23版新高考一轮分层练案(三十四)　平面向量的数量积及平面向量的应用

一轮分层练案(三十四)　平面向量的数量积及平面向量的应用

A级——基础达标

1．已知|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为，那么|4a－b|＝(　　)

A．2    B．6

C．2    D．12

【答案】C　|4a－b|2＝16a2＋b2－8a·b＝16×1＋4－8×1×2×cos ＝12.所以|4a－b|＝2.

2．a，b为平面向量，已知a＝(2，4)，a－2b＝(0，8)，则a，b夹角的余弦值等于(　　)

A．－    B．－

C．    D．

【答案】B　∵a＝(2，4)，a－2b＝(0，8)，

∴b＝[a－(a－2b)]＝(1，－2)，∴a·b＝2－8＝－6.设a，b的夹角为θ，∵a·b＝|a||b|·cos θ＝2×cos θ＝10cos θ，∴10cos θ＝－6，∴cos θ＝－，故选B.

3．已知向量a＝(1，2)，b＝(2，－3).若向量c满足(a＋c)∥b，c⊥(a＋b)，则c＝(　　)

A．    B．

C．    D．

【答案】D　设c＝(m，n)，则a＋c＝(1＋m，2＋n)，a＋b＝(3，－1)，

因为(a＋c)∥b，则有－3(1＋m)＝2(2＋n)，

即3m＋2n＝－7，又c⊥(a＋b)，则有3m－n＝0，

联立解得

所以c＝.

4．如图，在直角梯形ABCD中，AB＝4，CD＝2，AB∥CD，AB⊥AD，E是BC的中点，则·(＋)＝(　　)

A．8    B．12

C．16    D．20

【答案】D　法一：设＝a，＝b，则a·b＝0，a2＝16，＝＋＝b＋a，＝(＋)＝＝a＋b，所以·(＋)＝a·＝a·＝a2＋a·b＝a2＝20，故选D.

法二：以A为坐标原点建立平面直角坐标系(如图所示)，设AD＝t(t>0)，则B(4，0)，C(2，t)，E，所以·(＋)＝(4，0)·＝(4，0)·＝20，故选D.

5．(多选)已知平面向量a＝(3，4)，b＝(7，1)，则下列结论正确的是(　　)

A．a＋b＝(10，5)    B．|b|＝10|a|

C．a∥(a－b)    D．a与b的夹角为45°

【答案】AD　根据向量的坐标运算易知A选项正确；因为|b|＝5，|a|＝5，所以B选项错误；因为a－b＝(－4，3)，3×3≠4×(－4)，所以C选项错误；因为cos 〈a，b〉＝＝＝，所以a与b的夹角为45°，所以D选项正确．

6．(多选)设a，b是两个非零向量．则下列命题为假命题的是(　　)

A．若|a＋b|＝|a|－|b|，则a⊥b

B．若a⊥b，则|a＋b|＝|a|－|b|

C．若|a＋b|＝|a|－|b|，则存在实数λ，使得b＝λa

D．若存在实数λ，使得b＝λa，则|a＋b|＝|a|－|b|

【答案】ABD　对于A，若|a＋b|＝|a|－|b|，

则|a|2＋|b|2＋2a·b＝|a|2＋|b|2－2|a||b|，

得a·b＝－|a||b|≠0，所以a与b不垂直，所以A为假命题；

对于B，由A解析可知，若a⊥b，则|a＋b|≠|a|－|b|，所以B为假命题；

对于C，若|a＋b|＝|a|－|b|，

则|a|2＋|b|2＋2a·b＝|a|2＋|b|2－2|a||b|，

得a·b＝－|a||b|，则cos θ＝－1，

则a与b反向，因此存在实数λ，使得b＝λa，所以C为真命题；

对于D，若存在实数λ，使得b＝λa，

则a·b＝λ|a|2，－|a||b|＝－|λ||a|2，

由于λ不能等于0，

因此a·b≠－|a||b|，则|a＋b|≠|a|－|b|，

所以D为假命题．

故选A、B、D.

7．(多选)设a，b，c是任意的非零平面向量，且相互不共线，则下列命题中的真命题是(　　)

A．(a·b)c－(c·a)b＝0

B．|a|－|b|＜|a－b|

C．(b·c)a－(a·c)b与c垂直

D．(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2

【答案】BCD　由于b，c是不共线的向量，因此(a·b)c与(c·a)b相减的结果应为向量，故A错误；由于a，b不共线，故a，b，a－b构成三角形，故B正确；由于[(b·c)a－(c·a)b]·c＝(b·c)(a·c)－(c·a)(b·c)＝0，故C中两向量垂直，故C正确；根据向量数量积的运算可以得出D是正确的．故选B、C、D.

8．如图所示，一个物体被两根轻质细绳拉住，且处于平衡状态，已知两条绳上的拉力分别是F1，F2，且F1，F2与水平夹角均为45°，|F1|＝|F2|＝10 N，则物体的重力大小为________N.

解析：如图，∵|F1|＝|F2|＝10 N，

∴|F1＋F2|＝10× ＝20(N)，

∴物体的重力大小为20 N.

