23版新高考一轮分层练案(二十四)　三角函数的图象和性质

一轮分层练案(二十四)　三角函数的图象和性质

A级——基础达标

1．函数y＝tan 的定义域是(　　)

A．

B．

C．

D．

【答案】D　y＝tan ＝－tan ，由x－≠＋kπ(k∈Z)，得x≠kπ＋(k∈Z).故选D.

2．函数f(x)＝的最小正周期为(　　)

A．    B．

C．π    D．2π

【答案】C　由已知得f(x)＝＝＝＝sinx·cos x＝sin 2x，所以f(x)的最小正周期为T＝＝π.

3．函数f(x)＝sin 在区间上的最小值为(　　)

A．－1    B．－

C．    D．0

【答案】B　由已知x∈，得2x－∈，所以sin ∈，故函数f(x)＝sin 在区间上的最小值为－.故选B.

4．函数y＝tan x＋sin x－|tan x－sin x|在区间内的图象是(　　)

【答案】D　y＝tan x＋sin x－|tan x－sin x|

＝结合选项中图形知，D正确．

5．若函数f(x)＝sin (2x＋θ)＋cos (2x＋θ)为奇函数，且在上单调递减，则θ的一个值为(　　)

A．－    B．－

C．    D．

【答案】D　由题意得f(x)＝sin (2x＋θ)＋cos (2x＋θ)＝2sin .因为函数f(x)为奇函数，所以θ＋＝kπ，k∈Z，故θ＝－＋kπ，k∈Z.当θ＝－时，f(x)＝2sin 2x，在上单调递增，不合题意．当θ＝时，f(x)＝－2sin 2x，在上单调递减，符合题意．故选D.

6．(多选)设函数f(x)＝，则(　　)

A．f(x)＝f(x＋π)

B．f(x)的最大值为

C．f(x)在单调递增

D．f(x)在单调递减

【答案】AD　f(x＋π)＝

＝＝f(x)，故A正确；

∵f(x)＝＝，

∴f′(x)＝

＝，

令f′(x)＝0，解得sin 2x＝－，cos 2x＝±.

所以f(x)max＝＞，故B错误；

当x∈时，2x∈，

此时－4sin 2x－1∈(－1，3)，

∴f′(x)有正有负，f(x)在上不单调，故C错误；

当x∈时，2x∈，此时－4sin 2x－1∈(－5，－1)，f′(x)＜0恒成立，f(x)在单调递减，故D正确．

7．(多选)设函数f(x)＝sin ，则下列结论正确的是(　　)

A．f(x)的一个周期为－2π

B．f(x)的图象关于直线x＝对称

C．f(x)的图象关于点对称

D．f(x)在区间上单调递增

【答案】AD　A项，函数的最小正周期为T＝＝2π，所以－2π是函数f(x)的一个周期，故本结论是正确的；

B项，当x＝时，f＝sin ＝0，该函数值不是函数的最值，故本结论是错误的；

C项，当x＝－时，f＝sin ＝－1≠0，故本结论是错误的；

D项，当x∈时，∈，所以函数f(x)＝sin 单调递增，故本结论是正确的．

故选A、D.

8．(多选)关于函数f(x)＝|sin x|＋sin |x|，下述四个结论正确的是(　　)

A．f(x)是偶函数

B．f(x)在区间单调递减

C．f(x)在[－π，π]上有4个零点

D．f(x)的最大值为2

【答案】ABD　对于A，由f(－x)＝|sin (－x)|＋sin |－x|＝|sin x|＋sin |x|＝f(x)可得f(x)为偶函数，故A正确；

对于B，当x∈时，f(x)＝|sin x|＋sin |x|＝－sin x－sin x＝－2sin x，所以f(x)在区间单调递减，故B正确；

对于C，当x∈[0，π]时，f(x)＝|sin x|＋sin |x|＝sin x＋sin x＝2sin x，当x＝0、x＝π时，f(x)＝0，又因为函数f(x)是偶函数，所以f(x)在[－π，π]上有3个零点：－π，0，π，故C错误；

对于D，由|sin x|≤1，sin |x|≤1可得f(x)＝|sin x|＋sin |x|≤2，因为f＝＋sin ＝2，所以f(x)的最大值为2，故D正确．故选A、B、D.

9．已知f(x)＝sin －cos ，则f(x)的最小正周期为________，f(1)＋f(2)＋…＋f(2 020)＝________．

解析：依题意可得f(x)＝2sin x，其最小正周期T＝6，且f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝0，故f(1)＋f(2)＋…＋f(2 020)＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝.

【答案】6　

10．已知函数f(x)＝sin (ωx＋φ)的最小正周期为π.

(1)求当f(x)为偶函数时φ的值；

(2)若f(x)的图象过点，求f(x)的单调递增区间.

解：由f(x)的最小正周期为π，得T＝＝π，

所以ω＝2，所以f(x)＝sin (2x＋φ).

(1)当f(x)为偶函数时，有φ＝＋kπ(k∈Z).

因为0<φ<，所以φ＝.

(2)因为f＝，

所以sin ＝，

即＋φ＝＋2kπ或＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，

故φ＝2kπ或φ＝＋2kπ(k∈Z)，

又因为0<φ<，所以φ＝，

即f(x)＝sin .

由－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ(k∈Z)，

得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，

故f(x)的单调递增区间为(k∈Z).

