23版新高考一轮分层练案(六十二)　离散型随机变量的数字特征与正态分布

这是一份23版新高考一轮分层练案(六十二)　离散型随机变量的数字特征与正态分布，共8页。试卷主要包含了若离散型随机变量X的分布列为，设离散型随机变量X的分布列为，下列说法中正确的是等内容，欢迎下载使用。

一轮分层练案(六十二)　离散型随机变量的数字特征与正态分布

A级——基础达标
1．若离散型随机变量X的分布列为
X
0
1
P



则X的均值E(X)等于(　　)
A．2　　　　　　　　　 B．2或
C. D．1
【答案】C　由题意知，解得a＝1，所以E(X)＝0×＋1×＝.故选C.
2．设袋中有两个红球一个黑球，除颜色不同，其他均相同，现有放回地抽取，每次抽取一个，记下颜色后放回袋中，连续摸三次，X表示三次中红球被摸中的次数，每个小球被抽取的几率相同，每次抽取相对独立，则方差D(X)＝(　　)
A．2 B．1
C. D.
【答案】C　每次取球时，取到红球的概率为、黑球的概率为，所以取出红球的概率服从二项分布，
即X～B，所以D(X)＝3××＝，故选C.
3．甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止，设甲在每局中获胜的概率为，乙在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数ξ的期望E(ξ)为(　　)
A. B．
C. D.
【答案】B　由已知，ξ的可能取值是2,4,6.设每两局比赛为一轮，则该轮比赛停止的概率为2＋2＝.若该轮结束时比赛还要继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下一轮比赛是否停止没有影响．所以P(ξ＝2)＝，P(ξ＝4)＝×＝，P(ξ＝6)＝1－P(ξ＝2)－P(ξ＝4)＝，所以E(ξ)＝2×＋4×＋6×＝.故选B.
4．设离散型随机变量X的分布列为
X
1
2
3
P
p1
p2
p3

则E(X)＝2的充要条件是(　　)
A．p1＝p2 B．p2＝p3
C．p1＝p3 D．p1＝p2＝p3
【答案】C　由离散型随机变量X的分布列知，当E(X)＝2时，
解得p1＝p3.
此时p1＋p2＋p3＝2p1＋p2＝1.
E(X)＝p1＋2p2＋3p3＝4p1＋2p2＝2.
故E(X)＝2的充要条件是p1＝p3.
5．(多选)设离散型随机变量X的分布列为
X
0
1
2
3
4
P
q
0.4
0.1
0.2
0.2

