23版新高考一轮分层练案(四十七)　直线与椭圆的位置关系

一轮分层练案(四十七)　直线与椭圆的位置关系

A级——基础达标

1．若直线mx＋ny＝4与⊙O：x2＋y2＝4没有交点，则过点P(m，n)的直线与椭圆＋＝1的交点个数是(　　)

A．至多为1　　　　　　　　 B．2

C．1  D．0

【答案】B　因为直线mx＋ny＝4和圆O：x2＋y2＝4没有交点，所以 >2，所以m2＋n2<4.所以＋<＋＝1－m2≤1，所以点(m，n)在椭圆＋＝1的内部，所以过点(m，n)的直线与椭圆＋＝1的交点有2个．

2．直线y＝kx＋1，当k变化时，此直线被椭圆＋y2＝1截得的最大弦长是(　　)

A．2  B.

C．4  D．不能确定

【答案】B　直线恒过定点(0,1)，且点(0,1)在椭圆上，可设另外一个交点为(x，y)，则弦长为＝＝＝，当y＝－时，弦长最大为.

3．设直线y＝kx与椭圆＋＝1相交于A，B两点，分别过A，B两点向x轴作垂线，若垂足恰为椭圆的两个焦点，则k＝(　　)

A．±  B．±

C．±  D．±2

【答案】A　由题意可知，点A与点B的横坐标即为焦点的横坐标，又c＝1，当k>0时，不妨设A，B两点的坐标分别为(－1，y1)，(1，y2)，代入椭圆方程得y1＝－，y2＝，解得k＝；同理可得当k<0时k＝－.

4．直线x－y＋＝0经过椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点F，交椭圆于A，B两点，交y轴于C点，若＝3，则该椭圆的离心率是(　　)

A.  B.－1

C．2－2  D.－1

【答案】B　在x－y＋＝0中，令y＝0，得x＝－，所以椭圆的半焦距c＝，F(－，0)，令x＝0，得y＝1，∴C(0,1)，∵＝3，∴|FA|＝3|CA|，过A向x轴作垂线(图略)，利用三角形相似得到A，所以2a＝＋＝3＋，所以e＝＝＝－1.故选B.

5．(多选)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，点M(2,1)在椭圆C上，直线l平行于OM且在y轴上的截距为m，直线l与椭圆C交于A，B两个不同的点．下面结论正确的有(　　)

A．椭圆C的方程为＋＝1

B．kOM＝

C．－2＜m＜2

D．m≤－2或m≥2

【答案】ABC　由题意，得解得故椭圆C的方程为＋＝1，A正确；由于kOM＝＝，B正确；因为直线l的斜率k＝kOM＝，又l在y轴上截距为m，所以l的方程为y＝x＋m.由得x2＋2mx＋2m2－4＝0.因为直线l与椭圆C交于A，B两个不同点，所以Δ＝(2m)2－4(2m2－4)＞0，解得－2＜m＜2.所以C正确，D错误．

6．(多选)设椭圆＋＝1的右焦点为F，直线y＝m(0<m<)与椭圆交于A，B两点，则(　　)

A．|AF|＋|BF|为定值

B．△ABF的周长的取值范围是[6,12]

C．当m＝时，△ABF为直角三角形

D．当m＝1时，△ABF的面积为

【答案】ACD　设椭圆的左焦点为F′，则|AF′|＝|BF|，∴|AF|＋|BF|＝|AF|＋|AF′|＝6为定值，A正确；△ABF的周长为|AB|＋|AF|＋|BF|，∵|AF|＋|BF|为定值6，|AB|的取值范围是(0,6)，∴△ABF的周长的取值范围是(6,12)，B错误；不妨设点A在y轴左侧，将y＝代入椭圆方程，解得A，B，又∵F(，0)，∴·＝·＋2＝0，∴△ABF为直角三角形，C正确；不妨设点A在y轴左侧，将y＝1代入椭圆方程，解得A(－，1)，B(，1)，∴S△ABF＝×2×1＝，D正确．

7．(多选)已知P是椭圆E：＋＝1(m>0)上任意一点，M，N是椭圆上关于坐标原点对称的两点，且直线PM，PN的斜率分别为k1，k2(k1k2≠0)，若|k1|＋|k2|的最小值为1，则下列结论正确的是(　　)

