23版新高考一轮分层练案(五)　从函数的观点理解一元二次方程和一元二次不等式

一轮分层练案(五)　从函数的观点理解一元二次方程和一元二次不等式

A级——基础达标

1．下列四个不等式：①－x2＋x＋1≥0；②x2－2x＋>0；③x2＋6x＋10>0；④2x2－3x＋4<1.其中解集为R的是(　　)

A．①    B．②

C．③    D．④

【答案】C　①显然不可能；②中Δ＝(－2)2－4×>0，解集不为R；③中Δ＝62－4×10<0.满足条件；④中不等式可化为2x2－3x＋3<0，所对应的二次函数开口向上，显然不可能．故选C.

2．不等式>1的解集为(　　)

A．    B．(－∞，1)

C．∪(1，＋∞)    D．

【答案】A　原不等式等价于－1>0，

即>0，整理得<0，

不等式等价于(2x－1)(x－1)<0，解得<x<1.

3．关于x的不等式ax＋b>0的解集是(1，＋∞)，则关于x的不等式(ax＋b)(x－2)<0的解集是(　　)

A．(－∞，1)∪(2，＋∞)    B．(－1，2)

C．(1，2)    D．(－∞，－1)∪(2，＋∞)

【答案】C　∵关于x的不等式ax＋b>0的解集是(1，＋∞)，∴a>0，且－＝1，∴关于x的不等式(ax＋b)(x－2)<0可化为(x－2)<0，即(x－1)(x－2)<0，∴不等式的解集为{x|1<x<2}．故选C.

4．已知函数f(x)＝若f(2－x2)>f(x)，则实数x的取值范围是(　　)

A．(－∞，－1)∪(2，＋∞)    B．(－∞，－2)∪(1，＋∞)

C．(－1，2)    D．(－2，1)

【答案】D　易知f(x)在R上是增函数，∵f(2－x2)>f(x)，∴2－x2>x，解得－2<x<1，则实数x的取值范围是(－2，1).

5．若不等式ax2－x＋a>0对一切实数x都成立，则实数a的取值范围为(　　)

A．a<－或a>    B．a>或a<0

C．a>    D．－<a<

【答案】C　显然a＝0，不等式不恒成立，所以不等式ax2－x＋a>0对一切实数x都成立，

则即解得a>，所以实数a的取值范围是a>.故选C.

6．(多选)下列四个不等式中，解集为∅的是(　　)

A．－x2＋x＋1≤0

B．2x2－3x＋4<0

C．x2＋3x＋10≤0

D．－x2＋4x－>0(a>0)

【答案】BCD　对于A，－x2＋x＋1≤0对应函数y＝－x2＋x＋1开口向下，显然解集不为∅；

对于B，2x2－3x＋4<0，对应的函数开口向上，Δ＝9－32<0，其解集为∅；

对于C，x2＋3x＋10≤0，对应的函数开口向上，Δ＝9－40<0，其解集为∅；

对于D，－x2＋4x－>0(a>0)对应的函数开口向下，Δ＝16－4≤16－4×2＝0，当且仅当a＝2时，取等号，其解集为∅.故选B、C、D.

7．(多选)已知不等式ax2＋bx＋c>0的解集为，则下列结论正确的是(　　)

A．a>0    B．b>0

C．c>0    D．a＋b＋c>0

【答案】BCD　因为不等式ax2＋bx＋c>0的解集为，故相应的二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，所以a<0，故A错误；易知2和－是方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，则有＝－1<0，－＝>0，又a<0，故b>0，c>0，故B、C正确；由二次函数的图象(图略)，可知f(1)＝a＋b＋c>0，故D正确．故选B、C、D.

8．(多选)设[x]表示不小于实数x的最小整数，则满足关于x的不等式[x]2＋[x]－12≤0的解可以为(　　)

A．    B．3

C．－4.5    D．－5

【答案】BC　因为不等式[x]2＋[x]－12≤0，

所以([x]－3)([x]＋4)≤0，

所以－4≤[x]≤3，又因为[x]表示不小于实数x的最小整数，

所以不等式[x]2＋[x]－12≤0的解可以为3，－4.5.

故选B、C.

9．若产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y＝3 000＋20x－0.1x2(0<x<240)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是________台．

解析：生产者不亏本时有y－25x＝－0.1x2－5x＋3 000≤0，即x2＋50x－30 000≥0，解得x≥150或x≤－200(舍去).故生产者不亏本时的最低产量是150台．

【答案】150

10．汽车在行驶中，由于惯性的作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析事故的一个重要因素．在一个限速为40 km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了．事后现场勘查测得甲车的刹车距离略超过12 m，乙车的刹车距离略超过10 m．已知甲、乙两种车型的刹车距离s(m)与车速x(km/h)之间分别有如下关系：s甲＝0.1x＋0.01x2，s乙＝0.05x＋0.005x2.问：甲、乙两车有无超速现象？

解：由题意知，对于甲车，有0.1x＋0.01x2>12，即x2＋10x－1 200>0，解得x>30或x<－40(不符合实际意义，舍去)，这表明甲车的车速超过30 km/h.

