23版新高考一轮分层练案(十一)　对数与对数函数

一轮分层练案(十一)　对数与对数函数

A级——基础达标

1．若0<a<1，则不等式>1的解是(　　)

A．x>a    B．a<x<1

C．x>1    D．0<x<a

【答案】B　易得0<logax<1，∴a<x<1.

2．函数f(x)＝log(x2－4)的单调递增区间为(　　)

A．(0，＋∞)    B．(－∞，0)

C．(2，＋∞)    D．(－∞，－2)

【答案】D　函数y＝f(x)的定义域为(－∞，－2)∪(2，＋∞)，因为函数y＝f(x)由y＝logt与t＝g(x)＝x2－4复合而成，

又y＝logt在(0，＋∞)上单调递减，g(x)在(－∞，－2)上单调递减，

所以函数y＝f(x)在(－∞，－2)上单调递增．

3．已知地震释放出的能量E与地震的里氏震级M的关系为lg E＝4.8＋1.5M，2011年3月11日，日本东北部海域发生的里氏9.0级地震释放出的能量设为E1，2008年5月12日，我国汶川发生的里氏8.0级地震释放出的能量设为E2，那么E1∶E2＝(　　)

A．1.5    B．lg 1.5

C．101.5    D．10－1.5

【答案】C　由题意lg E1＝4.8＋1.5×9，lg E2＝4.8＋1.5×8，

所以lg E1－lg E2＝(4.8＋1.5×9)－(4.8＋1.5×8)＝1.5，

所以lg ＝lg E1－lg E2＝1.5，所以E1∶E2＝101.5.故选C.

4．函数y＝ln 的图象为(　　)

【答案】A　易知2x－3≠0，即x≠，排除C、D.

当x>时，函数为减函数；

当x<时，函数为增函数，故选A.

5．已知函数f(x)＝且关于x的方程f(x)－a＝0有两个实根，则实数a的取值范围为(　　)

A．(0，1]    B．(0，1)

C．[0，1]    D．(0，＋∞)

【答案】A　作出函数y＝f(x)的图象(如图)，欲使y＝f(x)和直线y＝a有两个交点，则0<a≤1.

6．(多选)设0<a<1，则(　　)

A．log2a＝log     B．log>log a

C．log2a<log a    D．log2<log a

【答案】AB　∵0<a<1，∴0<a2<a<<1，

∴在A中，log2a＝log ，故A正确；

在B中，log >log a，故B正确；

在C中，log2a>log a，故C错误；

在D中，log2>log a，故D错误．

7．(多选)在同一坐标系中，f(x)＝kx＋b与g(x)＝logbx的图象如图，则下列关系不正确的是(　　)

A．k＜0，0＜b＜1

B．k＞0，b＞1

C．fg(1)＞0(x＞0)

D．x＞1时，f(x)－g(x)＞0

【答案】ABC　由直线方程可知，k＞0，0＜b＜1，故A、B不正确；而g(1)＝0，故C不正确；当x＞1时，g(x)＜0，f(x)＞0，所以f(x)－g(x)＞0，故D正确．

8．(多选)已知函数f(x)的图象与g(x)＝2x的图象关于直线y＝x对称，令h(x)＝f(1－|x|)，则关于函数h(x)有下列说法，其中正确的是(　　)

A．h(x)的图象关于原点对称

B．h(x)的图象关于y轴对称

C．h(x)的最大值为0

D．h(x)在区间(－1，1)上单调递增

【答案】BC　函数f(x)的图象与g(x)＝2x的图象关于直线y＝x对称，

∴f(x)＝log2x，h(x)＝log2(1－|x|)，为偶函数，不是奇函数，故A错误，B正确；

根据偶函数性质可知D错误；

∵1－|x|≤1，∴h(x)≤log21＝0，故C正确．

9．已知a>0，且a≠1，函数y＝loga(2x－3)＋的图象恒过点P.若点P也在幂函数f(x)的图象上，则f(x)＝________．

解析：设幂函数为f(x)＝xα，因为函数y＝loga(2x－3)＋的图象恒过点P(2，)，则2α＝，所以α＝，故幂函数为f(x)＝x.

【答案】x

10．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f(x)＝loga(x＋1)(a>0，且a≠1).

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)若－1<f(1)<1，求实数a的取值范围．

解：(1)当x<0时，－x>0，

由题意知f(－x)＝loga(－x＋1)，

又f(x)是定义在R上的偶函数，∴f(－x)＝f(x).

∴当x<0时，f(x)＝loga(－x＋1)，

∴函数f(x)的解析式为

f(x)＝(a>0，且a≠1).

(2)∵－1<f(1)<1，∴－1<loga2<1，

∴loga<loga2<logaa.

①当a>1时，原不等式等价于解得a>2；

②当0<a<1时，原不等式等价于

解得0<a<.

综上，实数a的取值范围为∪(2，＋∞).

