23版新高考一轮分层练案(三十三)　平面向量基本定理及坐标表示

一轮分层练案(三十三)　平面向量基本定理及坐标表示

A级——基础达标

1．已知平面向量a＝(k，2)，b＝(1，1)，k∈R，则k＝2是a与b同向的(　　)

A．充分不必要条件    B．必要不充分条件

C．充要条件    D．既不充分也不必要条件

【答案】C　若a与b同向，则a＝mb(m>0)，即(k，2)＝m(1，1)，

则得m＝2，k＝2，

即k＝2是a与b同向的充要条件，故选C.

2．已知点A(8，－1)，B(1，－3)，若点C(2m－1，m＋2)在线段AB上，则实数m＝(　　)

A．－12    B．13

C．－13    D．12

【答案】C　因为点C在线段AB上，所以与同向．又＝(－7，－2)，＝(2m－9，m＋3)，

故＝，解得m＝－13.故选C.

3．已知平面直角坐标系内的两个向量a＝(1，2)，b＝(m，3m－2)，且平面内的任一向量c都可以唯一的表示成c＝λa＋μb(λ，μ为实数)，则实数m的取值范围是(　　)

A．(－∞，2)    B．(2，＋∞)

C．R    D．(－∞，2)∪(2，＋∞)

【答案】D　由题意知向量a，b不共线，

故2m≠3m－2，即m≠2.

4．已知向量m＝与向量n＝(3，sin A＋cos A)共线，其中A是△ABC的内角，则角A的大小为(　　)

A．    B．

C．    D．

【答案】C　∵m∥n，

∴sin A(sin A＋cos A)－＝0，

∴2sin2A＋2sinA cos A＝3，

∴1－cos 2A＋sin 2A＝3，

∴sin ＝1，

∵A∈(0，π)，

∴2A－∈.

∴2A－＝，解得A＝，故选C.

5．(多选)设O是平行四边形ABCD的两条对角线AC，BD的交点，则可作为这个平行四边形所在平面的一组基底的向量组是(　　)

A．与    B．与

C．与    D．与

解析：选AC　平面内任意两个不共线的向量都可以作为基底，如图所示，对于A，与不共线，可作为基底；对于B，与为共线向量，不可作为基底；对于C，与是两个不共线的向量，可作为基底；对于D，与在同一直线上，是共线向量，不可作为基底．

6．(多选)已知向量＝(1，－3)，＝(2，－1)，＝(m＋1，m－2)，若点A，B，C能构成三角形，则实数m可以是(　　)

A．－2    B．

C．1    D．－1

【答案】ABD　若A，B，C三点不共线即可构成三角形．因为＝－＝(2，－1)－(1，－3)＝(1，2)，＝－＝(m＋1，m－2)－(1，－3)＝(m，m＋1).假设A，B，C三点共线，则1×(m＋1)－2m＝0，即m＝1.所以只要m≠1，则A，B，C三点即可构成三角形，故选A、B、D.

7．(多选)设a是已知的平面向量且a≠0，关于向量a的分解，有如下四个命题(向量b，c和a在同一平面内且两两不共线)，则真命题是(　　)

A．给定向量b，总存在向量c，使a＝b＋c

B．给定向量b和c，总存在实数λ和μ，使a＝λb＋μc

C．给定单位向量b和正数μ，总存在单位向量c和实数λ，使a＝λb＋μc

D．给定正数λ和μ，总存在单位向量b和单位向量c，使a＝λb＋μc

【答案】AB　因为向量b，c和a在同一平面内且两两不共线，所以b≠0，c≠0，给定向量a和b，只需求得其向量差a－b，即为所求的向量c，故总存在向量c，使a＝b＋c，故A正确；

当向量b，c和a在同一平面内且两两不共线时，向量{b，c}可作基底，由平面向量基本定理可知a＝λb＋μc成立，故B正确；

取a＝(4，4)，μ＝2，b＝(1，0)，无论λ取何值，向量λb都平行于x轴，而向量μc的模恒等于2，要使a＝λb＋μc成立，根据平行四边形法则，向量μc的纵坐标一定为4，故找不到这样的单位向量c使等式成立，故C错误；

因为λ和μ为正数，所以λb和μc代表与原向量同向的且有固定长度的向量，这就使得向量a不一定能用两个单位向量的组合表示出来，故不一定能使a＝λb＋μc成立，故D错误．故选A、B.

8．设向量a＝(1，2)，b＝(2，3)，若向量λa＋b与向量c＝(－4，－7)共线，则λ＝________．

解析：因为a＝(1，2)，b＝(2，3)，

所以λa＋b＝(λ，2λ)＋(2，3)＝(λ＋2，2λ＋3).

因为向量λa＋b与向量c＝(－4，－7)共线，

所以－7(λ＋2)＋4(2λ＋3)＝0，解得λ＝2.

