23版新高考一轮分层练案(六)　函数及其表示

一轮分层练案(六)　函数及其表示

A级——基础达标

1．函数y＝log2(2x－4)＋的定义域是(　　)

A．(2，3)    B．(2，＋∞)

C．(3，＋∞)    D．(2，3)∪(3，＋∞)

【答案】D　由题意，得解得x>2且x≠3，所以函数y＝log2(2x－4)＋的定义域为(2，3)∪(3，＋∞).

2．若二次函数g(x)满足g(1)＝1，g(－1)＝5，且图象过原点，则g(x)的解析式为(　　)

A．g(x)＝2x2－3x    B．g(x)＝3x2－2x

C．g(x)＝3x2＋2x    D．g(x)＝－3x2－2x

【答案】B　二次函数g(x)满足g(1)＝1，g(－1)＝5，且图象过原点，可设二次函数g(x)的解析式为g(x)＝ax2＋bx(a≠0)，可得解得a＝3，b＝－2，所以二次函数g(x)的解析式为g(x)＝3x2－2x.故选B.

3．已知函数f(x)＝且f(x0)＝3，则实数x0的值为(　　)

A．－1    B．1

C．－1或1    D．－1或－

【答案】C　由条件可知，当x0≥0时，f(x0)＝2x0＋1＝3，所以x0＝1；当x0<0时，f(x0)＝3x＝3，所以x0＝－1.所以实数x0的值为－1或1.

4．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，那么y＝x2，值域为{1，4}的“同族函数”共有(　　)

A．7个    B．8个

C．9个    D．10个

【答案】C　因为x2＝1和x2＝4，解得x＝±1和x＝±2，由“同族函数”的定义一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，所以要使y＝x2的值域为{1，4}，其定义域有9种可能性，分别为：{1，2}，{1，－2}，{－1，2}，{－1，－2}，{1，－1，2}，{1，－1，－2}，{1，－2，2}，{－1，－2，2}，{1，－1，－2，2}，故选C.

5．(多选)下列四组函数中，f(x)与g(x)相等的是(　　)

A．f(x)＝ln x2，g(x)＝2ln x

B．f(x)＝x，g(x)＝()2

C．f(x)＝x，g(x)＝

D．f(x)＝x，g(x)＝logaax(a>0且a≠1)

【答案】CD　对于A，f(x)的定义域为{x|x≠0}，g(x)的定义域为{x|x>0}，两个函数的定义域不相同，不是相等函数；

对于B，f(x)的定义域为R，g(x)的定义域为{x|x≥0}，两个函数的定义域不相同，不是相等函数；

对于C，g(x)＝＝x(x∈R)，两函数的定义域和对应关系相同，是相等函数；

对于D，g(x)＝logaax＝x，x∈R，两个函数的定义域和对应关系相同，是相等函数．

6．(多选)(必修第一册73页习题11题改编)如图所示是函数y＝f(x)的图象，图中x正半轴曲线与虚线无限接近但是永不相交，则以下描述正确的是(　　)

A．函数f(x)的定义域为[－4，4)

B．函数f(x)的值域为[0，＋∞)

C．此函数在定义域内是增函数

D．对于任意的y∈(5，＋∞)，都有唯一的自变量x与之对应

【答案】BD　对于A，由函数的图象可知，函数的定义域为[－4，0]∪[1，4)，故A错误；

对于B，由函数的图象可知，函数的值域为[0，＋∞)，故B正确；

对于C，函数在[－4，0]，[1，4)是增函数，结合图象可知，此函数在定义域内不是增函数，故C错误；

对于D，由函数的图象可知，对于任意的y∈(5，＋∞)，都有唯一的自变量x与之对应，故D正确．

故选B、D.

7．(多选)下列函数中，满足f(18x)＝18f(x)的是(　　)

A．f(x)＝|x|    B．f(x)＝x－|x|

C．f(x)＝x＋2    D．f(x)＝－2x

【答案】ABD　若f(x)＝|x|，则f(18x)＝|18x|＝18|x|＝18f(x)；若f(x)＝x－|x|，则f(18x)＝18x－|18x|＝18(x－|x|)＝18f(x)；若f(x)＝x＋2，则f(18x)＝18x＋2，而18f(x)＝18x＋18×2，故f(x)＝x＋2不满足f(18x)＝18f(x)；若f(x)＝－2x，则f(18x)＝－2×18x＝18×(－2x)＝18f(x).

8．已知函数f(x)＝5|x|，g(x)＝ax2－x(a∈R).若f(g(1))＝1，则a＝________．

解析：由已知条件可知f(g(1))＝f(a－1)＝5|a－1|＝1，

∴|a－1|＝0，得a＝1.

