23版新高考一轮分层练案(六十)　离散型随机变量及其分布列

一轮分层练案(六十)　离散型随机变量及其分布列

A级——基础达标

1．下表是离散型随机变量X的分布列，则常数a的值是(　　)

A.　　　　　　　　 B.

C.  D.

【答案】C　＋＋a＋＋＝1，解得a＝.故选C.

2．已知离散型随机变量X的分布列服从两点分布，且P(X＝0)＝3－4P(X＝1)＝a，则a＝(　　)

A.  B．

C.  D.

【答案】C　因为X的分布列服从两点分布，

所以P(X＝0)＋P(X＝1)＝1，

因为P(X＝0)＝3－4P(X＝1)＝a，

所以P(X＝0)＝3－4[1－P(X＝0)]，

所以P(X＝0)＝，所以a＝，故选C.

3．若随机变量X的分布列为

则当P(X＜a)＝0.8时，实数a的取值范围是(　　)

A．(－∞，2]  B．[1,2]

C．(1,2]  D．(1,2)

【答案】C　由随机变量X的分布列知：P(X＜－1)＝0.1，P(X＜0)＝0.3，P(X＜1)＝0.5，P(X＜2)＝0.8，

则当P(X＜a)＝0.8时，实数a的取值范围是(1,2]．

4．若P(ξ≤x2)＝1－β，P(ξ≥x1)＝1－α，其中x1<x2，则P(x1≤ξ≤x2)＝(　　)

A．(1－α)(1－β)  B．1－(α＋β)

C．1－α(1－β)  D．1－β(1－α)

【答案】B　显然P(ξ>x2)＝β，P(ξ<x1)＝α.由概率分布列的性质可知P(x1≤ξ≤x2)＝1－P(ξ>x2)－P(ξ<x1)＝1－α－β.

5．(多选)如果ξ是一个随机变量，则下列命题中的真命题有(　　)

A．ξ取每一个可能值的概率都是非负数

B．ξ取所有可能值的概率之和是1

C．ξ的取值与自然数一一对应

D．ξ的取值是实数

【答案】ABD　根据概率性质可得，ξ取每一个可能值的概率都是非负数，所以A正确；ξ取所有可能值的概率之和是1，所以B正确；ξ的取值是实数，不一定是自然数，所以C错误，D正确．故选A、B、D

6．(多选)下列说法正确的是(　　)

A．设随机变量X等可能取1,2,3，…，n，如果P(X＜4)＝0.3，则n＝10

B．若随机变量ξ的概率分布为P(ξ＝n)＝an(n＝0,1,2)，其中a是常数，则a＝

C．设离散型随机变量η服从两点分布，若P(η＝1)＝2P(η＝0)，则P(η＝0)＝

D．超几何分布的实质是古典概型问题

【答案】ACD　由题意知，对于A，P(X＜4)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝＝0.3，∴n＝10，故A正确；对于B，由P(ξ＝n)＝an(n＝0,1,2)，∴P(ξ＝0)＝a，P(ξ＝1)＝，P(ξ＝2)＝，∴a＋＋＝1，∴a＝，故B错误；对于C，∵P(η＝1)＝2P(η＝0)且P(η＝1)＋P(η＝0)＝1，∴P(η＝0)＝，故C正确；对于D，由超几何分布的定义可知，D正确．

7．(多选)一袋中有6个大小相同的黑球，编号为1,2,3,4,5,6，还有4个同样大小的白球，编号为7,8,9,10，现从中任取4个球，则下列结论中正确的是(　　)

A．取出的最大号码X服从超几何分布

B．取出的黑球个数Y服从超几何分布

C．取出2个白球的概率为

D．若取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，则总得分最大的概率为

【答案】BD　一袋中有6个大小相同的黑球，编号为1,2,3,4,5,6，还有4个同样大小的白球，编号为7,8,9,10，现从中任取4个球，

对于A，超几何分布取出某个对象的结果数不定，

也就是说超几何分布的随机变量为实验次数，即指某事件发生n次的试验次数，

由此可知取出的最大号码X不服从超几何分布，故A错误；

对于B，取出的黑球个数Y服从超几何分布，故B正确；

对于C，取出2个白球的概率为P＝＝，故C错误；

对于D，若取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，

则取出四个黑球的总得分最大，

即总得分最大的概率为P＝＝，故D正确．故选B、D.

8．某射击选手射击环数的分布列为

若射击不小于9环为优秀，其射击一次的优秀率为________．

解析：由分布列的性质得a＋b＝1－0.3－0.3＝0.4，故射击一次的优秀率为40%.

【答案】40%

9．已知随机变量X的概率分布列为

且依次成等差数列，则p2＝________，公差d的取值范围是________．

解析：由分布列的性质及等差数列的性质得p1＋p2＋p3＝3p2＝1，p2＝，

又即得－≤d≤.

【答案】　

10．长春市的“名师云课”活动自开展以来获得广大家长和学生的高度赞誉，在推出的第二季名师云课中，数学学科共计推出36节云课，为了更好地将课程内容呈现给学生，现对某一时段云课的点击量进行统计：

(1)现从36节云课中采用分层随机抽样的方式选出6节，求选出的点击量超过3 000的节数；

(2)为了更好地搭建云课平台，现将云课进行剪辑，若点击量在区间[0,1 000]内，则需要花费40 min进行剪辑，若点击量在区间(1 000,3 000]内，则需要花费20 min进行剪辑，若点击量超过3 000，则不需要剪辑，现从(1)中选出的6节课中随机取出2节课进行剪辑，求剪辑时间X的分布列．

解：(1)根据分层随机抽样可知，选出的6节课中点击量超过3 000的节数为×6＝2.

