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23版新高考一轮分层练案(四十五)　直线与圆、圆与圆的位置关系

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这是一份23版新高考一轮分层练案(四十五)　直线与圆、圆与圆的位置关系，共6页。试卷主要包含了直线l，已知⊙M，已知圆A，已知圆M，已知圆C1，若直线l，已知圆C等内容，欢迎下载使用。

一轮分层练案(四十五)　直线与圆、圆与圆的位置关系

A级——基础达标
1．直线l：mx－y＋1－m＝0与圆C：x2＋(y－1)2＝5的位置关系是(　　)
A．相交 B．相切
C．相离 D．不确定
【答案】A　法一：由题意知，圆心(0,1)到直线l的距离d＝<1<，故直线l与圆相交．
法二：直线l：mx－y＋1－m＝0过定点(1,1)，因为点(1,1)在圆x2＋(y－1)2＝5的内部，所以直线l与圆相交．
2．已知圆x2＋y2－2x＋2y＋a＝0截直线x＋y－4＝0所得弦的长度小于6，则实数a的取值范围为(　　)
A. B.
C. D．(－15,2)
【答案】D　圆心(1，－1)，半径r＝，2－a>0，所以a<2，圆心到直线x＋y－4＝0的距离d＝＝2.则弦长为2＝2<6.解得a>－15，故－15 3．直线x－y＝0截圆(x－2)2＋y2＝4所得劣弧所对的圆心角是(　　)
A. B.
C. D.
解析：选D　画出图形，如图，圆心(2,0)到直线的距离为d＝＝1，
∴sin∠AOC＝＝，
∴∠AOC＝，∴∠CAO＝，
∴∠ACO＝π－－＝.
4．已知⊙M：x2＋y2－2x－2y－2＝0，直线l：2x＋y＋2＝0，P为l上的动点．过点P作⊙M的切线PA，PB，切点为A，B，当|PM|·|AB|最小时，直线AB的方程为(　　)
A．2x－y－1＝0 B．2x＋y－1＝0
C．2x－y＋1＝0 D．2x＋y＋1＝0
【答案】D　