【答案】20

9．已知向量a，b，其中|a|＝，|b|＝2，且(a－b)⊥a，则向量a和b的夹角是________，a·(a＋b)＝________．

解析：由题意，设向量a，b的夹角为θ.因为|a|＝，|b|＝2，且(a－b)⊥a，所以(a－b)·a＝|a|2－a·b＝|a|2－|a||b|cos θ＝3－2·cos θ＝0，解得cos θ＝.又因为0≤θ≤π，所以θ＝.则a·(a＋b)＝|a|2＋|a||b|·cos θ＝3＋2×＝6.

【答案】　6

10．已知向量a＝(cos x，sin x)，b＝(3，－)，x∈[0，π].

(1)若a∥b，求x的值；

(2)记f(x)＝a·b，求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值．

解：(1)因为a＝(cos x，sin x)，b＝(3，－)，a∥b，

所以－cos x＝3sin x.

若cos x＝0，则sin x＝0，与sin2x＋cos2x＝1矛盾，

故cosx≠0，于是tan x＝－.

又x∈[0，π]，所以x＝.

(2)f(x)＝a·b＝(cos x，sin x)·(3，－)

＝3cos x－sin x＝2cos .

因为x∈[0，π]，所以x＋∈，

从而－1≤cos ≤.

所以，当x＋＝，即x＝0时，f(x)取得最大值3；

当x＋＝π，即x＝时，f(x)取得最小值－2.

B级——综合应用

11．已知向量a＝(sin θ，)，b＝(1，cos θ)，|θ|≤，则|a－b|的最大值为(　　)

A．2    B．

C．3    D．5

【答案】B　由已知可得|a－b|2＝(sin θ－1)2＋(－cos θ)2＝5－4sin .因为|θ|≤，所以0≤θ＋≤，所以当θ＝－时，|a－b|2的最大值为5－0＝5，故|a－b|的最大值为.

12．已知非共线向量与满足·＝0，且||＝||，则△ABC为(　　)

A．等腰非等边三角形    B．直角三角形

C．等边三角形    D．三边均不相等的三角形

【答案】A　不妨设＝＋，即为∠BAC角平分线所在直线上的向量，

又⊥，∴AB＝AC，又||＝||≠||，所以△ABC为等腰非等边三角形，故选A.

13．(多选)如图，已知△ABC的外接圆圆心为O，半径为2，＋＋＝0，且||＝||，下列结论正确的是(　　)

A．在方向上的投影长为－

B．·＝·

C．在方向上的投影长为

D．·＝·

【答案】BCD　由＋＋＝0得＝－＝，所以四边形OBAC为平行四边形．又O为△ABC外接圆的圆心，所以||＝||，又||＝||，所以△OAB为正三角形．因为△ABC的外接圆半径为2，所以四边形OBAC是边长为2的菱形，所以∠ACB＝，所以在上的投影长为||cos ＝2×＝，故C正确；因为·＝·＝－2，·＝·＝2，故B、D正确．

14．已知|a|＝2|b|≠0，且关于x的函数f(x)＝x3＋|a|x2＋a·bx在R上有极值，则向量a与b的夹角θ的范围是__________．

解析：∵f(x)＝x3＋|a|x2＋a·bx，∴f′(x)＝x2＋|a|x＋a·b.∵函数f(x)在R上有极值，∴方程x2＋|a|x＋a·b＝0有两个不同的实数根，即Δ＝|a|2－4a·b＞0，∴a·b＜，又|a|＝2|b|≠0，∴cos θ＝＜＝，即cos θ＜，又θ∈[0，π]，∴θ∈.

【答案】＜θ≤π

15．已知向量m＝(sin x，－1)，n＝，函数f(x)＝m2＋m·n－2.

(1)求f(x)的最大值，并求f(x)取最大值时x的取值集合；

(2)已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，角B为锐角，且f(B)＝1，b＝，若满足条件的△ABC仅有一解，求a的取值范围．

解：(1)由题意可知f(x)＝m2＋m·n－2＝sin2x＋1＋sinx cos x＋－2＝sin 2x＋－＝sin ，因此f(x)max＝1，

所以当2x－＝＋2kπ(k∈Z)，即x＝＋kπ(k∈Z)时取得最大值，即f(x)取最大值时x的取值集合为.

(2)因为0＜B＜，所以－＜2B－＜π，

又因为f(B)＝sin ＝1，

所以2B－＝，即B＝，

又由正弦定理可得＝＝＝2，

所以sin A＝，

因为符合题意的△ABC仅有一解，

所以0＜sin A≤或sin A＝1，

即0＜≤或＝1，

解得0＜a≤或a＝2.

C级——迁移创新

16．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知向量a＝(－1，2)，又点A(8，0)，B(n，t)，C(k sin θ，t).

(1)若⊥a，且||＝||，求向量；

(2)若向量与向量a共线；当k＞4，且t sin θ取最大值4时，求·.

解：(1)由题设知＝(n－8，t)，

∵⊥a，∴8－n＋2t＝0.

又∵||＝||，∴5×64＝(n－8)2＋t2＝5t2，得t＝±8.

当t＝8时，n＝24；当t＝－8时，n＝－8，

∴＝(24，8)或＝(－8，－8).

(2)由题设知＝(k sin θ－8，t)，

∵与a共线，∴t＝－2k sin θ＋16，

t sin θ＝(－2k sin θ＋16)sin θ＝－2k＋.

∵k＞4，∴0＜＜1，

∴当sin θ＝时，t sin θ取得最大值.

由＝4，得k＝8，此时θ＝，＝(4，8)，

∴·＝(8，0)·(4，8)＝32.