23版新高考一轮分层练案(三十六)　空间几何体及其表面积、体积

一轮分层练案(三十六)　空间几何体及其表面积、体积

A级——基础达标

1．如图是水平放置的某个三角形的直观图，D′是△A′B′C′中B′C′边的中点且A′D′∥y′轴，A′B′，A′D′，A′C′三条线段对应原图形中的线段AB，AD，AC，那么(　　)

A．最长的是AB，最短的是AC

B．最长的是AC，最短的是AB

C．最长的是AB，最短的是AD

D．最长的是AD，最短的是AC

【答案】C　由题中的直观图可知，A′D′∥y′轴，B′C′∥x′轴，根据斜二测画法的规则可知，在原图形中AD∥y轴，BC∥x轴，又因为D′为B′C′的中点，所以△ABC为等腰三角形，且AD为底边BC上的高，则有AB＝AC>AD成立．

2．在我国古代数学名著《数学九章》中有这样一个问题：“今有木长二丈四尺，围之五尺．葛生其下，缠本两周，上与木齐，问葛长几何？”意思是“圆木长2丈4尺，圆周长为5尺，葛藤从圆木的底部开始向上生长，绕圆木两周，刚好顶部与圆木平齐，问葛藤最少长多少尺？”(注：1丈等于10尺)，则这个问题中，葛藤长的最小值为(　　)

A．2丈4尺  B．2丈5尺

C．2丈6尺  D.2丈8尺

【答案】C　由题意，圆柱的侧面展开图是矩形，一条直角边(即木棍的高)长24尺，另一条直角边长5×2＝10(尺)，

因此葛藤长的最小值为＝26(尺)，即为2丈6尺．故选C.

3．正四棱锥V­ABCD的五个顶点在同一个球面上．若其底面边长为4，侧棱长为2，则此球的体积为(　　)

A．72π  B．36π

C．9π  D.

【答案】B　由题意知正四棱锥的高为＝4，设其外接球的半径为R，则R2＝(4－R)2＋(2)2，解得R＝3，所以外接球的体积为πR3＝π×33＝36π.故选B.

4．我国南北朝时期的科学家祖暅提出了计算体积的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异．”意思是“如果两个等高的几何体在等高处的水平截面的面积恒等，那么这两个几何体的体积相等”．利用此原理求以下几何体的体积，如图，曲线y＝x2(0≤y≤L)和直线y＝L围成的封闭图形绕y轴旋转一周得几何体Z，将Z放在与y轴垂直的水平面α上，用平行于平面α，且与Z的顶点O距离为l的平面截几何体Z，得截面圆的面积为π()2＝πl.由此构造右边的几何体Z1(三棱柱ABC­A1B1C1)，其中AC⊥平面α，BB1C1C∥α，EFPQ∥α，AC＝L，AA1⊂α，AA1＝π，Z1与Z在等高处的截面面积都相等，图中EFPQ和BB1C1C为矩形，且PQ＝π，FP＝l，则几何体Z1的体积为(　　)

A．πL2  B．πL3

C.πL2  D.πL3

【答案】C　由题意可知，在高为L处，几何体Z和Z1的水平截面面积相等，为πL，所以S矩形BB1C1C＝πL，所以BC＝L，所以V三棱柱ABC­A1B1C1＝S△ABC·π＝πL2，故选C.

5．(多选)等腰直角三角形的直角边长为1，现将该三角形绕其某一边旋转一周，则所形成的几何体的表面积可以为(　　)

A.π  B．(1＋)π

C．2π  D.(2＋)π

【答案】AB　如果绕直角边所在直线旋转，那么形成圆锥，圆锥底面半径为1，高为1，母线长就是直角三角形的斜边长，所以所形成的几何体的表面积S＝πrl＋πr2＝π×1×＋π×12＝(＋1)π；如果绕斜边所在直线旋转，那么形成的是同底的两个圆锥，圆锥的底面半径是直角三角形斜边的高，两个圆锥的母线长都是1，所以形成的几何体的表面积S＝2×πrl＝2×π××1＝π.综上可知，形成几何体的表面积是(＋1)π或π.故选A、B.

