵，∴此三角形是直角三角形，不符合题意；
D、∵，∴此三角形是直角三角形，不符合题意；
故选：A.
【点睛】
此题考查勾股定理的逆定理，熟记逆定理的运算方法是解题的关键.
3．函数中，自变量 x的取值范围是(       )
A．x>3 B．x≤3 C．x≠3 D．x<3
【答案】D
【解析】
【分析】
根据二次根式有意义：被开方数大于等于0、分式有意义：分母不能为0、分子x可取任意数，即可确定x的取值范围．
【详解】
由题意得：，
解得：x＜3．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查二次根式和分式有意义的条件，掌握二次根式和分式有意义的条件是解题的关键．
4．下列说法正确的是（          ）
A．任意一个数算术平方根是正数 B．只有正数才有算术平方根
C．因为3的平方是9，所以9的平方根是3 D．-1是1的平方根
【答案】D
【解析】
【分析】
根据算术平方根以及平方根的定义对各选项分析判断后利用排除法．
【详解】
解：A.正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，故A选项错误；
B.0也有算术平方根，是0，故B选项错误；
C.应为3是9的平方根，所以9的平方根是±3，故C选项错误；
D.-1是1的平方根，故D选项正确．
故选D．
【点睛】
本题考查了算术平方根以及平方根的定义，是基础题，需要熟练掌握．
5．下列计算正确的是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据各个选项中的式子，可以计算出正确的结果，从而可以解答本题．
【详解】
解：∵不能合并，故选项A不符合题意；
∵，故选项B符合题意；
∵，故选项C不符合题意；
∵，故选项D不符合题意；
故选：B．
【点睛】
本题考查二次根式的混合运算，解答本题的关键是明确二次根式混合运算的计算方法．
6．若点P（m，2）与点Q（3，n）关于原点对称，则m，n的值分别为（　　）
A．，2 B．3， C．， D．3，2
【答案】C
【解析】
【分析】
根据关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，可得答案．
【详解】
点P（m，2）与点Q（3，n）关于原点对称，得
m=-3，n=-2，
故选C．
【点睛】
本题考查了关于原点对称的点的坐标，关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数．
7．如图，在平面直角坐标系中，有两点坐标分别为（2，0）和（0，3），则这两点之间的距离是（　　）


A． B． C．13 D．5
【答案】A
【解析】
【分析】
先根据A、B两点的坐标求出OA及OB的长，再根据勾股定理即可得出结论．
【详解】
解：∵A（2，0）和B（0，3），

∴OA=2，OB=3，
∴AB=．
故选：A．
【点睛】
本题考查了勾股定理，坐标与图形，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
8．对于一次函数y＝﹣2x+4，下列结论错误的是（　　）
A．函数的图象不经过第三象限
B．函数的图象与x轴的交点坐标是(2，0)
C．函数的图象向下平移4个单位长度得y＝﹣2x的图象
D．若两点A (1，y1)，B (3，y2)在该函数图象上，则y1＜y2
【答案】D
【解析】
【分析】
根据一次函数的性质，以及函数图象与坐标轴的交点的求法即可判断．
【详解】
解：A、函数经过一、二、四象限，不经过第三象限，故A选项正确．
B、当y=0时，x=2，则函数图象与x轴交点坐标是（2，0），故B选项正确；
C、函数的图象向下平移4个单位长度得y=-2x+4-4=-2x，故C选项正确；
D、一次项系数小于0，则函数值随自变量的增大而减小，
∵1＜3，
∴y1＞y2，故D选项错误；
故选：D．
【点睛】
本题考查了一次函数的性质，在直线y=kx+b中，当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小．
9．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，则小巷的宽度为(     )

A．2.2米 B．2.3米 C．2.4米 D．2.5米
【答案】A
【解析】
【分析】
将梯子斜靠在墙上时，形成的图形看做直角三角形，根据勾股定理，直角边的平方和等于斜边的平方，可以求出梯子的长度，再次利用勾股定理即可求出梯子底端到右墙的距离，从而得出答案.
【详解】

