23版新高考一轮分层练案(十四)　函数与数学模型

一轮分层练案(十四)　函数与数学模型

A级——基础达标

1．某辆汽车每次加油都把油箱加满，表中记录了该车相邻两次加油时的情况．

(注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程)

在这段时间内，该车每100 km平均耗油量为(　　)

A．6 L    B．8 L

C．10 L    D．12 L

【答案】C　因为第二次加满油箱时加油量为60 L，所以从第一次加油到第二次加油共用油60 L，行驶了600 km，所以在这段时间内，该车每100 km平均耗油量为＝10(L).故选C.

2．某位股民购进某只股票，在接下来的交易时间内，他的这只股票先经历了n次涨停(每次上涨10%)，又经历了n次跌停(每次下跌10%)，则该股民这只股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为(　　)

A．略有盈利    B．略有亏损

C．没有盈利也没有亏损    D．无法判断盈亏情况

【答案】B　设该股民购进股票的资金为a，则交易结束后，所剩资金为a·(1＋10%)n·(1－10%)n＝a·(1－0.01)n＝a·0.99n<a.

3．为了保证信息的安全传输，有一种密码系统，其加密、解密原理为：发送方由明文到密文(加密)，接收方由密文到明文(解密).现在加密密钥为y＝xα(α为常数)，如“4”通过加密后得到密文“2”．若接收方接到密文“3”，则解密后得到的明文(　　)

A．4    B．6

C．8    D．9

【答案】D　由题目可知加密密钥y＝xα(α是常数)是一个幂函数模型，所以要想求得解密后得到的明文，就必须先求出α的值．由题意得2＝4α，解得α＝，则y＝x，由x＝3，得x＝9.

4．下图为服用同等剂量的三种新药后血药浓度(mg/mL)的变化情况，其中点Ai的横坐标表示服用第i种药后血药浓度达到峰值(最高浓度)时间，其他点的横坐标分别表示服用三种新药后血药浓度首次降到峰值一半时所用的时间(单位：h)，点Ai的纵坐标表示服用第i种药后血药浓度的峰值(i＝1，2，3).记Vi为服用第i种药后达到血药浓度峰值时，血药浓度提高的平均速度，记Ti为服用第i种药后血药浓度从峰值首次降到峰值的一半所用的时间，则V1，V2，V3中最小的，T1，T2，T3中最大的分别是(　　)

A.V2，T3    B．V2，T2

C．V1，T3    D．V1，T2

【答案】B　设A1(x1，y1)，则V1＝，即直线OA1的斜率，由题图可知，直线OA2的斜率最小，即V2最小；

根据峰值的一半对应关系得三个点从左到右依次对应A1，A3，A2，在首次降到峰值一半时对应点不妨记为B1，B3，B2，由题图可知A2与B2经历的时间最长，所以T1，T2，T3中最大的是T2.故选B.

5．(多选)一水池有两个进水口，一个出水口，每个水口的进、出水速度如图甲、乙所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示．给出以下4个论断则一定正确的是(　　)

A．0点到3点只进水不出水

B．3点到4点不进水只出水

C．3点到4点总蓄水量降低

D．4点到6点不进水不出水

【答案】AC　由甲、乙两图知，进水速度是出水速度的，所以0点到3点不出水，A正确；3点到4点一个进水口进水，一个出水口出水，总蓄水量降低，B错误，C正确；4点到6点也可能两个进水口进水，一个出水口出水，D错误．

6．(多选)某单位准备印制一批证书，现有两个印刷厂可供选择，甲厂费用分为制版费和印刷费两部分，先收取固定的制版费，再按印刷数量收取印刷费，乙厂直接按印刷数量收取印刷费，甲厂的总费用y1(千元)，乙厂的总费用y2(千元)与印制证书数量x(千个)的函数关系图分别如图中甲、乙所示，则(　　)

A．甲厂的制版费为1千元，印刷费平均每个为0.5元

B．甲厂的费用y1与证书数量x之间的函数关系式为y1＝0.5x＋1

C．当印制证书数量不超过2千个时，乙厂的印刷费平均每个为1.5元

D．当印制证书数量超过2千个时，乙厂的总费用y2与证书数量x之间的函数关系式为y2＝x＋

【答案】ABCD　由题图知甲厂制版费为1千元，印刷费平均每个为0.5元，故A正确；

甲厂的费用y1与证书数量x满足的函数关系为y1＝0.5x＋1，故B正确；

当印制证书数量不超过2千个时，乙厂的印刷费平均每个为3÷2＝1.5(元)，故C正确；

易知当x>2时，y2与x之间的函数关系式为y2＝x＋，故D正确，故选A、B、C、D.