B级——综合应用

11．已知函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx(ω>0)，x1，x2为函数图象与x轴的两个交点的横坐标，若|x1－x2|的最小值为，则(　　)

A．f(x)在上单调递增

B．f(x)在上单调递减

C．f(x)在上单调递增

D．f(x)在上单调递减

【答案】C　因为f(x)＝2sin ，且|x1－x2|的最小值为，所以f(x)的最小正周期为π，即＝π，所以ω＝2，所以f(x)＝2sin ，所以f(x)在区间上单调递增，故选C.

12．如图，将绘有函数f(x)＝sin (ω＞0)部分图象的纸片沿x轴折成直二面角，若A，B之间的空间距离为，则f(－1)＝(　　)

A．－1    B．1

C．－    D．

【答案】D　 由题设并结合题图可知

AB＝＝＝＝，得＝4，则ω＝，

所以函数f(x)＝sin ，

所以f(－1)＝sin ＝sin ＝.

13．(多选)已知函数f(x)＝sin x＋cos x，g(x)＝2sin x·cos x，则下列结论中正确的是(　　)

A．两函数的图象均关于点成中心对称

B．两函数的图象均关于直线x＝－成轴对称

C．两函数在区间上都是单调增函数

D．两函数的最大值相同

【答案】CD　f(x)＝sin x＋cos x＝sin ，

g(x)＝sin 2x，

f＝sin ＝sin 0＝0，

则f(x)关于点成中心对称．

g＝sin ＝sin ＝－≠0，则g(x)不关于点对称，故A错误；

f(x)关于成中心对称，g(x)关于x＝－成轴对称，故B错误；

若－＜x＜，则0＜x＋＜，此时函数f(x)单调递增，

若－＜x＜，则－＜2x＜，此时函数g(x)单调递增，

即两函数在区间上都是单调增函数正确，故C正确；

两函数的最大值相同，都为，故D正确．

14．已知函数f(x)＝2sin (ωx＋φ)(ω>0)满足f＝2，f(π)＝0，且f(x)在区间上单调，则符合条件的ω的值有________个．

解析：设函数f(x)的最小正周期为T，

由f＝2，f (π)＝0，

结合正弦函数图象的特征可知＋＝，k∈N，

故T＝，k∈N，

又因为f(x)在区间上单调，

所以－≤，故T≥，

所以ω＝≤12，即≤12，k∈N，

所以k≤，k∈N，所以k＝0，1，2，…，8，符合条件的ω的值有9个．

【答案】9

15．已知函数f(x)＝sin 2x－cos 2x，x∈R.

(1)求f(x)的最小正周期；

(2)若h(x)＝f(x＋t)的图象关于点对称，且t∈(0，π)，求t的值；

(3)当x∈时，不等式|f(x)－m|<3恒成立，求实数m的取值范围．

解：(1)因为f(x)＝sin 2x－cos 2x

＝2

＝2sin ，

故f(x)的最小正周期为T＝＝π.

(2)由(1)知h(x)＝2sin .

令2×＋2t－＝kπ(k∈Z)，

得t＝＋(k∈Z)，

又t∈(0，π)，故t＝或t＝.

(3)当x∈时，2x－∈，

所以f(x)∈[1，2].

又|f(x)－m|<3，

即f(x)－3<m<f(x)＋3，

所以2－3<m<1＋3，

即－1<m<4.

故实数m的取值范围是(－1，4).

C级——迁移创新

16．在①函数f为奇函数；②当x＝时，f(x)＝；③是函数f(x)的一个零点这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答，已知函数f(x)＝2sin (ωx＋φ)，f(x)的图象相邻两条对称轴间的距离为π，________．

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)求函数f(x)在[0，2π]上的单调递增区间．

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

解：∵函数f(x)的图象相邻对称轴间的距离为π，

∴T＝＝2π，∴ω＝1，

∴f(x)＝2sin (x＋φ).

选条件①.

∵f＝2sin 为奇函数，

∴φ－＝kπ，k∈Z，解得φ＝＋kπ，k∈Z.

(1)∵0<φ<，∴φ＝，∴f(x)＝2sin .

(2)由－＋2kπ≤x＋≤＋2kπ，k∈Z，

得－π＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z，

∴令k＝0，得－≤x≤，令k＝1，得≤x≤，

∴函数f(x)在[0，2π]上的单调递增区间为，.

选条件②.

f＝2sin ＝，∴sin ＝，

∴φ＝2kπ，k∈Z或φ＝＋2kπ，k∈Z，

(1)∵0<φ<，∴φ＝，∴f(x)＝2sin .

(2)由－＋2kπ≤x＋≤＋2kπ，k∈Z，

得－π＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z，

∴令k＝0，得－≤x≤，令k＝1，得≤x≤，

∴函数f(x)在[0，2π]上的单调递增区间为，.

选条件③.

∵π是函数f(x)的一个零点，

∴f＝2sin ＝0，

∴φ＝kπ－，k∈Z.

(1)∵0<φ<，∴φ＝，∴f(x)＝2sin .

(2)由－＋2kπ≤x＋≤＋2kπ，k∈Z，

得－π＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z，

∴令k＝0，得－≤x≤，令k＝1，得≤x≤，

∴函数f(x)在[0，2π]上的单调递增区间为，.