如图，在Rt△ACB中，
∵∠ACB=90°，BC=0.7米，AC=2.4米，
∴
在Rt△A‘BD中，
∵∠A’BD=90°，A’D=2米，
∴
∴
∵BD>0，
∴BD=1.5米，
∴CD=BC+BD=0.7+1.5=2.2米
即小巷的宽度为2.2米，故答案选A
【点睛】
本题考查的是勾股定理，熟知并熟练运用勾股定理求斜边和直角边是解题的关键
10．如图，在△ABC和△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，点C，D，E在同一条直线上，连接B，D和B，E．下列四个结论：

①BD=CE，
②BD⊥CE，
③∠ACE+∠DBC=30°，
④．
其中，正确的个数是（       ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】
【分析】
①由AB=AC，AD=AE，利用等式的性质得到夹角相等，利用SAS得出三角形ABD与三角形ACE全等，由全等三角形的对应边相等得到BD=CE；
②由三角形ABD与三角形ACE全等，得到一对角相等，再利用等腰直角三角形的性质及等量代换得到BD垂直于CE；
③由等腰直角三角形的性质得到∠ABD+∠DBC=45°，等量代换得到∠ACE+∠DBC=45°；
④由BD垂直于CE，在直角三角形BDE中，利用勾股定理列出关系式，等量代换即可作出判断．
【详解】
解：如图，

①       ∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，
即∠BAD=∠CAE，
∵在△BAD和△CAE中，



∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD=CE，
故①正确；
②∵△BAD≌△CAE，
∴∠ABD=∠ACE，
∵∠ABD+∠DBC=45°，
∴∠ACE+∠DBC=45°，
∴∠DBC+∠DCB=∠DBC+∠ACE+∠ACB=45°+45°=90°，
∴∠BDC=90°，
∴BD⊥CE，
故②正确；
③∵△ABC为等腰直角三角形，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∴∠ABD+∠DBC=45°，
∵∠ABD=∠ACE
∴∠ACE+∠DBC=45°，
故③错误；
④∵BD⊥CE，
∴在Rt△BDE中，利用勾股定理得BE2=BD2+DE2，

∵△ADE为等腰直角三角形，
∴AE=AD，
∴DE2=2AD2，
∴BE2=BD2+DE2=BD2+2AD2，
在Rt△BDC中，，
而BC2=2AB2，
∴BD2<2AB2，
∴
故④错误，
综上，正确的个数为2个．
故选：B．
【点睛】
此题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，以及等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
评卷人
得分



二、填空题
11．比较大小:______6.
【答案】
【解析】
【分析】
将6转化成然后再比较大小即可解答.
【详解】
解：6=＞ ，
故答案为＜.
【点睛】
本题考查了无理数的大小比较，灵活进行转换是解题的关键.
12．已知直角三角形的两条直角边长分别为6 cm和8 cm，则这个直角三角形的外接圆的半径为________cm.
【答案】5
【解析】
【分析】
直角三角形的外接圆圆心就是斜边的中点，所以外接圆的半径就是斜边的一半．根据勾股定理，斜边为10cm，所以外接圆的半径就是5cm．
【详解】
解：∵Rt△ABC的两直角边的长分别为6cm和8cm，
∴斜边为10cm，
∴外接圆的半径就是5cm．
故答案为：5
13．若分别是的整数部分和小数部分，那么的值是_____．
【答案】
【解析】
【详解】
∵＜＜，
∴3＜＜4，
∴2＜＜3，
∴a=2，
∴b==，
∴=．
故答案为．
14．已知A、B、C在数轴上的位置如图，AB＝AC，A、B两点对应的实数分别是1和﹣，则点C对应的实数是 _______________．