若离散型随机变量Y满足Y＝2X＋1，则下列结果正确的有(　　)
A．q＝0.1 B．E(X)＝2，D(X)＝1.4
C．E(X)＝2，D(X)＝1.8 D．E(Y)＝5，D(Y)＝7.2
【答案】ACD　由离散型随机变量X的分布列的性质得q＝1－0.4－0.1－0.2－0.2＝0.1，
E(X)＝0×0.1＋1×0.4＋2×0.1＋3×0.2＋4×0.2＝2，
D(X)＝(0－2)2×0.1＋(1－2)2×0.4＋(2－2)2×0.1＋(3－2)2×0.2＋(4－2)2×0.2＝1.8，
∵离散型随机变量Y满足Y＝2X＋1，
∴E(Y)＝2E(X)＋1＝5，
D(Y)＝4D(X)＝7.2.故选A、C、D.
6.(多选)甲、乙两类水果的质量(单位：kg)分别服从正态分布N(μ1，σ)，N(μ2，σ)，其正态分布密度曲线如图所示，则下列说法正确的是(　　)
A．甲类水果的平均质量为0.4 kg
B．甲类水果的质量分布比乙类水果的质量分布更集中于平均值左右
C．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小
D．σ2＝1.99
【答案】ABC　由图象可知甲的正态曲线关于直线x＝0.4对称，乙的正态曲线关于直线x＝0.8对称，所以μ1＝0.4，μ2＝0.8，故A正确，C正确；由图可知甲类水果的质量分布比乙类水果的质量分布更集中于平均值左右，故B正确；因为乙的正态曲线的峰值为1.99，即＝1.99，所以σ2≠1.99，故D错误．故选A、B、C.
7．(多选)下列说法中正确的是(　　)
A．设随机变量X服从二项分布B，则P(X＝3)＝
B．已知随机变量X服从正态分布N(2，σ2)且P(X＜4)＝0.9，则P(0＜X＜2)＝0.4
C．E(2X＋3)＝2E(X)＋3，D(2X＋3)＝2D(X)＋3
D．已知随机变量ξ满足P(ξ＝0)＝x，P(ξ＝1)＝1－x，若0＜x＜，则E(ξ)随着x的增大而减小，D(ξ)随着x的增大而增大
【答案】ABD　设随机变量X服从二项分布B，则P(X＝3)＝C33＝，A正确；
∵随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，∴正态曲线的对称轴是x＝2.∵P(X＜4)＝0.9，∴P(0＜X＜4)＝0.8，∴P(0＜X＜2)＝P(2＜X＜4)＝0.4，B正确；
E(2X＋3)＝2E(X)＋3，D(2X＋3)＝4D(X)，故C不正确；
由题意可知，E(ξ)＝1－x，D(ξ)＝x(1－x)＝－x2＋x，由一次函数和二次函数的性质知，当0＜x＜时，E(ξ)随着x的增大而减小，D(ξ)随着x的增大而增大，故D正确．
8．一个人将编号为1,2,3,4的四个小球随机放入编号为1,2,3,4的四个盒子中，每个盒子放一个小球，球的编号与盒子的编号相同时叫做放对了，否则叫做放错了．设放对的个数为ξ，则P(ξ＝4)＝______，ξ的期望值为________．
解析：将四个小球放入四个盒子，每个盒子放一个小球，共有A种不同放法，放对的个数ξ可取的值有0,1,2,4.其中，P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，
P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝4)＝＝，
所以E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋4×＝1.
【答案】　1
9．设离散型随机变量X可能的取值为1,2,3,4，P(X＝k)＝ak＋b，又X的数学期望为E(X)＝3，则a－b＝________.
解析：已知P(X＝k)＝ak＋b(k＝1,2,3,4)，∴(a＋b)＋(2a＋b)＋(3a＋b)＋(4a＋b)＝1，即10a＋4b＝1　①.
又∵X的数学期望E(X)＝3，∴(a＋b)＋2(2a＋b)＋3(3a＋b)＋4(4a＋b)＝3，即30a＋10b＝3　②.
由①②解得a＝，b＝0，∴a－b＝.
【答案】
10．“黄梅时节家家雨”“梅雨如烟暝村树”“梅雨暂收斜照明”……江南梅雨的点点滴滴都流润着浓烈的诗情．每年六、七月份，我国长江中下游地区进入持续25天左右的梅雨季节，如图是江南Q镇2011～2020年梅雨季节的降雨量(单位：mm)的频率分布直方图，试用样本频率估计总体概率，解答下列问题：

(1)“梅实初黄暮雨深”，假设每年的梅雨天气相互独立，求Q镇未来三年里至少有两年梅雨季节的降雨量超过350 mm的概率；
(2)“江南梅雨无限愁”，在Q镇承包了20亩土地种植杨梅的老李也在犯愁，他过去种植的甲品种杨梅，平均每年的总利润为28万元，而乙品种杨梅的亩产量m(单位：千克)与降雨量之间的关系如下面统计表所示，又知每千克乙品种杨梅的利润为32－0.01×m(单位：元)，请你帮助老李排解忧愁，他来年应该种植哪个品种的杨梅可以使总利润ξ(万元)的期望更大？(需说明理由)
降雨量/mm
[100,200)
[200,300)
[300,400)
[400,500]
亩产量/kg
500
700
600
400