A．椭圆E的方程为＋y2＝1

B．椭圆E的离心率为

C．曲线y＝log3x－经过E的一个焦点

D．直线2x－y－2＝0与E有两个公共点

【答案】ACD　设P(x0，y0)，M(x1，y1)，x0≠±x1，y0≠±y1，则N(－x1，－y1)，＋＝1，＋＝1，所以y＝m－，y＝m－，k1k2＝·＝＝－.于是|k1|＋|k2|≥2＝2＝2＝，依题意，得＝1，解得m＝1，故E的方程为＋y2＝1，A正确；离心率为，B错误；焦点为(±，0)，曲线y＝log3x－经过焦点(，0)，C正确；又直线2x－y－2＝0恒过(1,0)，且点(1,0)在E内，故直线2x－y－2＝0与E有两个公共点，D正确．故选A、C、D.

8.如图，一个球形广告气球被一束入射角为30°的平行光线照射，其投影是一个最长的弦长为5 m的椭圆，则制作这个广告气球至少需要的面料是________m2.

解析：由椭圆的最长的弦长为5 m，知椭圆的2a＝5，设气球的半径为R，入射角为30°的平行光线与底面所成角就为60°，则有2asin 60°＝2R，即R＝，从而气球的表面积为4πR2＝ (m2)．

【答案】

9．已知椭圆C的两个焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，且经过点E.

(1)椭圆C的方程为____________；

(2)过F1的直线l与椭圆C交于A，B两点(点A位于x轴上方)，若＝2，则直线l的斜率k的值为________．

解析：(1)设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)．

由

解得所以椭圆C的方程为＋＝1.

(2)由题意得直线l的方程为y＝k(x＋1)(k＞0)，

联立整理得y2－y－9＝0，

Δ＝＋144＞0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则y1＋y2＝，y1y2＝，

又＝2，所以y1＝－2y2，

所以y1y2＝－2(y1＋y2)2，则3＋4k2＝8，解得k＝±，又k＞0，所以k＝.

【答案】 (1)＋＝1　(2)

10．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F(，0)，长半轴与短半轴的比值为2.

(1)求椭圆C的方程；

(2)设经过点A(1,0)的直线l与椭圆C相交于不同的两点M，N.若点B(0,1)在以线段MN为直径的圆上，求直线l的方程．

解：(1)由题可知c＝，＝2，a2＝b2＋c2，

∴a＝2，b＝1.

∴椭圆C的方程为＋y2＝1.

(2)易知当直线l的斜率为0或直线l的斜率不存在时，不合题意；当直线l的斜率存在且不为0时，设直线l的方程为x＝my＋1，M(x1，y1)，N(x2，y2)．

联立消去x可得(4＋m2)y2＋2my－3＝0.

Δ＝16m2＋48＞0，y1＋y2＝，y1y2＝.

∵点B在以MN为直径的圆上，

∴·＝0.

∵·＝(my1＋1，y1－1)·(my2＋1，y2－1)＝(m2＋1)y1y2＋(m－1)(y1＋y2)＋2＝0，

∴(m2＋1)·＋(m－1)·＋2＝0，

整理，得3m2－2m－5＝0，解得m＝－1或m＝.

∴直线l的方程为x＋y－1＝0或3x－5y－3＝0.

B级——综合应用

11．已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交E于A，B两点，若AB的中点为M(1，－1)，则椭圆E的方程为(　　)

A.＋＝1  B.＋＝1

C.＋＝1  D.＋＝1

【答案】D　kAB＝＝，kOM＝－1，由kAB·kOM＝－，得＝，∴a2＝2b2.∵c＝3，∴a2＝18，b2＝9，椭圆E的方程为＋＝1.

12．已知椭圆M：＋y2＝1，圆C：x2＋y2＝6－a2在第一象限有公共点P，设圆C在点P处的切线斜率为k1，椭圆M在点P处的切线斜率为k2，则的取值范围为(　　)

A．(1,6)  B．(1,5)

C．(3,6)  D．(3,5)

【答案】D　由于椭圆M：＋y2＝1，圆C：x2＋y2＝6－a2在第一象限有公共点P，所以解得3<a2<5.设椭圆M：＋y2＝1与圆C：x2＋y2＝6－a2在第一象限的公共点P(x0，y0)，则椭圆M在点P处的切线方程为＋y0y＝1，圆C在P处的切线方程为x0x＋y0y＝6－a2，所以k1＝－，k2＝－，＝a2，所以∈(3,5)．