B级——综合应用

11．已知函数f(x)＝ln ，若f＋f＋…＋f＝1 010(a＋b)，则a2＋b2的最小值为(　　)

A．1    B．2

C．3    D．4

【答案】B　∵f(x)＋f(e－x)＝2，

∴f＋f＋…＋f＝2 020，

∴1 010(a＋b)＝2 020，∴a＋b＝2.

∴a2＋b2≥＝2，当且仅当a＝b＝1时取等号．

12．(多选)关于函数f(x)＝ln ，下列说法中正确的有(　　)

A．f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)

B．f(x)为奇函数

C．f(x)在定义域上是增函数

D．对任意x1，x2∈(－1，1)，都有f(x1)＋f(x2)＝f

【答案】BD　函数f(x)＝ln ＝ln ，

其定义域满足(1－x)(1＋x)＞0，解得－1＜x＜1，

∴定义域为{x|－1＜x＜1}．∴A错误；

由f(－x)＝ln ＝ln ＝－ln ＝－f(x)，是奇函数，∴B正确；

函数y＝－1在定义域内是减函数，根据复合函数的单调性同增异减，

∴f(x)在定义域内是减函数，∴C错误；

f(x1)＋f(x2)＝ln ＋ln

＝ln ＝f，∴D正确．

13．若a，b是方程2(lg x)2－lg x4＋1＝0的两个实根，则lg (ab)·(logab＋logba)的值为________．

解析：原方程可化为2(lg x)2－4lg x＋1＝0.

设t＝lg x，

则方程化为2t2－4t＋1＝0，

∴t1＋t2＝2，t1·t2＝.

又∵a，b是方程2(lg x)2－lg x4＋1＝0的两个实根，

∴t1＝lg a，t2＝lg b，

即lg a＋lg b＝2，lg a·lg b＝.

∴lg (ab)·(loga b＋logb a)

＝(lg a＋lg b)·

＝(lg a＋lg b)·

＝(lg a＋lg b)·

＝2×＝12，

即lg (ab)·(loga b＋logb a)＝12.

【答案】12

14．已知函数f(x)＝loga(－x＋1)(a>0，且a≠1)在[－2，0]上的值域是[－1，0]，则实数a＝________；若函数g(x)＝ax＋m－3的图象不经过第一象限，则实数m的取值范围为________．

解析：函数f(x)＝loga(－x＋1)(a>0，且a≠1)在[－2，0]上的值域是[－1，0].当a>1时，f(x)＝loga(－x＋1)在[－2，0]上单调递减，∴无解；当0<a<1时，f(x)＝loga(－x＋1)在[－2，0]上单调递增，∴解得a＝.∵g(x)＝－3的图象不经过第一象限，∴g(0)＝－3≤0，解得m≥－1，即实数m的取值范围是[－1，＋∞).

【答案】　[－1，＋∞)

15．已知函数f(x)＝loga(3－ax)(a>0，且a≠1).

(1)当x∈[0，2]时，函数f(x)恒有意义，求实数a的取值范围；

(2)是否存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1，2]上单调递减，并且最大值为1？如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由．

解：(1)∵a>0且a≠1，设t(x)＝3－ax，则t(x)＝3－ax为减函数，当x∈[0，2]时，t(x)的最小值为3－2a，

∵当x∈[0，2]时，f(x)恒有意义，即x∈[0，2]时，3－ax>0恒成立．

∴3－2a>0，∴a<.

又a>0且a≠1，∴0<a<1或1<a<，

∴实数a的取值范围为(0，1)∪.

(2)由(1)知函数t(x)＝3－ax为减函数．

∵f(x)在区间[1，2]上单调递减，

∴y＝logat在区间[1，2]上单调递增，∴a>1，

当x∈[1，2]时，t(x)的最小值为3－2a，f(x)的最大值为f(1)＝loga(3－a)，∴即

故不存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1，2]上单调递减，并且最大值为1.

C级——迁移创新

16．函数f(x)的定义域为D，若满足①f(x)在D内是单调函数；②存在[a，b]⊆D使f(x)在[a，b]上的值域为，那么就称y＝f(x)为“半保值函数”，若函数f(x)＝loga(ax＋t2)(a＞0，且a≠1)是“半保值函数”，求t的取值范围．

解：∵函数f(x)＝loga(ax＋t2)(a＞0，且a≠1)是“半保值函数”，且定义域为R，当a＞1时，z＝ax＋t2在R上单调递增，y＝logaz在(0，＋∞)上单调递增，

可得f(x)为R上的增函数；

当0＜a＜1时，f(x)仍为R上的增函数，

∴f(x)在定义域R上为增函数，

∴方程loga(ax＋t2)＝x有两个不同的根，

∵ax＋t2＝ax，∴ax－ax＋t2＝0，

令u＝ax，u＞0，即有u2－u＋t2＝0有两个不同的正数根，

可得1－4t2＞0，且t2＞0，

解得t∈∪.