解：(1)江南Q镇在梅雨季节的降雨量超过350毫米的概率为50×0.003＋0.001×100＝0.25.
所以Q镇未来三年里至少有两年梅雨季节的降雨量超过350毫米的概率为
C×2×＋C3＝＋＝.
(2)据题意，种植乙品种杨梅的总利润为20m(32－0.01m)元，其中m＝500,700,600,400.
所以随机变量ξ(万元)的分布列为
ξ
27
35
31.2
22.4
P
0.2
0.4
0.3
0.1
故种植乙品种杨梅的总利润ξ的数学期望E(ξ)＝27×0.2＋35×0.4＋31.2×0.3＋22.4×0.1＝5.4＋14.0＋9.36＋2.24＝31(万元)．
因为31>28，所以老李来年应该种植乙品种杨梅，可使总利润的期望更大．
B级——综合应用
11．一试验田某种作物一株生长果实个数x服从正态分布N(90，σ2)，且P(x<70)＝0.2，从试验田中随机抽取10株，果实个数在[90,110]的株数记作随机变量X，且X服从二项分布，则X的方差为(　　)
A．3 B．2.1
C．0.3 D．0.21
【答案】B　∵x～N(90，σ2)，且P(x<70)＝0.2，∴P(x>110)＝0.2，∴P(90≤x≤110)＝0.5－0.2＝0.3，
∴X～B(10,0.3)，X的方差为10×0.3×(1－0.3)＝2.1.
12．已知A，B两个不透明盒中各有除颜色外均相同的红球、白球若干个．A盒中有m个红球与(10－m)个白球，B盒中有(10－m)个红球与m个白球(0 A．3 B．5
C．7 D．9
【答案】B　由题意可得ξ＝0,1,2.
P(ξ＝0)＝×＝，p(ξ＝1)＝×＋＝，p(ξ＝2)＝.
ξ的分布列为
ξ
0
1
2
P




E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝1，
D(ξ)＝(0－1)2×＋(1－1)2×＋(2－1)2×＝≤×2＝，当且仅当m＝5时取等号．
故当D(ξ)取到最大值时，m的值为5.
13．(多选)已知随机变量X的取值为不大于n(n∈N*)的非负整数，它的概率分布列为
X
0
1
2
3
…
n
p
p0
p1
p2
p3
…
pn

其中pi(i＝0,1,2,3，…，n)满足pi∈[0,1]，且p0＋p1＋p2＋…＋pn＝1.定义由X生成的函数f(x)＝p0＋p1x＋p2x2＋p3x3＋…＋pixi＋…＋pnxn，g(x)为函数f(x)的导函数，E(X)为随机变量X的期望．现有一枚质地均匀的正四面体型骰子，四个面分别标有1,2,3,4个点数，这枚骰子连续抛掷两次，向下点数之和为X，此时由X生成的函数为f1(x)，则(　　)
A．E(X)＝g(2) B．f1(2)＝
C．E(X)＝g(1) D．f1(2)＝
【答案】CD　因为f(x)＝p0＋p1x＋p2x2＋p3x3＋…＋pixi＋…＋pnxn，
则g(x)＝f′(x)＝p1＋2p2x1＋3p3x2＋…＋ipixi－1＋…＋npnxn－1，
E(X)＝p1＋2p2＋3p3＋…＋ipi＋…＋npn，
令x＝1时，E(X)＝p1＋2p2＋3p3＋…＋ipi＋…＋npn＝g(1)，
故选项A错误，选项C正确；
连续抛掷两次骰子，向下点数之和为X，则X的分布列为
X
2
3
4
5
6
7
8
p








f1(x)＝x2＋x3＋x4＋x5＋x6＋x7＋x8，
f1(2)＝×22＋×23＋×24＋×25＋×26＋×27＋×28＝.故选项B错误，选项D正确．故选C、D.
14．某公司招聘员工需经过笔试和面试两个流程．已知笔试试卷包含5道选择题，每道题均有4个选项，但有且仅有1个选项正确，若甲答对每道题的概率都为0.7，则甲答对题目的个数ξ的方差D(ξ)＝________；若每答对1题得4分，答错1题扣1分，则甲在此次笔试中的成绩X的期望E(X)＝________.
解析：由题意易得，ξ～B(5,0.7)，X＝4ξ＋(5－ξ)×(－1)＝5ξ－5，则E(ξ)＝5×0.7＝3.5，D(ξ)＝5×0.7×0.3＝1.05，所以E(X)＝5E(ξ)－5＝12.5.
【答案】1.05　12.5
15．某公司为了扩大生产规模，欲在泉州、福州、广州、海口、北海(广西)、河内、吉隆坡、雅加达、科伦坡、加尔各答、内罗毕、雅典和威尼斯共13个城市中选择3个城市建设自己的工业厂房，根据这13个城市的需求量生产某产品，并将其销往这13个城市．
(1)求所选的3个城市中至少有1个在国内的概率；
(2)已知每间工业厂房的月产量为10万件，若一间厂房正常生产，则每月可获得利润100万；若一间厂房闲置，则该厂房每月亏损50万．该公司为了确定建设工业厂房的数目n(10≤n≤13，n∈N*)，统计了近5年来这13个城市中该产品的月需求量数据，得如下频数分布表：
月需求量(单位：万件)
100
110
120
130
月份数
6
24
18
12