(2)由分层随机抽样可知，(1)中选出的6节课中点击量在区间[0,1 000]内的有1节，点击量在区间(1 000，3 000]内的有3节，点击量在区间(3 000，＋∞)内的有2节，故X的可能取值为0,20,40,60.

P(X＝0)＝＝，

P(X＝20)＝＝＝，

P(X＝40)＝＝＝，

P(X＝60)＝＝＝，

则X的分布列为

B级——综合应用

11．若随机变量X的分布列如下表所示，则a2＋b2的最小值为(　　)

A.  B．

C.  D.

【答案】B　由分布列的性质可得所以a2＋b2≥＝，当且仅当a＝b＝时取等号．故a2＋b2的最小值为.

12．一只袋内装有m个白球，n－m个黑球，连续不放回地从袋中取球，直到取出黑球为止，设此时取出了X个白球，下列概率等于的是(　　)

A．P(X＝3)  B．P(X≥2)

C．P(X≤3)  D．P(X＝2)

【答案】D　依题意知，是取了3次，所以取出白球应为2个．

13．(多选)某人参加一次测试，在备选的10道题中，他能答对其中的5道．现从备选的10道题中随机抽出3道题进行测试，规定至少答对2题才算合格．则下列选项正确的是(　　)

A．答对0题和答对3题的概率相同，都为

B．答对1题的概率为

C．答对2题的概率为

D．合格的概率为

【答案】CD　设此人答对题目的个数为ξ，则ξ＝0,1,2,3，P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝，

则答对0题和答对3题的概率相同，都为，故A错误；答对1题的概率为，故B错误；答对2题的概率为，故C正确；合格的概率P＝P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝＋＝，故D正确．故选C、D.

14．设离散型随机变量X的分布列为

则m＝______；随机变量Y＝2X＋1的分布列为______．

解析：由分布列的性质知，

0．2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，得m＝0.3.

首先列表为

从而Y＝2X＋1的分布列为

【答案】0.3　

15．从一批有10件合格品与3件次品的产品中，一件一件地抽取，设各件产品被抽取的可能性相同，在下列三种情况下，分别求出直到抽到合格品为止时所需抽取次数ξ的分布列：

(1)每次取出的产品不放回；

(2)每次取出的产品都放回，然后再取出一件产品；

(3)每次取出一件产品后都把一件合格品放回此批产品中．

解：(1)ξ的取值为1,2,3,4.

当ξ＝1时，即只取一次取到合格品，故P(ξ＝1)＝；

当ξ＝2时，即第一次取到次品，而第二次取到合格品，

故P(ξ＝2)＝×＝；

同理，有P(ξ＝3)＝××＝；

P(ξ＝4)＝×××＝.

所以，随机变量ξ的分布列为

(2)ξ的取值为1,2,3，…，n，…

当ξ＝1时，即只取一次取到合格品，故P(ξ＝1)＝；

当ξ＝2时，即第一次取到次品，而第二次取到合格品，

故P(ξ＝2)＝×；

当ξ＝3时，即第一、二次均取到次品，而第三次取到合格品，

故P(ξ＝3)＝××＝2×；

类似地，当ξ＝n时，即前n－1次均取到次品，而第n次取到合格品，

故P(ξ＝n)＝n－1·(n＝1,2,3，…)．

所以，随机变量ξ的分布列为

(3)ξ的取值为1,2,3,4.

当ξ＝1时，即只取一次取到合格品，故P(ξ＝1)＝；

当ξ＝2时，即第一次取到次品，而第二次取到合格品，注意第二次取时，这批产品中有11件合格品，2件次品，故P(ξ＝2)＝×＝；

类似地，有P(ξ＝3)＝××＝；

P(ξ＝4)＝×××＝.

所以，随机变量ξ的分布列为

C级——迁移创新

16．为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得－1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得－1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X.

(1)求X的分布列；

(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，pi(i＝0，1，…，8)表示“甲药的累计得分为i时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则p0＝0，p8＝1，pi＝api－1＋bpi＋cpi＋1(i＝1,2，…，7)，其中a＝P(X＝－1)，b＝P(X＝0)，c＝P(X＝1)．假设α＝0.5，β＝0.8.

①证明：{pi＋1－pi}(i＝0,1,2，…，7)为等比数列；

②求p4，并根据p4的值解释这种试验方案的合理性．

解：(1)X的所有可能取值为－1,0,1.

P(X＝－1)＝(1－α)β，P(X＝0)＝αβ＋(1－α)(1－β)，

P(X＝1)＝α(1－β)．

所以X的分布列为

(2)①证明：由(1)得a＝0.4，b＝0.5，c＝0.1，

因此pi＝0.4pi－1＋0.5pi＋0.1pi＋1，

故0.1(pi＋1－pi)＝0.4(pi－pi－1)，

即pi＋1－pi＝4(pi－pi－1)．

又因为p1－p0＝p1≠0，所以{pi＋1－pi}(i＝0,1,2，…，7)是公比为4，首项为p1的等比数列．

②由①可得

p8＝p8－p7＋p7－p6＋…＋p1－p0＋p0

＝(p8－p7)＋(p7－p6)＋…＋(p1－p0)＝p1.

由于p8＝1，故p1＝，

所以p4＝(p4－p3)＋(p3－p2)＋(p2－p1)＋(p1－p0)

＝p1＝.

p4表示最终认为甲药更有效的概率．由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5，乙药治愈率为0.8时，认为甲药更有效的概率为p4＝≈0.003 9，此时得出错误结论的概率非常小，说明这种试验方案合理．