【答案】##
【解析】
【分析】
设出点C所表示的数为x，根据点B、C到点A的距离相等列出方程，即可求出x的值．
【详解】
解：设点C所表示的数为x，
∵点B与点C到点A的距离相等，
∴AC＝AB，即x﹣1＝1+，
解得：x＝2+．
故答案为：2+．
【点睛】
本题考查了实数与数轴的知识，根据条件点B、C到点A的距离相等列出方程是关键．
15．已知y＝+8x，则的算术平方根为_____．
【答案】2
【解析】
【分析】
根据二次根式有意义的条件确定x的值，进而确定y的值，再求解即可．
【详解】
解：∵y＝+8x，
∴，解得，
∴，
∴，
∵4的算术平方根为2，
故答案为：2．
【点睛】
本题考查二次根式有意义的条件、求一个数的算术平方根，根据二次根式有意义的条件确定x的值是解题的关键．
16．在平面直角坐标系中，点到轴的的距离与到y轴的距离相等，则_______．
【答案】-1或-2
【解析】
【分析】
根据点A到x轴的距离与到y轴的距离相等可得2a+3=1或2a+3=-1，据此解出a的值．
【详解】
解：∵A到x轴的距离与到y轴的距离相等，
∴2a+3=1或2a+3=-1，
解得a=-1或a=-2．
故答案为：-1或-2．
【点睛】
本题考查了点的坐标，关键是掌握到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值．
17．如图，在平面直角坐标系中，将△ABO绕点A顺时针旋转到△AB1C1的位置，点B、O分别落在点B1、C1处，点B1在x轴上，再将△AB1C1绕点B1顺时针旋转到△A1B1C2的位置，点C2在x轴上，将△A1B1C2绕点C2顺时针旋转到△A2B2C2的位置，点A2在x轴上，依次进行下去…．若点A（，0），B（0，2），则点B2016的坐标为____________________．

【答案】（6048，2）．
【解析】
【详解】
试题分析： ∵AO=，BO=2，
∴AB==，
∴OA+AB1+B1C2=6，
∴B2的横坐标为：6，且B2C2=2，
∴B4的横坐标为：2×6=12，
∴点B2016的横坐标为：2016÷2×6=6048．
∴点B2016的纵坐标为：2．
∴点B2016的坐标为：（6048，2），
∴B2017的横坐标为6048++=6052，
∴点B2017的坐标为，6062，0），
考点：坐标与图形变化-旋转；规律型：点的坐标．
18．如图，直线AB的解析式为y＝﹣x+b分别与x，y轴交于A，B两点，点A的坐标为（3，0），过点B的直线交x轴负半轴于点C，且，在x轴上方存在点D，使以点A，B，D为顶点的三角形与△ABC全等，则点D的坐标为_____．

【答案】（4，3）或（3，4）
【解析】
【分析】
求出的坐标，分平行轴，不平行轴两种情况，求解计算即可．
【详解】
解：将点A的坐标代入函数表达式得：0＝﹣3+b，
解得：b＝3
∴直线AB的表达式为：y＝﹣x+3，
∴点B（0，3）
∵OB：OC=3：1
∴OC＝1，
∴点C（﹣1，0）；
①如图，当BD平行x轴时，以点为顶点的三角形与全等，则四边形为平行四边形
则BD＝AC＝1+3＝4，则点D（4，3）；
②当BD不平行x轴时，则S△ABD＝S△ABD′，则点D、D′到AB的距离相等，

∴直线DD′∥AB，
设直线DD′的表达式为：y＝﹣x+n，
将点D的坐标代入y＝﹣x+n中解得：n＝7，
∴直线DD′的表达式为：y＝﹣x+7，
设点D′（m，7﹣m），
∵A，B，D′为顶点的三角形与△ABC全等，
则BD′＝BC＝，
解得：m＝3，
故点D′（3，4）；
故答案为：（4，3）或（3，4）．
【点睛】
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，三角形全等，平行线的性质，勾股定理等知识．解题的关键与难点在于分情况求解．
19．定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，若点D是斜边AB的中点，则CD＝AB，运用：如图2，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝3，点D是BC的中点，将△ABD沿AD翻折得到△AED连接BE，CE，DE，则CE的长为_____．