若以每月需求量的频率代替每月需求量的概率，欲使该产品的每月总利润的数学期望达到最大，应建设工业厂房多少间？
解：(1)记事件A为“该公司所选的3个城市中至少有1个在国内”，
则P(A)＝1－P()＝1－＝，
∴所选的3个城市中至少有1个在国内的概率为.
(2)设该产品每月的总利润为Y，
①当n＝10时，产品可完全售出，故Y＝100×10＝1 000(万元)．
②当n＝11时，月需求量为100万件时，获利Y＝100×10－50＝950(万元)．
月需求量为110万件及以上时，获利Y＝100×11＝1 100(万元)．
P(Y＝950)＝＝0.1，
P(Y＝1 100)＝1－P(Y＝950)＝1－0.1＝0.9.
Y的分布列为
Y
950
1 100
P
0.1
0.9

∴E(Y)＝950×0.1＋1 100×0.9＝1 085(万元)．
③当n＝12时，
月需求量为100万件时，获利Y＝100×10－50×2＝900(万元)．
月需求量为110万件时，获利Y＝100×11－50＝1 050(万元)．
月需求量为120万件及以上时，获利Y＝100×12＝1 200(万元)．
P(Y＝900)＝＝0.1，P(Y＝1 050)＝＝0.4，
P(Y＝1 200)＝＝0.5.
Y的分布列为
Y
900
1 050
1 200
P
0.1
0.4
0.5

∴E(Y)＝900×0.1＋1 050×0.4＋1 200×0.5＝1 110(万元)．
④当n＝13时，
月需求量为100万件时，获利Y＝100×10－50×3＝850(万元)，
月需求量为110万件时，获利Y＝100×11－50×2＝1 000(万元)，
月需求量为120万件时，获利Y＝100×12－50＝1 150(万元)，
月需求量为130万件时，获利Y＝100×13＝1 300(万元)．
P(Y＝850)＝＝0.1，P(Y＝1 000)＝＝0.4，
P(Y＝1 150)＝＝0.3，P(Y＝1 300)＝＝0.2.
Y的分布列为
Y
850
1 000
1 150
1 300
P
0.1
0.4
0.3
0.2

∴E(Y)＝850×0.1＋1 000×0.4＋1 150×0.3＋1 300×0.2＝1 090(万元)．
综上，当n＝12时，E(Y)＝1 110(万元)最大，
∴欲使该产品的每月总利润的数学期望达到最大，应建设工业厂房12间．

C级——迁移创新

16．某农业大学蔬菜科研团队带领某地村民建起了有机、健康、高端、绿色的蔬菜基地，并策划“生产、运输、销售”一体化的直销供应模式．据统计，蔬菜种植基地将采摘的有机蔬菜以每份三斤称重并保鲜分装，以每份10元的价格销售到生鲜超市，每份15元的价格卖给顾客，如果当天前8小时卖不完，则超市通过促销以每份5元的价格卖给顾客(根据经验，当天能够把剩余的有机蔬菜都低价处理完毕，且处理完毕后，当天不再进货)．该生鲜超市统计了100天有机蔬菜在每天的前8
小时内的销售量(单位：份)，制成如下表格(注：x，y∈N*，且x＋y＝30)．若以100天记录的频率作为每日前8小时销售量发生的概率，该生鲜超市当天销售有机蔬菜利润的期望值为决策依据，若购进17份比购进18份的利润的期望值大，求x的最小值.
前8小时
内销售量
15
16
17
18
19
20
21
频数
10
x
16
16
15
13
y

解：若该超市一天购进17份这种有机蔬菜，Y1表示当天的利润(单位：元)，那么Y1的分布列为
Y1
65
75
85
P




Y1的数学期望E(Y1)＝65×＋75×＋85×＝，
若该超市一天购进18份这种有机蔬菜，Y2表示当天的利润(单位：元)，那么Y2的分布列为
Y2
60
70
80
90
P





Y2的数学期望E(Y2)＝60×＋70×＋80×＋90×＝，
∵购进17份比购进18份的利润的期望值大，
∴>，且x<30，
解得24 ∴x的最小值为25.