13．(多选)已知椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l1与过F2的直线l2交于点M，设M的坐标为(x0，y0)，若l1⊥l2，则下列结论正确的有(　　)

A.＋<1  B.＋>1

C.＋<1  D．4x＋3y>1

【答案】ACD　由椭圆＋＝1，可得a＝2，b＝，c＝1.∴左、右焦点分别为F1(－1,0)，F2(1,0)，设A(0，)，则tan∠AF1F2＝，可得∠AF1F2＝，∴∠F1AF2＝.∵l1⊥l2，∴直线l1与直线l2的交点M在椭圆的内部．∴＋＜1，A正确，B不正确；直线＋＝1与椭圆＋＝1联立，可得7y2－24y＋27＝0无解，因此直线＋＝1与椭圆＋＝1无交点．而点M在椭圆的内部，在直线的左下方，∴满足＋＜1，C正确；∵x＋y＝1,0≤y≤1，∴4x＋3y＝4(1－y)＋3y＝4－y＞1，因此D正确．故选A、C、D.

14．已知两定点A(－1,0)和B(1,0)，动点P(x，y)在直线l：y＝x＋2上移动，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则椭圆C的离心率的最大值为________．

解析：由题意知c＝1，离心率e＝，

因为点P在直线l：y＝x＋2上移动，

所以2a＝|PA|＋|PB|.

设点A关于直线y＝x＋2的对称点为M(m，n)，

则

解得即有M(－2,1)，

则2a＝|PA|＋|PB|＝|PM|＋|PB|≥|BM|＝，

当M，P，B共线时，a有最小值，

对应的离心率e有最大值.

【答案】

15.如图，已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点A为椭圆C上任意一点，点A关于原点O的对称点为点B，有|AF1|＋|BF1|＝4，且∠F1AF2的最大值为.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)若A′是点A关于x轴的对称点，设点N(－4,0)，连接NA与椭圆C相交于点E，直线A′E与x轴相交于点M，试求|NF1|·|MF2|的值．

解：(1)因为点A为椭圆C上任意一点，点A关于原点O的对称点为点B，所以|AF1|＝|BF2|.

又|AF1|＋|BF1|＝4，所以|BF2|＋|BF1|＝2a＝4，所以a＝2.

又∠F1AF2的最大值为，知当A为上、下顶点时，∠F1AF2最大，所以a＝2c，所以c＝1，所以b2＝a2－c2＝3.

所以椭圆C的标准方程为＋＝1.

(2)由题意可知直线NA斜率存在，设直线NA的方程为y＝k(x＋4)，联立消去y并整理得(4k2＋3)x2＋32k2x＋64k2－12＝0.

因为直线与椭圆交于两点，

所以Δ＝(32k2)2－4(4k2＋3)(64k2－12)＞0，

解得－＜k＜.

设A(x1，y1)，E(x2，y2)，则A′(x1，－y1)，

且x1＋x2＝，x1x2＝.①

直线A′E的方程为y＋y1＝(x－x1)，

令y＝0，得xM＝＋x1＝＝，②

由①②得xM＝＝－1.

所以点M为左焦点F1(－1,0)．

因此|NF1|＝3，|MF2|＝2，

所以|NF1|·|MF2|＝6.

C级——迁移创新

16．已知椭圆C的两个焦点分别为F1(－，0)，F2(，0)，且椭圆C过点P.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)若与直线OP(O为坐标原点)平行的直线交椭圆C于A，B两点，当OA⊥OB时，求△AOB的面积．

解：(1)设椭圆C的标准方程为＋＝1(a>b>0)，

由题意可得解得

故椭圆C的标准方程为＋y2＝1.

(2)直线OP的方程为y＝x，设直线AB的方程为y＝x＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)．将直线AB的方程代入椭圆C的方程并整理得x2＋mx＋m2－1＝0，

由Δ＝3m2－4(m2－1)>0，得m2<4，

所以x1＋x2＝－m，x1x2＝m2－1.

由OA⊥OB，得·＝0，·＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋

＝x1x2＋m(x1＋x2)＋m2

＝(m2－1)＋m·(－m)＋m2

＝m2－＝0，得m2＝.

又|AB|＝  

＝·，

O到直线AB的距离d＝＝，

所以S△AOB＝·|AB|·d

＝×××＝.