【答案】2

9．已知＝(2，0)，＝(0，2)，＝t，t∈R，当||最小时，t＝________．

解析：由＝t，可得－＝t(－)，

从而可得＝t＋(1－t)＝(2－2t，2t)，

则||2＝(2－2t)2＋(2t)2＝8t2－8t＋4＝8＋2，

所以当t＝时，||最小，且为，故t＝.

【答案】

10．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(1，1)，B(2，3)，C(3，2)，点P(x，y)在△ABC三边围成的区域(含边界)上．若＋＋＝0，则||________；设＝m＋n(m，n∈R)，则m－n＝________(用x，y表示).

解析：∵＋＋＝0，＋＋＝(1－x，1－y)＋(2－x，3－y)＋(3－x，2－y)＝(6－3x，6－3y)，

∴解得

即＝(2，2)，故||＝2.

∵＝m＋n，＝(1，2)，＝(2，1).

∴(x，y)＝(m＋2n，2m＋n)，

即两式相减，得m－n＝y－x.

【答案】2　y－x

B级——综合应用

11.给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为90°，如图所示，点C在以O为圆心的圆弧上运动，若＝x＋y，其中x，y∈R，则x＋y的最大值是(　　)

A．1    B．

C．    D．2

【答案】B　因为点C在以O为圆心的圆弧上，所以||2＝|x＋y|2＝x2＋y2＋2xy·＝x2＋y2，所以x2＋y2＝1，则2xy≤x2＋y2＝1.

又(x＋y)2＝x2＋y2＋2xy≤2，

故x＋y的最大值为.

12．已知非零不共线向量，，若2＝x＋y，且＝λ(λ∈R)，则点Q(x，y)的轨迹方程是(　　)

A．x＋y－2＝0    B．2x＋y－1＝0

C．x＋2y－2＝0    D．2x＋y－2＝0

【答案】A　由＝λ，得－＝λ(－)，即＝(1＋λ)－λ.

又2＝x＋y，所以

消去λ得x＋y－2＝0，故选A.

13．(多选)已知向量e1，e2是平面α内的一组基向量，O为α内的定点，对于α内任意一点P，当＝xe1＋ye2时，则称有序实数对(x，y)为点P的广义坐标．若点A，B的广义坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，关于下列命题正确的是(　　)

A．线段AB的中点的广义坐标为

B．A，B两点间的距离为

C．向量平行于向量的充要条件是x1y2＝x2y1

D．向量垂直于的充要条件是x1x2＋y1y2＝0

【答案】AC　由中点坐标公式知A正确；

只有在e1，e2互相垂直时，两点间的距离公式B才正确，B错误；

由向量平行的充要条件得C正确；

只有e1，e2互相垂直时，与垂直的充要条件为x1x2＋y1y2＝0，D错误．

故选A、C.

14．已知平面向量a，b，c满足|a|＝|b|＝|a－b|＝|a＋b－c|＝1，则|c|的最大值M＝________，|c|的最小值m＝________．

解析：因为|a|＝|b|＝|a－b|＝1，所以a，b，a－b可构成等边三角形，且|a＋b|＝，因为|a＋b－c|＝1，所以如图所示，c的终点在以a＋b的终点为圆心、半径为1的圆上，故M＝＋1，m＝－1.

【答案】＋1　－1

15．在平面直角坐标系xOy中，已知点P在曲线Γ：y＝ (x≥0)上，曲线Γ与x轴相交于点B，与y轴相交于点C，点D(2，1)和点E(1，0)满足＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ的最小值为________．

解析：设P(x，y)，由已知及＝λ＋μ，得(2，1)＝λ(1，－1)＋μ(x，y)，所以解得λ＝，μ＝，所以λ＋μ＝.由于点P在曲线y＝ (x≥0)上，不妨设x＝2cos α，y＝sin α，其中0≤α≤，则λ＋μ＝＝，令f(α)＝，则f′(α)＝>0，所以f(α)在上单调递增，故当α＝0时，f(α)取得最小值，且最小值为f(0)＝，即当P为(2，0)时，λ＋μ取得最小值.

【答案】

C级——迁移创新

16．将向量列a1＝(x1，y1)，a2＝(x2，y2)，…，an＝(xn，yn)组成的系列称为向量列{an }，并记向量列{an }的前n项和为Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an，如果一个向量列从第二项起每一项与前一项的和都等于同一个向量p，那么称这样的向量列为等和向量列．若a1＝(1，0)，p＝(1，1)，则下列向量中与向量S31垂直的是(　　)

A．(16，15)    B．(31，30)

C．(－15，16)    D．(－16，15)

【答案】C　根据等和向量列的概念，知an＋1＝p－an，

故a2＝(1，1)－(1，0)＝(0，1)，a3＝p－a2＝(1，1)－(0，1)＝(1，0)，

故奇数项都为(1，0)，偶数项都为(0，1).

故S31＝(a1＋a3＋…＋a31)＋(a2＋a4＋…＋a30)＝(16，0)＋(0，15)＝(16，15).

注意到(16，15)·(－15，16)＝0可知，C选项正确．故选C.