【答案】
【解析】
【分析】
根据•BC•AH＝•AB•AC，可得AH＝，根据 AD•BO＝BD•AH，得OB＝，再根据BE＝2OB＝，运用勾股定理可得EC．
【详解】
设BE交AD于O，作AH⊥BC于H．
在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝3，
由勾股定理得：BC＝，
∵点D是BC的中点，
∴AD＝DC＝DB＝，
∵•BC•AH＝•AB•AC，
∴AH＝，
∵AE＝AB，DE＝DB，
∴点A在BE的垂直平分线上，点D在BE的垂直平分线上，
∴AD垂直平分线段BE，
∵AD•BO＝BD•AH，
∴OB＝，
∴BE＝2OB＝，
∵DE＝DB=CD，
∴∠DBE=∠DEB，∠DEC=∠DCE，
∴∠DEB+∠DEC=×180°=90°，即：∠BEC=90°，
∴在Rt△BCE中，EC＝ ＝．
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查直角三角形的性质，勾股定理以及翻折的性质，掌握“直角三角形斜边长的中线等于斜边的一半”以及面积法求三角形的高，是解题的关键．
评卷人
得分



三、解答题
20．计算．
(1)．
(2)（2﹣3）2﹣（4+3）（4﹣3）．
【答案】(1)2
(2)49﹣12
【解析】
【分析】
（1）根据二次根式的加减运算、乘除运算法则以及绝对值的性质即可求出答案；
（2）根据二次根式的加减运算以及乘除运算法则即可求出答案．
(1)
解：


=2；
(2)
解：（2﹣3）2﹣（4+3）（4﹣3）
=20-12+27-(16-18)
=49-12．
【点睛】
本题考查了二次根式的运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的运算法则．
21．若实数y的立方根是2，且实数x、y、z满足，
（1）求x+y﹣2z的值；
（2）若x、y、z是△ABC的三边长，试判断△ABC的形状．
【答案】(1)-6;(2) △ABC是直角三角形,理由见解析
【解析】
【分析】
（1）根据题意可求x=6，y=8，z=10，即可求x+y-2z的值；
（2）根据勾股定理的逆定理可判断△ABC是直角三角形．
【详解】
（1）∵实数y的立方根是2       
∴y＝8
∵+y+（x﹣z+4）2＝8       
∴x＝6，z＝10
∴x+y﹣2z＝6+8﹣20＝﹣6
（2）∵x2+y2＝36+64＝100，z2＝100
∴x2+y2＝z2．
∴△ABC是直角三角形．
【点睛】
本题考查了立方根，勾股定理逆定理，熟练运用勾股定理逆定理是本题的关键．
22．如图，△ABC在正方形网格中，若A（0，3），按要求回答下列问题：
（1）在图中建立正确的平面直角坐标系；
（2）根据所建立的坐标系，写出B和C的坐标；
（3）计算△ABC的面积．

【答案】（1）详见解析；（2）B（﹣3，﹣1）C（1，1）；（3）5.
【解析】
【分析】
（1）根据点A的坐标为（0，3）进而得出原点的位置，进而建立正确的平面直角坐标系；
（2）根据坐标系直接得出点B和点C的坐标；
（3）△ABC的面积等于长为4，宽为4的正方形的面积减去直角边长为4，2的直角三角形的面积，减去直角边长为3，4的直角三角形的面积，减去直角边长为1，2的直角三角形的面积
【详解】
解：（1）所建立的平面直角坐标系如图所示：

（2）点B和点C的坐标分别为：B（﹣3，﹣1）C（1，1）；
（3）．
23．为了积极响应国家新农村建设，某市镇政府采用了移动宣讲的形式进行宣传动员.如图，笔直公路的一侧点处有一村庄，村庄到公路的距离为800米，假使宣讲车周围1000米以内能听到广播宣传，宣讲车在公路上沿方向行驶时：

（1）请问村庄能否听到宣传，并说明理由；
（2）如果能听到，已知宣讲车的速度是每分钟300米，那么村庄总共能听到多长时间的宣传？
【答案】（1）村庄能听到宣传.   理由见解析；（2）村庄总共能听到4分钟的宣传．
【解析】
【分析】
（1）根据题意村庄A到公路MN的距离为800米＜1000米，即可解答
（2）假设当宣讲车行驶到P点开始影响村庄，行驶Q点结束对村庄的影响
【详解】
解：（1）村庄能听到宣传.                                                  
理由：因为村庄A到公路MN的距离为800米＜1000米，所以村庄能听到宣传
（2）如图，假设当宣讲车行驶到P点开始影响村庄，行驶Q点结束对村庄的影响，利用勾股定理进行计算即可解答