6．(多选)用一个平面截一个正方体，截得的截面可以是(　　)

A．三角形  B．四边形

C．五边形  D.六边形

【答案】ABCD　截面可以是三角形：等边三角形、等腰三角形、锐角三角形，不可能是直角三角形、钝角三角形，如图①，，选项A正确；截面可以是四边形：平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形、等腰梯形，截面为四边形时，这个四边形中至少有一组对边平行，如图②，

，，选项B正确；截面可以是五边形，截面为五边形时必有两组分别平行的边，同时有两个角相等，截面五边形不可能是正五边形，如图③，，选项C正确；截面可以是六边形，截面为六边形时必有三组分别平行的边，截面六边形可以是正六边形，如图④，，选项D正确．

7．(多选)已知A，B，C三点均在球O的表面上，AB＝BC＝CA＝2，且球心O到平面ABC的距离等于球半径的，则下列结论正确的是(　　)

A．球O的表面积为6π

B．球O的内接正方体的棱长为1

C．球O的外切正方体的棱长为

D．球O的内接正四面体的棱长为2

【答案】AD　设球O的半径为r，△ABC的外接圆圆心为O′，半径为R.易得R＝.因为球心O到平面ABC的距离等于球O半径的，所以r2－r2＝，得r2＝.所以球O的表面积S＝4πr2＝4π×＝6π，选项A正确；球O的内接正方体的棱长a满足a＝2r，显然选项B不正确；球O的外切正方体的棱长b满足b＝2r，显然选项C不正确；球O的内接正四面体的棱长c满足c＝r＝×＝2，选项D正确．

8．圆台上、下底面的圆周都在一个直径为10的球面上，其上、下底面半径分别为4和5，则该圆台的体积为________．

解析：截面图如图所示，因为圆台下底面半径为5，球的直径为10，则圆台的下底面为过球心的截面，OC＝OB＝5，O′C＝4，∠OO′C＝，则圆台的高为3，V＝h(S1＋＋S2)＝25π＋20π＋16π＝61π.

【答案】61 π

9．学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型．如图，该模型为长方体ABCD­A1B1C1D1挖去四棱锥O­EFGH后所得的几何体．其中O为长方体的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，AB＝BC＝6 cm，AA1＝4 cm.3D打印所用原料密度为0.9 g/cm3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为________g.

解析：由题知挖去的四棱锥的底面是一个菱形，对角线长分别为6 cm和4 cm，

故V挖去的四棱锥＝××4×6×3＝12(cm3)．

又V长方体＝6×6×4＝144(cm3)，

所以模型的体积为

V长方体－V挖去的四棱锥＝144－12＝132(cm3)，

所以制作该模型所需原料的质量为132×0.9＝118.8(g)．

【答案】118.8

10．某种“笼具”由内、外两层组成，无下底面，内层和外层分别是一个圆锥和圆柱，其中圆柱与圆锥的底面周长相等，圆柱有上底面，制作时需要将圆锥的顶端剪去，剪去部分和接头忽略不计，已知圆柱的底面周长为24π cm，高为30 cm，圆锥的母线长为20 cm.

(1)求这种“笼具”的体积(结果精确到0.1 cm3)；

(2)现要使用一种纱网材料制作50个“笼具”，该材料的造价为每平方米8元，共需多少元？

解：设圆柱的底面半径为r，高为h，圆锥的母线长为l，高为h1，

根据题意可知：

(1)2πr＝24π，r＝12 cm，h1＝＝16 cm，

所以“笼具”的体积V＝πr2h－πr2h1＝3 552π≈11 158.9 cm3.

(2)圆柱的侧面积S1＝2πrh＝720π cm2，圆柱的底面积S2＝πr2＝144π cm2，

圆锥的侧面积S3＝πrl＝240π cm2，所以“笼具”的表面积为1 104π cm2，

故造50个“笼具”的总造价为＝ (元)．

B级——综合应用

11．如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB⊥BC，AA1＝AC＝2，直线A1C与侧面AA1B1B所成的角为30°，则该三棱柱的侧面积为(　　)

A．4＋4　　　　　 　 B．4＋4

C．12  D.8＋4

【答案】A　连接A1B(图略)．因为AA1⊥底面ABC，则AA1⊥BC，又AB⊥BC，AA1∩AB＝A，

所以BC⊥平面AA1B1B，所以直线A1C与侧面AA1B1B所成的角为∠CA1B＝30°.又AA1＝AC＝2，所以A1C＝2，BC＝.又AB⊥BC，则AB＝，则该三棱柱的侧面积为2×2＋2×2＝4＋4.

12.如图所示，某几何体由底面半径和高均为5的圆柱与半径为5的半球对接而成，在该封闭几何体内部放入一个小圆柱体，且小圆柱体的上、下底面均与外层圆柱的底面平行，则小圆柱体积的最大值为(　　)

A.  B.

C．81π  D.128π

【答案】B　小圆柱的高分为上下两部分，上部分的高同大圆柱的高相等，为5，下部分深入底部半球内．设小圆柱下部分的高为h(0<h<5)，底面半径为r(0<r<5)．由于r，h和球的半径构成直角三角形，即r2＋h2＝52，所以小圆柱体积V＝πr2(h＋5)＝π(25－h2)(h＋5)(0<h<5)，求导得V′＝－π(3h－5)(h＋5)．当0<h<时，V′>0，体积V单调递增；当<h<5时，V′<0，体积V单调递减．所以当h＝时，小圆柱的体积取得最大值，即Vmax＝π××＝，故选B.

