23版新高考一轮分层练案(三十五)　复数

一轮分层练案(三十五)　复数

A级——基础达标

1．已知复数z满足(1＋i)z＝2，则复数z的虚部为(　　)

A．1    B．－1

C．i    D．－i

【答案】B　∵(1＋i)z＝2，∴z＝＝＝1－i，则复数z的虚部为－1.故选B.

2．已知复数z＝，则z的共轭复数为(　　)

A．1＋i    B．1－i

C．2＋2i    D．－i

【答案】B　∵复数z＝＝＝＝1＋i，∴复数z的共轭复数＝1－i.故选B.

3．设z＝＋2i，则|z|＝(　　)

A．0    B．

C．1    D．

【答案】C　∵z＝＋2i＝＋2i＝＋2i＝i，∴|z|＝1.故选C.

4．已知(1＋i)·z＝i(i是虚数单位)，那么复数z在复平面内对应的点位于(　　)

A．第一象限    B．第二象限

C．第三象限    D．第四象限

【答案】A　因为z＝＝＋i，所以复数z在复平面内对应的点为，在第一象限，故选A.

5．(多选)设z1，z2，z3为复数，z1≠0，下列命题中正确的是(　　)

A．若|z2|＝|z3|，则z2＝±z3

B．若z1z2＝z1z3，则z2＝z3

C．若2＝z3，则|z1z2|＝|z1z3|

D．若z1z2＝|z1|2，则z1＝z2

【答案】BC　设z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i，z3＝a3＋b3i，若|z2|＝|z3|，则 ＝，此时z2＝±z3不一定成立，故A错误；

若z1z2＝z1z3，则z1(z2－z3)＝0，又因z1≠0，所以z2＝z3，故B正确；

若2＝z3，则a2＝a3，b2＝－b3，

所以|z1z2|＝

＝.

|z1z3|＝

＝

＝.

所以|z1z2|＝|z1z3|，故C正确；

当z2＝1时，z1z2＝|z1|2，此时z1＝z2不一定成立，故D错误．

6．(多选)下列命题正确的是(　　)

A．若复数z1，z2的模相等，则z1，z2是共轭复数

B．z1，z2都是复数，若z1＋z2是虚数，则z1不是z2的共轭复数

C．复数z是实数的充要条件是z＝(是z的共轭复数)

D．已知复数z＝x＋yi(x，y∈R)且|z－2|＝，则的最大值为

【答案】BCD　对于A，z1和z2可能是相等的复数，故A错误；对于B，若z1和z2是共轭复数，则相加为实数，不会为虚数，故B正确；对于C，由a＋bi＝a－bi得b＝0，故C正确；对于D，∵|z－2|＝＝，∴(x－2)2＋y2＝3，表示如图所示的圆．由图可知＝＝.

7．(多选)已知i为虚数单位，则下列结论正确的是(　　)

A．复数z＝的虚部为

B．复数z＝的共轭复数＝－5－2i

C．复数z＝－i在复平面内对应的点位于第二象限

D．复数z满足∈R，则z∈R

【答案】ABD　对于A，z＝＝＝－＋i，其虚部为，故A正确；对于B，z＝＝(2＋5i)i＝－5＋2i，故＝－5－2i，故B正确；对于C，z＝－i，在复平面内对应点的坐标为，位于第四象限，故C不正确；对于D，设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝＝，又∈R，得b＝0，所以z＝a∈R，故D正确．

8．复数|1＋i|＋＝________．

解析：原式＝＋＝＋＝＋i－＝i.

【答案】 i

9．(必修第二册81页习题7题改编)若1＋i是关于x的实系数方程x2＋bx＋c＝0的一个复数根，则b＝______，c＝________．

解析：∵实系数一元二次方程x2＋bx＋c＝0的一个虚根为1＋i，∴其共轭复数1－i也是方程的根．

由根与系数的关系知

∴b＝－2，c＝3.