法一：由⊙M：x2＋y2－2x－2y－2＝0，①
得⊙M：(x－1)2＋(y－1)2＝4，所以圆心M(1,1)．如图，连接AM，BM，易知四边形PAMB的面积为|PM|·|AB|，欲使|PM|·|AB|最小，只需四边形PAMB的面积最小，即只需△PAM的面积最小．因为|AM|＝2，所以只需|PA|最小．又|PA|＝＝，所以只需直线2x＋y＋2＝0上的动点P到M的距离最小，其最小值为＝，此时PM⊥l，易求出直线PM的方程为x－2y＋1＝0.由得所以P(－1,0)．易知P，A，M，B四点共圆，所以以PM为直径的圆的方程为x2＋2＝2，即x2＋y2－y－1＝0，　②
由①②得，直线AB的方程为2x＋y＋1＝0，故选D.
法二：因为⊙M：(x－1)2＋(y－1)2＝4，所以圆心M(1,1)．
连接AM，BM，易知四边形PAMB的面积为|PM|·|AB|，欲使|PM|·|AB|最小，只需四边形PAMB的面积最小，即只需△PAM的面积最小．因为|AM|＝2，所以只需|PA|最小．
又|PA|＝＝，所以只需|PM|最小，此时PM⊥l.因为PM⊥AB，所以l∥AB，所以kAB＝－2，排除A、C.
易求出直线PM的方程为x－2y＋1＝0，由得所以P(－1,0)．因为点M到直线x＝－1的距离为2，所以直线x＝－1过点P且与⊙M相切，所以A(－1,1)．因为点A(－1,1)在直线AB上，故排除B.故选D.
5．(多选)已知圆A：x2＋y2－2x－3＝0，则下列说法正确的是(　　)
A．圆A的半径为2
B．圆A截y轴所得的弦长为2
C．圆A上的点到直线3x－4y＋12＝0的最小距离为1
D．圆A与圆B：x2＋y2－8x－8y＋23＝0相离
【答案】ABC　把圆A的方程x2＋y2－2x－3＝0化成标准方程为(x－1)2＋y2＝4，所以圆A的圆心坐标为(1,0)，半径为2，A正确；圆A截y轴所得的弦长为2×＝2，B正确；圆心(1,0)到直线3x－4y＋12＝0的距离为3，故圆A上的点到直线3x－4y＋12＝0的最小距离为3－2＝1，C正确；圆B：x2＋y2－8x－8y＋23＝0的圆心为B(4,4)，半径为3，则点A与点B之间的距离为＝5，圆A与圆B相切，D错误．故选A、B、C.
6．(多选) 已知圆M：(x＋cos θ)2＋(y－sin θ)2＝1, 直线l：y＝kx.下列命题中正确的是(　　)
A．对任意实数k和θ，直线l和圆M有公共点
B．对任意实数θ，必存在实数k，使得直线l与圆M相切
C．对任意实数k，必存在实数θ，使得直线l与圆M相切
D．存在实数k与θ，使得圆M上有一点到直线l的距离为3
【答案】AC　选项A，圆M：(x＋cos θ)2＋(y－sin θ)2＝1恒过原点O(0,0)，所以A正确；圆心M(－cos θ，sin θ)到直线l的距离为d，d＝＝|sin(θ＋φ)|≤1，∴对于任意实数k，直线l与圆相交或相切，所以选项C正确，选项B不正确；圆上的点到直线l距离最大值为d＋1≤2，所以选项D不正确．故选A、C.
7．(多选)已知圆C1：x2＋y2＝r2，圆C2：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)交于不同的A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，下列结论正确的有(　　)
A．a(x1－x2)＋b(y1－y2)＝0
B．2ax1＋2by1＝a2＋b2
C．x1＋x2＝a
D．y1＋y2＝2b
【答案】ABC　两圆方程相减可得直线AB的方程为a2＋b2－2ax－2by＝0，即2ax＋2by＝a2＋b2，故B正确；分别把A(x1，y1)，B(x2，y2)代入2ax＋2by＝a2＋b2，得2ax1＋2by1＝a2＋b2,2ax2＋2by2＝a2＋b2，两式相减得2a(x1－x2)＋2b(y1－y2)＝0，即a(x1－x2)＋b(y1－y2)＝0，故A正确；由圆的性质可知，线段AB与线段C1C2互相平分，∴x1＋x2＝a，y1＋y2＝b，故C正确．故选A、B、C.
8．若直线l：y＝kx＋1被圆C：x2＋y2－2x－3＝0截得的弦最短，则直线l的方程是______________．
解析：依题意，直线l：y＝kx＋1过定点P(0,1)．圆C：x2＋y2－2x－3＝0化为标准方程为(x－1)2＋y2＝4.故圆心为C(1,0)，半径为r＝2.则易知定点P( 0,1)在圆内．由圆的性质可知当PC⊥l时，直线l：y＝kx＋1被圆C：x2＋y2－2x－3＝0截得的弦最短．因为kPC＝＝－1，所以直线l的斜率k＝1，即直线l的方程是x－y＋1＝0.
【答案】x－y＋1＝0
9．已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＋1＝0，O为坐标原点，动点P在圆C外，过P作圆C的切线，设切点为M.
(1)若点P运动到(1,3)处，则此时切线l的方程为____________；
(2)满足条件|PM|＝|PO|的点P的轨迹方程为____________．
解析：把圆C的方程化为标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝4，
∴圆心为C(－1,2)，半径r＝2.
(1)当l的斜率不存在时，此时l的方程为x＝1，
C到l的距离d＝2＝r，满足条件．
当l的斜率存在时，设斜率为k，
故l的方程为y－3＝k(x－1)，
即kx－y＋3－k＝0，
则＝2，解得k＝－.
∴l的方程为y－3＝－(x－1)，
即3x＋4y－15＝0.
综上，满足条件的切线l的方程为x＝1或3x＋4y－15＝0.
(2)设P(x，y)，则|PM|2＝|PC|2－|MC|2＝(x＋1)2＋(y－2)2－4，
|PO|2＝x2＋y2，∵|PM|＝|PO|，
∴(x＋1)2＋(y－2)2－4＝x2＋y2，
整理得2x－4y＋1＝0，
∴点P的轨迹方程为2x－4y＋1＝0.
【答案】(1)x＝1或3x＋4y－15＝0　(2)2x－4y＋1＝0
10．已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交于M，N两点．
(1)求k的取值范围；
(2)若·＝12，其中O为坐标原点，求|MN|.
解：(1)由题可设直线l的方程为y＝kx＋1.
因为直线l与圆C交于两点，所以<1.
解得所以k的取值范围为.
(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)．
将y＝kx＋1代入方程(x－2)2＋(y－3)2＝1，整理得(1＋k2)x2－4(1＋k)x＋7＝0.
所以x1＋x2＝，x1x2＝.
·＝x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋1＝＋8.
由题设可得＋8＝12，解得k＝1，
所以直线l的方程为y＝x＋1.
故圆心C在直线l上，所以|MN|＝2.
B级——综合应用
11．(选择性必修第一册93页例3改编)苏州有很多圆拱的悬索拱桥(如寒山桥)，经测得某圆拱索桥(如图)的跨度AB＝100 m，拱高OP＝10 m，在建造圆拱桥时每隔5 m需用一根支柱支撑，则与OP相距30 m的支柱MN的高度是________ m(注意：取3.162)．(　　)

A．6.48 B．4.48
C．2.48 D．以上都不对
【答案】A　以点P为坐标原点，OP所在直线为y轴，过点P且平行于AB的直线为x轴建立平面直角坐标系，如图所示，