【答案】1

9．已知f(2x＋1)＝x2－2x，则f(3)＝________．

解析：令t＝2x＋1，∴x＝.

∴f(t)＝－2·＝(t2－2t＋1)－t＋1

＝t2－t＋，

∴f(x)＝x2－x＋.

∴f(3)＝×9－×3＋＝－1.

【答案】－1

10．已知函数f(x)＝

(1)求f(f(－2))的值；

(2)求不等式f(x)≥2的解集．

解：(1)根据函数f(x)＝可得f(－2)＝22＝4，则f(f(－2))＝f(4)＝4＋1＝5.

(2)由不等式f(x)≥2，可得①或②

解①得x≤－1，解②得x≥1，

故不等式的解集为(－∞，－1]∪[1，＋∞).

B级——综合应用

11．(必修第一册69页例7改编)汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1 L汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．下列叙述中正确的是(　　)

A．消耗1 L汽油，乙车最多可行驶5 km

B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多

C．甲车以80 km/h的速度行驶1 h，消耗10 L汽油

D．某城市机动车最高限速80 km/h.相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油

【答案】D　由题图可知当速度大于40 km/h时，乙车的燃油效率大于5 km/L，

∴当速度大于40 km/h时，消耗1 L汽油，乙车的行驶距离大于5 km，故A错误；

由题图可知当速度相同时，甲车的燃油效率最高，即当速度相同时，消耗1 L汽油，甲车的行驶路程最远，

∴以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最少，故B错误；

由题图可知当速度为80 km/h时，甲车的燃油效率为10 km/L，

即甲车行驶10 km时，耗油1 L，故行驶1 h，路程为80 km，燃油为8 L，故C错误；

由题图可知当速度小于80 km/h时，丙车的燃油效率大于乙车的燃油效率，

∴用丙车比用乙车更省油，故D正确．

12．若函数y＝f(x)的定义域为[0，2]，则函数g(x)＝的定义域是(　　)

A．[0，1)    B．[0，1]

C．[0，1)∪(1，4]    D．(0，1)

【答案】A　函数y＝f(x)的定义域是[0，2]，要使函数g(x)有意义，可得解得0≤x<1，故选A.

13．(多选)设函数f(x)的定义域为D，∀x∈D，∃y∈D，使得f(y)＝－f(x)成立，则称f(x)为“美丽函数”．下列所给出的函数中，是“美丽函数”的是(　　)

A．y＝x2    B．y＝

C．y＝ln (2x＋3)    D．y＝2x＋3

【答案】BCD　函数f(x)的定义域为D，∀x∈D，∃y∈D，使得f(y)＝－f(x)成立，所以函数f(x)的值域关于原点对称．

对于选项A，函数y＝x2的值域为[0，＋∞)，不关于原点对称，不符合题意；

对于选项B，函数y＝的值域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，符合题意；

对于选项C，函数y＝ln (2x＋3)的值域为R，关于原点对称，符合题意；

对于选项D，函数y＝2x＋3的值域为R，关于原点对称，符合题意．故选B、C、D.

14．已知函数f(x)＝若f(f(－2))>f(t)，则实数t的取值范围是________．

解析：f(－2)＝4，f(4)＝8，不等式f(f(－2))>f(t)可化为f(t)<8.当t<0时，－2t<8，得－4<t<0；当t≥0时，t2－2t<8，即(t－1)2<9，得0≤t<4.综上所述，t的取值范围是(－4，4).

【答案】(－4，4)

15．定义新运算“★”：当m≥n时，m★n＝m；当m<n时，m★n＝n2.设函数f(x)＝(2★x)x－(4★x)，x∈[1，4]，求函数f(x)的值域．

解：由题意知，f(x)＝

当x∈[1，2]时，f(x)∈[－2，0]；

当x∈(2，4]时，f(x)∈(4，60]，

故当x∈[1，4]时，f(x)∈[－2，0]∪(4，60].

C级——迁移创新

16．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数．例如：[－2.1]＝－3，[3.1]＝3，已知函数f(x)＝，求函数y＝[f(x)]的值域．

解：f(x)＝＝＝1＋，

∵2x＞0，∴1＋2x＞1，∴0＜＜1，

则0＜＜2，∴1＜1＋＜3，即1＜f(x)＜3，

当1＜f(x)＜2时，[f(x)]＝1，

当2≤f(x)＜3时，[f(x)]＝2.

综上，函数y＝[f(x)]的值域为{1，2}．