7.(多选)在一次社会实践活动中，某数学调研小组根据车间持续5个小时的生产情况画出了某种产品的总产量y(单位：kg)与时间x(单位：h)的函数图象，则以下关于该产品生产状况的正确判断是(　　)

A．在前3小时内，每小时的产量逐步增加

B．在前3小时内，每小时的产量逐步减少

C．最后1小时内的产量与第3小时内的产量相同

D．最后2小时内，该车间没有生产该产品

【答案】BD　由该车间5个小时某种产品的总产量y(单位：kg) 与时间x(单位：h)的函数图象，得前3小时的年产量逐步减少，故A错误，B正确；后2小时均没有生产，故C错误，D正确．

8．某购物网站在2020年11月开展“全部6折”促销活动，在11日当天购物还可以再享受“每张订单金额(6折后)满300元时可减免100元”．某人在11日当天欲购入原价48元(单价)的商品共42件，为使花钱总数最少，他最少需要下的订单张数为________．

解析：为使花钱总数最少，需使每张订单满足“每张订单金额(6折后)满300元时可减免100元”，即每张订单打折前原金额不少于500元．由于每件原价48元，因此每张订单至少11件，又42＝11×3＋9，所以最少需要下的订单张数为3.

【答案】3

9．李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%.

①当x＝10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付________元；

②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为________．

解析：①顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，原价应为60＋80＝140(元)，超过了120元可以优惠，所以当x＝10时，顾客需要支付140－10＝130(元).

②由题意知，当x确定后，顾客可以得到的优惠金额是固定的，所以顾客支付的金额越少，优惠的比例越大．而顾客要想得到优惠，最少要一次购买2盒草莓，此时顾客支付的金额为(120－x)元，所以(120－x)×80%≥120×0.7，所以x≤15.即x的最大值为15.

【答案】①130　②15

10．某地下车库在排气扇发生故障的情况下测得空气中一氧化碳含量达到了危险状态，经抢修排气扇恢复正常．排气4 min后测得车库内的一氧化碳浓度为64 ppm，继续排气4 min后又测得浓度为32 ppm.由检验知该地下车库一氧化碳浓度y(ppm)与排气时间t(min)之间存在函数关系y＝c(c，m为常数).

(1)求c，m的值；

(2)若空气中一氧化碳浓度不高于0.5 ppm为正常，问至少排气多少分钟，这个地下车库中的一氧化碳含量才能达到正常状态？

解：(1)由题意，可得方程组

解得

(2)由(1)知y＝128×.

由题意，可得128×≤0.5，

即≤，即t≥8，解得t≥32.

所以至少排气32分钟，这个地下车库中的一氧化碳含量才能达到正常状态．

B级——综合应用

11．衣柜里的樟脑丸，随着时间会挥发而体积缩小，刚放进的新丸体积为a，经过t天后体积V与天数t的关系式为：V＝a·e－kt.已知新丸经过50天后，体积变为a.若一个新丸体积变为a ，则需经过的天数为(　　)

A．125    B．100

C．75    D．50

【答案】C　由已知，得a＝a·e－50k，

∴e－k＝，设经过t1天后，一个新丸体积变为a，

则a＝a·e，

∴＝(e－k) ＝，

∴＝，t1＝75.

12．(多选)某工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不得超过0.1%，而这种溶液最初的杂质含量为2%，现进行过滤，已知每过滤一次杂质含量减少，则使产品达到市场要求的过滤次数可以为(参考数据：lg 2≈0.301，lg 3≈0.477)(　　)

A．6    B．9

C．8    D．7

【答案】BC　设经过n次过滤，产品达到市场要求，则×≤，即≤，即n lg ≤－lg 20，即n(lg 2－ln 3)≤－(1＋lg 2)，即n≥≈7.4，故选B、C.