由题意可知，点A的坐标为(－50，－10)，设圆拱桥弧所在圆的半径为r，
∵OP＝10，由勾股定理可得(r－OP)2＋OA2＝r2，即(r－10)2＋502＝r2，解得r＝130，
所以圆心坐标为(0，－130)，则圆的方程为x2＋(y＋130)2＝1302，
将x＝－30代入圆的方程得(y＋130)2＝1302－(－30)2＝16 000，
∵y>－10，解得y＝40－130，
∴MN＝(40－130)－(－10)＝40－120≈6.48(m)．故选A.
12．若圆O1：x2＋y2＝5与圆O2：(x＋m)2＋y2＝20相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是(　　)
A．3 B．4
C．2 D．8
解析：选B　如图，连接O1A，O2A，由于⊙O1与⊙O2在点A处的切线互相垂直，因此O1A⊥O2A，所以|O1O2|2＝|O1A|2＋|O2A|2，即m2＝5＋20＝25，设AB交x轴于点C.在Rt△O1AO2中，sin∠AO2O1＝＝，∴在Rt△ACO2中，|AC|＝|AO2|·sin∠AO2C＝2×＝2，∴|AB|＝2|AC|＝4.故选B.
13．(多选)在平面直角坐标系xOy中，A(－2,0)，B(4,0)，点P满足＝，设点P的轨迹为C，下列结论正确的是(　　)
A．C的方程为(x＋4)2＋y2＝9
B．在x轴上存在异于A，B的两定点D，E，使得＝
C．当A，B，P三点不共线时，射线PO是∠APB的平分线
D．在C上存在点M，使得|MO|＝2|MA|
【答案】BC　设点P(x，y)，则＝＝，化简整理得x2＋y2＋8x＝0，即(x＋4)2＋y2＝16，故A错误；当D(－1,0)，E(2,0)，P(0,0)时，＝，故B正确；对于C选项，当A，B，P三点不共线时，由＝＝，可得射线PO是∠APB的平分线，故C正确；对于D选项，设M(x0，y0)，由|MO|＝2|MA|可得＝2，整理得3x＋3y＋16x0＋16＝0，而点M在圆上，故满足x＋y＋8x0＝0，联立解得x0＝2，y0无实数解，于是D错误．故选B、C.
14．已知直线x＋y－2＝0与圆O：x2＋y2＝r2(r>0)相交于A，B两点，C为圆周上一点，线段OC的中点D在线段AB上，且3＝5，则r＝________.
解析：如图，过O作OE⊥AB于E，连接OA，则|OE|＝＝，
易知|AE|＝|EB|，
不妨令|AD|＝5m(m>0)，
由3＝5可得
|BD|＝3m，|AB|＝8m，
则|DE|＝4m－3m＝m，
在Rt△ODE中，有2＝()2＋m2，①
在Rt△OAE中，有r2＝()2＋(4m)2，②
联立①②，解得r＝.
【答案】
15．已知P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，PA，PB是圆C：x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，A，B是切点．
(1)求四边形PACB面积的最小值；
(2)直线上是否存在点P，使得∠APB＝60°？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
解：(1)法一：如图所示，连接PC，由点P在直线3x＋4y＋8＝0上，可设点P的坐标为，易知圆C的圆心为(1,1)，半径长为1.所以S四边形PACB＝2S△PAC＝2××|AP|×|AC|＝|AP|.
因为|AP|2＝|PC|2－|AC|2＝|PC|2－1，所以当|PC|最小时，|AP|最小．
因为点C到直线3x＋4y＋8＝0的距离为＝3，所以|PC|的最小值为3，此时|AP|＝2，即四边形PACB面积的最小值为2.
法二：如图，Rt△PAC的面积SRt△PAC＝|PA|·|AC|，当动点P沿直线3x＋4y＋8＝0向左上方或向右下方无穷远处运动时，|PA|越来越大，从而S四边形PACB＝|PA|·|AC|也越来越大．
当点P从左上方、右下方向中间运动时，S四边形PACB逐渐变小，显然，当点P到达一个特殊的位置，即满足CP垂直于直线3x＋4y＋8＝0时，S四边形PACB取得最小值．
由法一知，此时|PC|＝3，|PA|＝2，故S四边形PACB的最小值为2.
(2)不存在．理由如下：
假设直线上存在点P满足题意．
因为∠APB＝60°，|AC|＝1，所以∠APC＝30°，|PC|＝2.
由(1)知|PC|的最小值为3，
所以这样的点P是不存在的．
C级——迁移创新
16．已知直线l：4x＋3y＋10＝0，半径为2的圆C与l相切，圆心C在x轴上且在直线l的右上方．
(1)求圆C的方程；
(2)过点M(1,0)的直线与圆C交于A，B两点(A在x轴上方)，问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分∠ANB？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
解：(1)设圆心C(a,0).
则＝2，解得a＝0或a＝－5(舍)．
所以圆C的方程为x2＋y2＝4.
(2)当直线AB⊥x轴时，x轴平分∠ANB.
当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝k(x－1)，N(t,0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由得(k2＋1)x2－2k2x＋k2－4＝0，
所以x1＋x2＝，x1x2＝.
若x轴平分∠ANB，
则kAN＝－kBN，即＋＝0，
则＋＝0，
即2x1x2－(t＋1)(x1＋x2)＋2t＝0，
亦即－＋2t＝0，解得t＝4，
所以当点N坐标为(4,0)时，能使得∠ANM＝∠BNM总成立．