则AP=AQ=1000米，AB=800米.                                                
∴BP=BQ==600米.                                             
∴PQ=1200米.                                                                           
、∴影响村庄的时间为：1200÷300=4（分钟）.                              
∴村庄总共能听到4分钟的宣传．
【点睛】
此题考查解直角三角形，利用勾股定理进行计算是解题关键
24．如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长交BC于点G，连接AG．
（1）求证：△ABG≌△AFG；            
（2）求BG的长．

【答案】（1）证明见解析；（2）2
【解析】
【分析】
（1）根据正方形的性质得到AD=AB，∠B=∠D=90°，根据折叠的性质可得AD=AF，∠AFE=∠D=90°，从而得到∠AFG=∠B=90°，AB=AF，结合AG=AG得到三角形全等；
（2）根据全等得到BG=FG，设BG=FG=x，则CG=6－x，根据E为中点得到CE=EF=DE=3，则EG=3+x，根据勾股定理得出x的值．
【详解】
（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=∠D=90°，AD=AB，
由折叠的性质可知AD=AF，∠AFE=∠D=90°，
∴∠AFG=90°，AB=AF，     
∴∠AFG=∠B，   
又AG=AG，
∴△ABG≌△AFG；
（2）、∵△ABG≌△AFG，
∴BG=FG，
设BG=FG=，则GC=，
∵E为CD的中点，
∴CE=EF=DE=3，
∴EG=，
∴， 解得，
∴BG=2．
25．如图1，在平面直角坐标系中，AB⊥x轴于B，AC⊥y轴于C，点C(0，4)，A(4，4)，过C点作∠ECF分别交线段AB、OB于E、F两点.

（1）若OF+BE=AB，求证：CF=CE.
（2）如图2，∠ECF=45°， S△ECF=6，求S△BEF的值.
【答案】（1）见解析；（2）S△BEF的值为4.
【解析】
【分析】
（1）根据条件证出四边形ABOC是正方形，然后证明△COF≌△CAE即可；
（2）在x轴上截取OG=AE，连接CG，证明△COG≌△CAE，进而证出△GCF≌△ECF，根据全等三角形的面积相等得出S△COF+S△ACE =6，然后利用S△BEF=S四边形ABOC-（S△COF+S△ACE+S△ECF）计算即可．
【详解】
（1）证明：∵AB⊥x轴，AC⊥y轴，A（4，4），
∴AB=AC=OC=OB，∠ACO=∠COB=∠ABO=90°，
又∵四边形的内角和是360°，
∴∠A=90°，
∵OF+BE=AB=BE+AE，
∴AE=OF，
∴在△COF和△CAE中，
，
∴△COF≌△CAE（SAS），
∴CF=CE；
（2）在x轴上截取OG=AE，连接CG，

在△COG和△CAE中，
，
∴△COG≌△CAE（SAS），
∴CG=CE，∠GCO=∠ACE，
∵∠ECF=45°，
∴∠ACE+∠FCO=∠ACO-∠ECF=45°，
∴∠GCF=∠GCO+∠FCO=∠ACE+∠FCO=45°，
∴∠GCF=∠ECF，
在△GCF和△ECF中，
，
∴△GCF≌△ECF（SAS），
∴S△GCF=S△ECF=6，
∵S△COG=S△ACE，
∴S△COF+S△ACE= S△COF +S△COG=S△GCF=6，
∵S四边形ABOC=16，
∴S△BEF=S四边形ABOC-（S△COF+S△ACE+S△ECF）=4．
【点睛】
本题是一道全等三角形的综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定方法，正确的寻找出全等的条件是解决此类问题的关键．
26．解决如下问题：
(1)分母有理化：．
(2)计算：．
(3)若a＝，求2a2﹣8a+1的值．
【答案】(1)﹣1
(2)44
(3)3
【解析】
【分析】
（1）根据平方差公式，分子分母都乘以计算即可；
（2）先把，，，…，，分母有理化，再代入计算即可；
（3）先分母有理化，求出a＝，移项平方求出，整体代入求值即可．
(1)
解：；
(2)
解：∵，
，
，
…
，
，
=，
=，
=45-1，
=44；
(3)
解：a＝，
∴，
∴，
∴．
【点睛】
本题考查二次根式分母有理化，利用分母有理化化简二次根式，平方差公式，完全平方公式，整体代入求值，掌握二次根式分母有理化，利用分母有理化化简二次根式，平方差公式，完全平方公式，整体代入求值是解题关键．
27．如图1，在△ABC中，AD⊥BC于D，CE⊥AB于E，AD与CE交于点F，∠ACE＝45°．