【答案】－2　3

10．已知复数z＝bi(b∈R)，是实数，i是虚数单位．

(1)求复数z；

(2)若复数(m＋z)2所表示的点在第一象限，求实数m的取值范围．

解：(1)因为z＝bi(b∈R)，

所以＝＝

＝＝＋i.

又因为是实数，所以＝0，

所以b＝－2，即z＝－2i.

(2)因为z＝－2i，m∈R，

所以(m＋z)2＝(m－2i)2＝m2－4mi＋4i2

＝(m2－4)－4mi，

又因为复数(m＋z)2所表示的点在第一象限，

所以解得m<－2，

即m∈(－∞，－2).

B级——综合应用

11．若复数z＝(i是虚数单位)在复平面内对应的点在第一象限，则实数a的取值范围是(　　)

A．(－∞，－1)    B．(1，＋∞)

C．(－1，1)    D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)

【答案】C　由题意得

z＝＝＝，

因为z在复平面内对应的点在第一象限，

所以所以－1<a<1.故选C.

12．△ABC的三个顶点对应的复数分别为z1，z2，z3，若复数z满足|z－z1|＝|z－z2|＝|z－z3|，则z对应的点为△ABC的(　　)

A．内心    B．垂心

C．重心    D．外心

【答案】D　由几何意义知，复数z对应的点到△ABC的三个顶点距离相等，z对应的点是△ABC的外心．

13．(多选)设z1，z2是复数，则下列命题中的真命题是(　　)

A．若|z1－z2|＝0，则1＝2

B．若z1＝2，则1＝z2

C．若|z1|＝|z2|，则z1·1＝z2·2

D．若|z1|＝|z2|，则z＝z

【答案】ABC　对于A，若|z1－z2|＝0，则z1－z2＝0，z1＝z2，所以1＝2为真；

对于B，若z1＝2，则z1和z2互为共轭复数，

所以1＝z2为真；

对于C，设z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i，

若|z1|＝|z2|，则＝，

即a＋b＝a＋b，

所以z1·1＝a＋b＝a＋b＝z2·2，

所以z1·1＝z2·2为真；

对于D，若z1＝1＋i，z2＝1－i，

则|z1|＝|z2|，而z＝2i，z＝－2i，

所以z＝z为假．

故选A、B、C.

14．已知复数z满足z＋∈[1，2]，则复数z的实部的最小值为________．

解析：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则

z＋＝a＋bi＋＝a＋＋i.

由z＋∈[1，2]，得b－＝0，

则b＝0或a2＋b2＝1.

当a2＋b2＝1时，a＋＝2a∈[1，2]，从而a∈；

当b＝0时，a＋＝a＋∈[1，2]，从而a＝1.

综上，复数z的实部的最小值为.

【答案】

15．已知复数z满足：z2＝3＋4i，且z在复平面内对应的点位于第三象限．

(1)求复数z；

(2)设a∈R，且＝2，求实数a的值．

解：(1)设z＝c＋di(c，d∈R且c<0，d<0)，

则z2＝(c＋di)2＝c2－d2＋2cdi＝3＋4i，

∴解得或(舍去).

∴z＝－2－i.

(2)∵＝－2＋i，∴＝＝＝＝i，

∴＝i2 021＝i2 020＋1＝i505×4＋1＝i，

∴|a＋i|＝＝2，∴a＝±.

C级——迁移创新

16．若|z1－z2|＝1，则称z1与z2互为“邻位复数”．已知复数z1＝a＋i与z2＝2＋bi互为“邻位复数”，a，b∈R，求a2＋b2的最大值．

解：由题意，|a＋i－2－bi|＝1，故(a－2)2＋(－b)2＝1，

∴点(a，b)在圆(x－2)2＋(y－)2＝1上，

而表示点(a，b)到原点的距离，

故a2＋b2的最大值为(＋1)2＝(1＋)2＝8＋2.