23版新高考一轮分层练案(二十一)　同角三角函数基本关系式与诱导公式

一轮分层练案(二十一)　同角三角函数基本关系式与诱导公式

A级——基础达标

1．已知cos 31°＝a，则sin 239°·tan 149°的值为(　　)

A．    B．

C．    D．－

【答案】B　sin 239°·tan 149°＝sin (270°－31°)·tan (180°－31°)＝－cos 31°·(－tan 31°)＝sin 31°＝ .

2．已知sin (π＋θ)＝－cos (2π－θ)，|θ|<，则θ＝(　　)

A．－    B．－

C．    D．

【答案】D　∵sin (π＋θ)＝－cos (2π－θ)，

∴－sin θ＝－cos θ，

∴tan θ＝，∵|θ|<，∴θ＝.

3．已知θ∈，则2cos θ＋＝(　　)

A．sin θ＋cos θ    B．sin θ－cos θ

C．cos θ－sin θ    D．3cos θ－sin θ

【答案】A　因为θ∈，所以sin θ>cos θ，则2cos θ＋＝2cos θ＋＝2cos θ＋sin θ－cos θ＝sin θ＋cos θ，故选A.

4．已知cos (75°＋α)＝，则sin (α－15°)＋cos (105°－α)的值是(　　)

A．    B．－

C．    D．－

【答案】D　sin (α－15°)＋cos (105°－α)＝sin [(75°＋α)－90°]＋cos [180°－(75°＋α)]＝－cos (75°＋α)－cos (75°＋α)＝－2cos (75°＋α)＝－，故选D.

5．已知α∈[0，2π)，cos α＋3sin α＝，则tan α＝(　　)

A．－3    B．3或

C．3    D．

【答案】C　因为(cos α＋3sin α)2＝10，

所以cos2α＋6sinαcos α＋9sin2α＝10，

所以＝10，

所以＝10，

所以tanα＝3.故选C.

6．(多选)已知x∈R，则下列等式恒成立的是(　　)

A．sin (－x)＝sin x    B．sin ＝cos x

C．cos ＝－sin x    D．cos (x－π)＝－cos x

【答案】CD　sin (－x)＝－sin x，故A不成立；

sin ＝－cos x，故B不成立；

cos ＝－sin x，故C成立；

cos (x－π)＝－cos x，故D成立．

7．(多选)若sin α＝，且α为锐角，则下列选项中正确的有(　　)

A．tan α＝    B．cos α＝

C．sin α＋cos α＝    D．sin α－cos α＝－

【答案】AB　∵sin α＝，且α为锐角，

∴cos α＝＝＝，故B正确，

∴tan α＝＝＝，故A正确，

∴sin α＋cos α＝＋＝≠，故C错误，

∴sin α－cos α＝－＝≠－，故D错误．

8．(多选)已知＝5，下列计算结果正确的是(　　)

A．tan α＝    B．tan α＝2

C．cos2α＋sin2α＝    D．sin2α－cos2α＝

【答案】BC　∵＝＝5，解得tan α＝2，∴cos2α＋sin2α＝cos2α＋sinαcos α＝＝＝＝，sin2α－cos2α＝2sin2α－cos2α＝＝.

9．已知sinθ＋cos θ＝，θ∈(0，π)，则sin θcos (π－θ)＝________，tan (π－θ)＝________．

解析：因为sin θ＋cos θ＝，所以(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝，所以sin θcos θ＝－.

所以sin θcos (π－θ)＝－sin θcos θ＝；

(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝，因为θ∈(0，π)，所以sin θ>0，cos θ<0，即sin θ－cos θ>0，所以sin θ－cos θ＝.联立解得sin θ＝，cos θ＝－.所以tan θ＝－，所以tan (π－θ)＝－tan θ＝.

【答案】　

10．已知sin α＝，求tan (α＋π)＋的值．

解：因为sin α＝>0，

所以α为第一或第二象限角．

tan (α＋π)＋

＝tan α＋＝＋

＝.

①当α为第一象限角时，cos α＝＝，

原式＝＝.

②当α为第二象限角时，cos α＝－＝－，

原式＝＝－.

综合①②知，原式＝或－.

B级——综合应用

11．已知函数f(x)＝a sin (πx＋α)＋b cos (πx＋β)，且f(4)＝3，则f(2 021)的值为(　　)

A．－1    B．1

C．3    D．－3

【答案】D　∵f(4)＝a sin (4π＋α)＋b cos (4π＋β)

＝a sin α＋b cos β＝3，

∴f(2 021)＝a sin (2 021π＋α)＋b cos (2 021π＋β)

＝－(a sin α＋b cos β)＝－3.

12．已知sin θ和cos θ是关于x的方程x2－mx＋m＋1＝0的两根，则m＝(　　)

A．3    B．－1

C．3或－1    D．以上均不对

【答案】B　若方程x2－mx＋m＋1＝0有实根，则Δ＝m2－4m－4≥0，解得m≤2－2或m≥2＋2，若sin θ cos θ是关于x的方程x2－mx＋m＋1＝0的两个实根，则sin θ＋cos θ＝m，sin θ·cos θ＝m＋1，则(sin θ＋cos θ)2－2(sin θ·cos θ)＝1，即m2－2(m＋1)＝1，解得m＝－1或m＝3(舍去)，故选B.

13．(多选)在△ABC中，下列结论正确的是(　　)

A．sin (A＋B)＝sin C

B．sin ＝cos

C．tan (A＋B)＝－tan C

D．cos (A＋B)＝cos C

【答案】ABC　在△ABC中，有A＋B＋C＝π，则sin (A＋B)＝sin (π－C)＝sin C；sin ＝sin ＝cos ；tan (A＋B)＝tan (π－C)＝－tan C；cos (A＋B)＝cos (π－C)＝－cos C．

14．已知0<α<，若cos α－sin α＝－，则的值为________．

解析：因为cos α－sin α＝－，①

所以1－2sin αcos α＝，即2sin αcos α＝.

所以(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝1＋＝.

又0<α<，所以sin α＋cos α>0.

所以sin α＋cos α＝.②

由①②得sin α＝，cos α＝，tan α＝2，

所以＝.

【答案】

15．是否存在α∈，β∈(0，π)，使等式sin (3π－α)＝cos ，cos (－α)＝－cos (π＋β)同时成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，请说明理由．

解：假设存在角α，β满足条件．

由已知条件可得

由①2＋②2，得sin2α＋3cos2α＝2.

∴sin2α＝，∴sinα＝±.

∵α∈，∴α＝±.

当α＝时，由②式知cos β＝，

又β∈(0，π)，∴β＝，此时①式成立；

当α＝－时，由②式知cos β＝，

又β∈(0，π)，∴β＝，此时①式不成立，故舍去．

∴存在α＝，β＝满足条件．

C级——迁移创新

16．已知sin α＝1－sin ，求sin2α＋sin＋1的取值范围．

解：因为sin α＝1－sin ＝1－cos β，

所以cos β＝1－sin α.

因为－1≤cos β≤1，

所以－1≤1－sin α≤1，0≤sin α≤2，

又因为－1≤sin α≤1，所以sin α∈[0，1].

所以sin2α＋sin＋1＝sin2α＋cosβ＋1＝sin2α－sinα＋2＝＋.(*)

又sin α∈[0，1]，所以当sin α＝时，(*)式取得最小值；当sin α＝1或sin α＝0时，(*)式取得最大值2，故所求范围为.