(1)求证：△AEF≌△CEB．
(2)若G在BC的延长线上，连接GA，若GA＝GB，求证：AC平分∠DAG．
(3)如图2，在（2）的条件下，H为AG的中点，连接DH交AC于M，连接EM、ED，若S△EMC＝4，∠BAD＝15°，求AM的长．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)6
【解析】
【分析】
（1）先判断出AE=CE，再利用等角的余角相等判断出∠EAF=∠ECB，进而判断出，即可得出结论；
（2）先利用三角形外角的性质得出∠AEF=45+∠CAD，进而得出∠B=45+∠CAD，而∠B=∠BAG，得出∠BAG=45+∠CAD，而∠BAG=45+∠CAG，即可得出结论；
（3）先判断出ADH是等边三角形，进而利用含30度角的直角三角形的性质判断出AM=3CM，进而求出ACM的面积，即可求出AE，进而求出AC，即可得出结论．
(1)
证明：∵CE⊥AB，
∴∠AEC＝∠BEC＝90°，
∵∠ACE＝45°，
∴∠CAE＝45°＝∠ACE，
∴AE＝CE，
∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ECB+∠CFD＝90°，
∵∠CFD＝∠AFE，
∴∠ECB+∠AFE＝90°，
∵∠EAF+∠AFE＝90°，
∴∠EAF＝∠ECB，
在AEF和CEB中，
，
∴（ASA）；
(2)
∵，
∴∠AFE＝∠B，
∵∠AFE＝∠ACE+∠CAD＝45°+∠CAD，
∴∠B＝45°+∠CAD，
∵AG＝BG，
∴∠B＝∠BAG，
∴∠BAG＝45°+∠CAD，
∵∠BAG＝∠CAE+∠CAG＝45°+∠CAG，
∴∠CAD＝∠CAG，
∴AC平分∠DAG；
(3)
∵∠BAD＝15°，∠CAE＝45°，
∴∠CAD＝∠CAE﹣∠BAD＝30°，
∵∠CAD＝∠CAG，
∴∠DAG＝2∠CAD＝60°，
在Rt△ADG中，点H是AG的中点，
∴DH＝AH，
∴△ADH是等边三角形，
∴∠ADH＝60°，AD＝AH，
∵∠CAD＝∠CAG，
∴AC⊥DH，
即：∠AMD＝∠DMC＝90°
∵∠ADC＝90°，
∴∠CDM＝30°，
在Rt△DMC中，DM＝CM，
在Rt△AMD中，AM＝DM＝×CM＝3CM，
∴S△AEM＝3S△CEM＝3×4＝12，
∴S△ACE＝S△CEM+S△AEM＝16，
∵∠AEC＝90°，AE＝CE，
∴S△ACE＝AE2＝16，
∴AE＝4，
∴AC＝AE＝8，
∴AM+CM＝8，
∵AM＝3CM，
∴3CM+CM＝8，
∴CM＝2，
∴AM＝3CM＝6．
【点睛】
此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，等角的余角相等，等边三角形的判定和性质，三角形外角的性质，含30度角的直角三角形的性质，求出AE是解本题的关键．
28．如图1，等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线DE经过点C，过A作AD⊥DE于点D，过B作BE⊥DE于点E，则△BEC≌△CDA，我们称这种全等模型为“K型全等”．（不需要证明）

[模型应用]若一次函数y＝kx+4（h≠0）的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点．
(1)如图2，当k＝﹣1时，若B到经过原点的直线l的距离BE的长为3，求A到直线l的距离AD的长．
(2)如图3，当k＝﹣时，点M在第一象限内，若△ABM是等腰直角三角形，求点M的坐标．