但根据题意知刹车距离略超过12 m，由此估计甲车的车速不会超过限速40 km/h.

对于乙车，有0.05x＋0.005x2>10，即x2＋10x－2 000>0，解得x>40或x<－50(不符合实际意义，舍去)，这表明乙车的车速超过40 km/h，即超过规定限速．

故甲车没有超速，乙车有超速现象．

B级——综合应用

11．已知α，β(α<β)是方程(x－a)·(x－b)＋2＝0的两根，其中a<b，则α，β，a，b的大小关系(　　)

A．a<α<β<b    B．a<α<b<β

C．α<a<b<β    D．α<a<β<b

【答案】A　设函数y＝(x－a)(x－b)＋2，图象为开口向上的抛物线，x＝α，x＝β是抛物线与x轴交点的横坐标，而当x＝a时，函数值y＝2>0，所以a在α的左边，即a<α，同理β<b.故选A.

12．在R上定义运算⊗：x⊗y＝x(1－y)，若不等式(x－a)⊗(x＋a)<1对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为(　　)

A．(－1，1)    B．

C．    D．(0，2)

【答案】B　由题意，新定义x⊗y＝x(1－y)，那么(x－a)⊗(x＋a)＝(x－a)(1－x－a).

因为不等式(x－a)⊗(x＋a)＜1对于任意实数x均成立，即(x－a)(1－x－a)＜1对任意实数x均成立，

化简得x2－x＞a2－a－1，

因为(x2－x)min＝－，所以只需a2－a－1＜－即可．

解得－＜a＜，所以a的取值范围为.故选B.

13．(多选)不等式x2＋ax＋b≤0(a，b∈R)的解集为{x|x1≤x≤x2}，且|x1|＋|x2|≤2.其中错误的命题为(　　)

A．|a＋2b|≥2    B．|a＋2b|≤2

C．|a|≥1    D．b≤1

【答案】ABC　因为不等式x2＋ax＋b≤0(a，b∈R)的解集为{x|x1≤x≤x2}，则x1，x2是方程x2＋ax＋b＝0的两个实数根，x1x2＝b，又|x1|＋|x2|≤2.

不妨令a＝－1，b＝0，则x1＝0，x2＝1，但|a＋2b|＝1，A不成立；

令a＝2，b＝1，则x1＝x2＝－1，但|a＋2b|＝4，B不成立；

令a＝0，b＝－1，则x1＝－1，x2＝1，但|a|＝0，C不成立；

b＝x1x2≤≤≤1，D正确．

14．在关于x的不等式x2－(a＋1)x＋a<0的解集中至多包含2个整数，则实数a的取值范围________．

解析：因为关于x的不等式x2－(a＋1)x＋a<0可化为(x－1)(x－a)<0，

当a>1时，不等式的解集为{x|1<x<a}；当a<1时，不等式的解集为{x|a<x<1}；当a＝1时，不等式的解集为∅，满足题意，

要使不等式的解集中至多包含2个整数，则a≤4且a≥－2，所以实数a的取值范围是a∈[－2，4].

【答案】[－2，4]

15．已知函数f(x)＝x2－2ax－1＋a，a∈R.

(1)若a＝2，试求函数y＝(x>0)的最小值；

(2)对于任意的x∈[0，2]，不等式f(x)≤a成立，试求实数a的取值范围．

解：(1)依题意得y＝＝＝x＋－4.

因为x>0，所以x＋≥2，当且仅当x＝时，即x＝1时，等号成立，所以y≥－2.

所以当a＝2时，y＝(x>0)的最小值为－2.

(2)因为f(x)－a＝x2－2ax－1，

所以要使“∀x∈[0，2]，不等式f(x)≤a成立”，

只要“x2－2ax－1≤0在[0，2]上恒成立”．

不妨设g(x)＝x2－2ax－1，

则只要g(x)≤0在[0，2]上恒成立即可．

所以即解得a≥.

则实数a的取值范围为.

C级——迁移创新

16．设函数f(x)＝2x2＋bx＋c，若不等式f(x)<0的解集是(1，5).

(1)求f(x)的解析式；

(2)若对于任意x∈[1，3]，不等式f(x)≤2＋t有解，求实数t的取值范围．

解：(1)由题意知1和5是方程2x2＋bx＋c＝0的两个根，由根与系数的关系知，－＝6，＝5，解得b＝－12，c＝10，所以f(x)＝2x2－12x＋10.

(2)不等式f(x)≤2＋t在x∈[1，3]时有解，等价于2x2－12x＋8≤t在x∈[1，3]时有解，只要t≥(2x2－12x＋8)min即可，不妨设g(x)＝2x2－12x＋8，x∈[1，3]，则g(x)在[1，3]上单调递减，所以g(x)≥g(3)＝－10，所以t≥－10.