23版新高考一轮分层练案(五十)　最值、范围、证明问题

一轮分层练案(五十)　最值、范围、证明问题

A级——基础达标

1．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，点E(－1,0)，圆x2＋y2＝r2(r＞0)与抛物线C交于A，B两点，直线BE与抛物线交点为D.

(1)求证：直线AD过焦点F；

(2)过F作直线MN⊥AD，交抛物线C于M，N两点，求四边形ANDM面积的最小值．

解：(1)证明：由题意，设A(x0，y0)，B(x0，－y0)，

直线BE的方程为y＝(x＋1)，

联立得y2＋(x0＋1)y＋y0＝0，

由题意可得，该方程有一个根为－y0，

由根与系数关系得－y0yD＝4，yD＝－，

所以D，

则直线FD的斜率为＝，

直线AF的斜率为＝，

所以kAF＝kFD，故A，F，D三点共线，

所以直线AD过焦点F.

(2)设直线AD方程为y＝k(x－1)，则直线MN的方程为y＝－(x－1)，

联立得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，

设A(x1，y1)，D(x2，y2)，则x1＋x2＝＝2＋，

所以|AD|＝x1＋x2＋2＝4＋，

同理可得|MN|＝4＋4k2，

所以四边形ANDM面积为

S＝|MN|·|AD|＝(4＋4k2)

＝8≥32，

当且仅当k＝±1时，四边形ANDM面积取得最小值，最小值为32.

2．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的短轴长为2，离心率为.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)直线l平行于直线y＝x，且与椭圆C交于A，B两个不同的点，若∠AOB为钝角，求直线l在x轴上的截距m的取值范围．

解：(1)由题意可得2b＝2，所以b＝，

e＝＝ ＝，解得a＝2，

所以椭圆C的标准方程为＋＝1.

(2)由于直线l平行于直线y＝x，即y＝x，设直线l在y轴上的截距为n，

所以l的方程为y＝x＋n(n≠0)．

联立得x2＋2nx＋2n2－4＝0，

因为直线l与椭圆C交于A，B两个不同的点，

所以Δ＝(2n)2－4(2n2－4)＞0，解得－2＜n＜2.

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－2n，x1x2＝2n2－4.

因为∠AOB为钝角等价于·＜0，且n≠0，

所以·＝x1x2＋y1y2

＝x1x2＋

＝x1x2＋(x1＋x2)＋n2＝(2n2－4)＋(－2n)＋n2＜0，即n2＜2，且n≠0，

所以直线l在y轴上的截距n的取值范围为(－，0)∪(0，)．

因为直线l在x轴上的截距m＝－2n，

所以m的取值范围为(－2，0)∪(0,2)．

3.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，准线与x轴的交点为E.过点F的直线与抛物线相交于A，B两点，EA，EB分别与y轴相交于M，N两点，当AB⊥x轴时，EA＝2.

(1)求抛物线的方程；

(2)设△EAB的面积为S1，△EMN面积为S2，求的取值范围．

解：(1)当AB⊥x轴时，直线AB的方程为x＝，联立可得y＝|p|，则AF＝p，且EF＝p，

∴EA＝＝p＝2，解得p＝，

因此，抛物线的标准方程为y2＝2x.

(2)设直线AB的方程为x＝my＋，

由得y2－2my－2＝0，

设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以y1＋y2＝2m，y1y2＝－2，

直线AE方程为y＝，

令x＝0，得yM＝＝，

同理yN＝＝，

所以|yM－yN|＝

＝

＝，

其中(my1＋)(my2＋)＝m2y1y2＋m(y1＋y2)＋2＝－2m2＋4m2＋2＝2m2＋2，

则＝＝4m2＋4≥4，

当m＝0时等号成立，

因此的取值范围为[4，＋∞)．

4．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)，F1，F2为椭圆的左、右焦点，P为椭圆上一点，且|PF1|＝.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)设直线l：x＝－2，过点F2的直线交椭圆于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l，直线AB于M，N两点，当∠MAN最小时，求直线AB的方程．

解：(1)设椭圆的左焦点F1(－c,0)(c＞0)，则|PF1|＝＝，解得c＝1，

所以|PF2|＝，则由椭圆定义|PF1|＋|PF2|＝2a＝2，∴a＝，b＝＝1，

故椭圆的标准方程为＋y2＝1.

(2)由题意直线AB的斜率必定不为零，

于是可设直线AB：x＝ty＋1，

联立方程得(t2＋2)y2＋2ty－1＝0，

∵直线AB交椭圆于A(x1，y1)，B(x2，y2)，

∴Δ＝4t2＋4(t2＋2)＝8(t2＋1)＞0.

由根与系数关系得y1＋y2＝，y1y2＝－，

则yN＝－，∴xN＝tyN＋1＝－＋1＝，

∵MN⊥AB，∴kMN＝－t，

∴|MN|＝·＝·，

又|AN|＝|AB|＝ ·|y1－y2|

＝·，

∴tan∠MAN＝＝

＝≥×2＝4，

当且仅当 ＝即t＝±1时取等号．

此时直线AB的方程为x＋y－1＝0或x－y－1＝0.

B级——综合应用

5．抛物线x2＝2py(p＞0)的焦点F到直线y＝－的距离为2.

(1)求抛物线的方程；

(2)设直线y＝kx＋1交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，分别过A，B两点作抛物线的两条切线，两切线的交点为P，求证：PF⊥AB.

解：(1)由题意知F，

则焦点F到直线y＝－的距离为

－＝p＝2，

所以抛物线的方程为x2＝4y.

(2)证明：把直线y＝kx＋1代入x2＝4y消y得

x2－4kx－4＝0，

又Δ＝16k2＋16＞0，

利用根与系数关系得

由题意设切线PA的斜率为kPA，切线PB的斜率为kPB，点P坐标为(m，n)，

由(1)可得y＝x2，

则y′＝x，

所以kPA＝x1，kPB＝x2，

则切线PA的方程为y－n＝x1(x－m)，切线PB的方程为y－n＝x2(x－m)，则

①－②化简整理得m＝2k，

把m＝2k代入①整理得

n＝－x＋kx1＝－x＋x1＝－x＋x1＝x1x2＝－1，

则P(2k，－1)，F(0,1)，

kPF·kAB＝×k＝－1，

则PF⊥AB.

6.如图，在矩形ABCD中，|AB|＝4，|AD|＝2，O为AB的中点，P，Q分别是AD和CD上的点，且满足①＝，②直线AQ与BP的交点在椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)上．

(1)求椭圆E的方程；

(2)设R为椭圆E的右顶点，M为椭圆E第一象限部分上一点，作MN垂直于y轴，垂足为N，求梯形ORMN面积的最大值．

解：(1)设AQ与BP的交点为G(x，y)，P(－2，y1)，Q(x1，2)，

由题可知，＝.

因为kAG＝kAQ，kBG＝kBP，所以＝，＝－，

从而有＝－＝－，整理得＋y2＝1，

即椭圆E的方程为＋y2＝1.

(2)由(1)知R(2,0)，设M(x0，y0)，则y0＝ ，

从而梯形ORMN的面积S＝(2＋x0)y0＝ ，

令t＝2＋x0，则2＜t＜4，S＝ .

令u＝4t3－t4，则u′＝12t2－4t3＝4t2(3－t)，

当t∈(2,3)时，u′＞0，u＝4t3－t4单调递增，

当t∈(3,4)时，u′＜0，u＝3t3－t4单调递减，

所以当t＝3时，u取得最大值，则S也取得最大值，最大值为.