(3)当k的取值变化时，点A随之在x轴上运动，将线段BA绕点B逆时针旋转90°得到BQ，当Q在第一象限落在直线y＝0.5x+1上时，在x轴上求一点H，使HQ+HB的值最小，请求出H的坐标．
【答案】(1)
(2)M（，）
(3)点H坐标为（，0）
【解析】
【分析】
（1）由题意可知△BEO≌△AOD（K型全等），OE=AD，B（0，4），OE=，AD=；
（2）k=-时，A（3，0），分三种情况讨论，①当BM⊥AB，且BM=AB时，过点M作MN⊥y轴，由“AAS”可证△BMN≌△ABO，所以MN=OB，BN=OA；
②当AB⊥AM，且AM=AB时，过点M作x轴垂线MK，可知△ABO≌△AMK（AAS），所以OB=AK，OA=MK；
③当AM⊥BM，且AM=BM时，过点M作MH⊥x轴，MG⊥y轴，由“AAS”可证△BMG≌△AHM，所以BG=AH，GM=MH，GM=MH，则有4-MH=MH-3；
（3）由“AAS”可证△MAB≌△NBQ，可得BN=AM=4，，可求点Q坐标，作点Q关于x轴的对称点Q'（4，-3），连接BQ'，交x轴于H，此时HB+HQ最小，求出BQ'的解析式，联立方程组，可求解．
(1)
由题意可知：△BEO≌△AOD（K型全等），
∴OE＝AD，
∵k＝﹣1，
∴y＝﹣x+4，
令x=0，则y=4
∴B（0，4），OB＝4，
∵BE＝3，
∴由勾股定理得，OE＝=，
∴AD＝；
(2)
k＝﹣时，y＝﹣x+4，
当y=0时，x=3
∴A（3，0），
①当BM⊥AB，且BM＝AB时，
如图3﹣1，过点M作MN⊥y轴，

∴∠MNB＝∠AOB＝∠ABM＝90°，
∵∠ABO+∠MBN＝90°＝∠ABO+∠BAO，
∴∠BAO＝∠MBN，
又∵AB＝BM，
∴△BMN≌△ABO（AAS），
∴MN＝OB，BN＝OA，
∴MN＝4，BN＝3，
∴M（4，7）；
②如图3﹣2，当AB⊥AM，且AM＝AB时，

过点M作x轴垂线MK，
同理可证：△ABO≌△AMK（AAS），
∴OB＝AK，OA＝MK，
∴AK＝4，MK＝3，
∴M（7，3）；
③当AM⊥BM，且AM＝BM时，
如图3﹣3，过点M作MH⊥x轴，MG⊥y轴，

同理可证：△BMG≌△AHM（AAS），
∴BG＝AH，GM＝MH，
∴GM＝MH，
∴4﹣MH＝MH﹣3，
∴MH＝，
∴M（，）；
综上所述：M（7，3）或M（4，7）或M（，）；
(3)
设AB的解析式为y＝kx+4，
∴点A（﹣，0），点B（0，4），
如图4，过点B作MN//AO，过点A作AM⊥MN于M，过点Q作QN⊥MN于N，

∵将线段BA绕点B逆时针旋转90°得到BQ，
∴AB＝BQ，∠ABQ＝90°，
∴∠ABM+∠MAB＝90°，∠MBA+∠NBQ＝90°，
∴∠MAB＝∠NBQ，
在△MAB与△NBQ中，
，
∴△MAB≌△NBQ（AAS），
∴BN＝AM＝4，NQ＝MB＝|﹣|＝||，
∴点Q（4，||），
∴||＝0.5×4+1，
∴点Q（4，3），
作点Q关于x轴的对称点Q'（4，﹣3），连接BQ'，交x轴于H，
此时HB+HQ最小，
设直线BQ'解析式为y＝mx+n，
由题意可得：，
解得：，
∴直线BQ'解析式为y＝﹣x+4，
当y＝0时，﹣x+4＝0，
∴x＝，
∴点H坐标为（，0）．
【点睛】
本题考查了待定系数法解析式，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形解题是关键．