13．(多选)沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时．如图，某沙漏由上下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为8 cm，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的(细管长度忽略不计)．假设该沙漏每秒钟漏下0.02 cm3的沙，且细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆．以下结论正确的是(　　)

A．沙漏中的细沙体积为 cm3

B．沙漏的体积是128π cm3

C．细沙全部漏入下部后此锥形沙堆的高度约为2.4 cm

D．该沙漏的一个沙时大约是1 985秒(π≈3.14)

【答案】ACD　A．根据圆锥的截面图可知，细沙在上部时，细沙的底面半径与圆锥的底面半径之比等于细沙的高与圆锥的高之比，所以细沙的底面半径r＝×4＝ cm，所以体积V＝·πr2·＝··＝ (cm3)；

B．沙漏的体积V＝2××π×2×h＝2××π×42×8＝π (cm3)；

C．设细沙流入下部后的高度为h1，根据细沙体积不变可知，＝×π2×h1，

所以＝h1，所以h1≈2.4 cm；

D．因为细沙的体积为 cm3，沙漏每秒钟漏下0.02 cm3的沙，所以一个沙时为＝×50≈1 985(秒)．

故选A、C、D.

14．小张周末准备去探望奶奶，到商店买了一盒点心．为了美观起见，售货员用彩绳对点心盒做了一个捆扎(如图①所示)，并在角上配了一个花结．彩绳与长方体点心盒均相交于棱的四等分点处．设这种捆扎方法所用绳长为l1，一般的十字捆扎(如图②所示)所用绳长为l2.若点心盒的长、宽、高之比为2∶2∶1，则的值为________．

解析：∵点心盒的长、宽、高的比是2∶2∶1，

∴设点心盒的长、宽、高分别为4a,4a,2a，

由题意可得l1＝4×a＋4×2a＝12a，

l2＝4×4a＋4×2a＝24a，

∴＝＝.

【答案】

15．(1)已知直四棱柱ABCD­A1B1C1D1的棱长均为2，∠BAD＝60°.以D1为球心，为半径的球面与侧面BCC1B1相交，求交线的长度；

(2)已知三棱锥P­ABC的棱AP，AB，AC两两垂直，且长度都为，以顶点P为球心，2为半径作一个球，求球面与三棱锥的表面相交所得到的四段弧的长度之和．

解：(1)如图①，设B1C1的中点为E，球面与棱BB1，CC1的交点分别为P，Q，连接DB，D1B1，D1P，D1E，EP，EQ，由∠BAD＝60°，AB＝AD，知△ABD为等边三角形，∴D1B1＝DB＝2，∴△D1B1C1为等边三角形，则D1E＝，且D1E⊥平面BCC1B1，∴E为球面截侧面BCC1B1所得截面圆的圆心，设截面圆的半径为r，则r＝＝＝.

又由题可得EP＝EQ＝，∴球面与侧面BCC1B1的交线为以E为圆心的圆弧PQ.

又D1P＝，∴B1P＝＝1，同理C1Q＝1，∴P，Q分别为BB1，CC1的中点，∴∠PEQ＝，

知的长为×＝π.

(2)如图②所示，由题意知Rt△PAC，Rt△PAB为等腰直角三角形，且AP＝AB＝AC＝.

以顶点P为球心，2为半径作一个球，设球P与Rt△PAC的边PC，AC分别交于点M，N，与AB，PB分别交于点H，G，

易得cos∠APN＝，所以∠APN＝，

AN＝AP·tan＝1，

所以∠NPM＝，所以弧MN的长l＝×2＝.

同理l＝，

易知AH＝AN＝1，∠HAN＝，则l＝×1＝.

又易知弧GM的长是以顶点P为圆心，2为半径的圆的周长的，

所以l＝＝，

所以球面与三棱锥的表面相交所得到的四段弧的长度之和为＋＋＋＝＝.

C级——迁移创新

16．瑞士数学家、物理学家欧拉发现任一凸多面体(即多面体内任意两点的连线都被完全包含在该多面体中，直观上讲是指没有凹陷或孔洞的多面体)的顶点数V、棱数E及面数F满足等式V－E＋F＝2，这个等式称为欧拉多面体公式，被认为是数学领域最漂亮、简洁的公式之一，现实生活中存在很多奇妙的几何体，现代足球的外观即取自一种不完全正多面体，它是由m块黑色正五边形面料和32－m块白色正六边形面料构成的．根据欧拉多面体公式求m的值．

解：依题意，设足球顶点数V、棱数E及面数F，则F＝m＋32－m＝32，

每条棱被两个面公用，故棱数E＝＝，

每个顶点被3条棱公用，故顶点数V＝＝，

由V－E＋F＝2，得－＋32＝2，解得m＝12.