13．2019年7月，中国良渚古城遗址获准列入世界遗产名录，标志着中华五千年文明史得到国际社会认可，良渚古城遗址是人类早期城市文明的范例，实证了中华五千年文明史，考古科学家在测定遗址年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减少”这一规律．已知样本中碳14的质量N随时间t(单位：年)的衰变规律满足N＝N0·2(N0表示碳14原有的质量)，则经过5 730年后，碳14的质量变为原来的________；经过测定，良渚古城遗址文物样本中碳14的质量是原来的至，据此推测良渚古城存在的时期距今约在5 730年到________年之间．(参考数据：lg 2≈0.30，lg  7≈0.85，lg 3≈0.48)

解析：∵N＝N0·2，

∴当t＝5 730时，N＝N0·2－1＝N0.

∴经过5 730年后，碳14的质量变为原来的，

由题意可知2>，

两边同时取以2为底的对数得，log22>log2，

∴>＝≈－1.2，∴t<6 876，

∴推测良渚古城存在的时期距今约在5 730年到6 876年之间．

【答案】　6 876

14．商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价a，最高销售限价b(b>a)以及实数x(0<x<1)确定实际销售价格c＝a＋x(b－a).这里，x被称为乐观系数．经验表明，最佳乐观系数x恰好使得(c－a)是(b－c)和(b－a)的等比中项．据此可得，最佳乐观系数x＝________．

解析：由题意得x＝，(c－a)2＝(b－c)(b－a)，

∵b－c＝(b－a)－(c－a)，

∴(c－a)2＝(b－a)2－(b－a)(c－a)，

两边同除以(b－a)2，得x2＋x－1＝0，

解得x＝.∵0<x<1，∴x＝.

【答案】

15．近年来，某企业平均每年缴纳的电费约24万元，为了节能减排，决定安装一个可使用15年的太阳能供电设备接入本企业电网，安装这种供电设备的费用(单位：万元)与太阳能电池板的面积(单位：m2)成正比，比例系数约为0.5.为了保证正常用电，安装后采用太阳能和电能互补供电的模式．假设在此模式下，安装后该企业平均每年缴纳的电费C(单位：万元)与安装的这种太阳能电池板的面积x(单位：m2)之间的函数关系是C(x)＝(x≥0，k为常数).记y为该企业安装这种太阳能供电设备的费用与该企业今后15年共将缴纳的电费之和．

(1)试解释C(0)的实际意义，并建立y关于x的函数关系式；

(2)当x为多少时，y取得最小值？最小值是多少万元？

解：(1)C(0)的实际意义是安装这种太阳能电池板的面积为0时该企业平均每年缴纳的电费，即未安装太阳能供电设备时，该企业平均每年缴纳的电费．由C(0)＝＝24，得k＝2 400，

所以y＝15×＋0.5x＝＋0.5x(x≥0).

(2)因为y＝＋0.5(x＋5)－2.5

≥2－2.5＝57.5，

当且仅当＝0.5(x＋5)，即x＝55时取等号，

所以当x为55时，y取得最小值，最小值为57.5万元．

C级——迁移创新

16．某公司计划投资开发一种新能源产品，预计能获得10万元～1 000万元的收益．现准备制定一个对开发科研小组的奖励方案：奖金y(单位：万元)随收益x(单位：万元)的增加而增加，且奖金总数不超过 9万元，同时奖金总数不超过收益的20%.

(1)若建立奖励方案函数模型y＝f(x)，试确定这个函数的定义域、值域和的范围；

(2)现有两个奖励函数模型：①y＝＋2；②y＝4lg x－3.试分析这两个函数模型是否符合公司的要求？请说明理由．

解：(1)y＝f(x)的定义域是[10，1 000]，值域是(0，9]，∈(0，0.2].

(2)当y＝＋2时，＝＋的最大值是＞0.2，不符合公司的要求．

当y＝4lg x－3时，函数在定义域上为增函数，最大值为9.

由≤0.2可知y－0.2x≤0.

令g(x)＝4lg x－3－0.2x，x∈[10，1 000]，则g′(x)＝＜0，所以g(x)在[10，1 000]上单调递减，所以g(x)≤g(10)＝－1＜0，即≤0.2.

故函数y＝4lg x－3符合公司的要求．