23版新高考一轮分层练案(五十三)　用样本数量特征估计总体

一轮分层练案(五十三)　用样本数量特征估计总体

A级——基础达标

1．数据1,2,3,4,5,6的60%分位数为(　　)

A．3　　　　　　　　 B.3.5

C．3.6  D．4

【答案】D　由6×60%＝3.6，所以数据1,2,3,4,5,6的60%分位数是第四个数，故选D.

2.如图是某样本数据的茎叶图，则该样本的中位数、众数、极差分别是(　　)

A．32　34　32  B．33　45　35

C．34　45　32  D．33　36　35

【答案】B　从茎叶图中知共16个数据，按照从小到大排序后中间的两个数据为32,34，所以这组数据的中位数为33；45出现的次数最多，所以这组数据的众数为45；最大值是47，最小值是12，故极差是35.

3．若数据x1，x2，…，xn的平均数为 ，方差为s2，则2x1＋3,2x2＋3，…，2xn＋3的平均数和方差分别为(　　)

A.和s2   B．2＋3和4s2

C．2＋3和s2  D．2＋3和4s2＋12s＋9

【答案】B　法一：平均数为(2x1＋3＋2x2＋3＋…＋2xn＋3)＝[2(x1＋x2＋…＋xn)＋3n]＝2＋3；方差为{[(2x1＋3)－(2＋3)]2＋[(2x2＋3)－(2＋3)]2＋…＋[(2xn＋3)－(2＋3)]2}＝[4(x1－)2＋4(x2－)2＋…＋4(xn－)2]＝4s2.

法二：原数据乘以2加上3得到一组新数据，则由平均数、方差的性质可知得到的新数据的平均数和方差分别是2＋3和4s2.

4．为了反映各行业对仓储物流业务需求变化的情况，以及重要商品库存变化的动向，中国物流与采购联合会和中储发展股份有限公司通过联合调查，制定了中国仓储指数．由2019年1月至2020年7月的调查数据得出的中国仓储指数，绘制出如下折线图．

根据该折线图，下列结论正确的是(　　)

A．2019年各月的仓储指数最大值是在3月份

B．2020年1月至7月的仓储指数的中位数为55

C．2020年1月与4月的仓储指数的平均数为52

D．2019年1月至4月的仓储指数相对于2020年1月至4月，波动性更大

【答案】D　2019年各月的仓储指数最大值是在11月份，所以A错误；由题图可知，2020年1月至7月的仓储指数的中位数约为53，所以B错误；2020年1月与4月的仓储指数的平均数为＝53，所以C错误；由题图可知，2019年1月至4月的仓储指数比2020年1月至4月的仓储指数波动更大，故选D.

5．(多选)2020年2月8日，在韩国首尔举行的四大洲花样滑冰锦标赛双人自由滑比赛中，中国组合隋文静/韩聪以总分217.51分拿下四大洲赛冠军，这也是他们第六次获得四大洲冠军．中国另一对组合彭程/金杨以213.29分摘得银牌．花样滑冰锦标赛有9位评委进行评分，首先这9位评委给出某对选手的原始分数，评定该队选手的成绩时从9个原始评分中去掉一个最高分、一个最低分，得到7个有效评分，则7个有效评分与9个原始评分相比，可能变化的数字特征是(　　)

A．中位数  B．平均数

C．方差  D．极差

【答案】BCD　因为7个有效评分是9个原始评分中去掉一个最高分、一个最低分，所以中位数不变，平均数、方差、极差可能发生变化，所以可能变化的数字特征是平均数、方差、极差，故选B、C、D.

6．(多选)甲、乙两班举行电脑汉字录入比赛，参赛学生每分钟录入汉字的个数经统计计算后填入下表：

下列结论中，正确的是(　　)

A．甲、乙两班学生成绩的平均水平相同

B．乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数(每分钟输入汉字数≥150个为优秀)

C．甲班的成绩波动情况比乙班的成绩波动大

D．甲班成绩的众数小于乙班成绩的众数

【答案】ABC　甲、乙两班成绩的平均数都是135，故两班成绩的平均水平相同，∴A正确；s＝191＞110＝s，∴甲班成绩不如乙班稳定，即甲班成绩波动较大，∴C正确；甲、乙两班人数相同，但甲班成绩的中位数为149，乙班成绩的中位数为151，从而易知乙班每分钟输入汉字数≥150个的人数要多于甲班，∴B正确；由题表看不出两班学生成绩的众数，∴D错误．

7．(多选)某篮球爱好者在一次篮球训练中，需进行五轮投篮，每轮投篮5次．统计各轮投进球的个数，获知其前四轮投中的个数分别为2,3,4,4，则第五轮结束后，下列数字特征有可能发生的是(　　)

A．平均数为3，极差是3

B．中位数是3，极差是3

C．平均数为3，方差是0.8

D．中位数是3，方差是0.56

【答案】BCD　2＋3＋4＋4＝13，

①若平均数为3，则第五轮投中的个数为2，

所以极差为4－2＝2，方差为×[(2－3)2×2＋(3－3)2＋(4－3)2×2]＝0.8，即选项A错误，C正确；

②若中位数为3，则第五轮投中的个数为0或1或2或3，

当投中的个数为0时，极差为4，方差为×[(0－2.6)2＋(2－2.6)2＋(3－2.6)2＋(4－2.6)2×2]＝2.24；

当投中的个数为1时，极差为3，方差为×[(1－2.8)2＋(2－2.8)2＋(3－2.8)2＋(4－2.8)2×2]＝1.36；

当投中的个数为2时，极差为2，方差为0.8；

当投中的个数为3时，极差为2，方差为×[(2－3.2)2＋(3－3.2)2×2＋(4－3.2)2×2]＝0.56，

即选项B和D均正确．故选B、C、D.

8．已知一组数据按从小到大的顺序排列，得到－1,0,4，x,7,14，中位数为5，则这组数据的平均数为________，方差为________．

解析：∵－1,0,4，x,7,14的中位数为5，

∴＝5，∴x＝6，

∴这组数据的平均数是

＝5，

这组数据的方差是×(36＋25＋1＋1＋4＋81)＝.

【答案】5　

9．学校开展“书香校园”活动以来，受到同学们的广泛关注．学校为了解全校学生课外阅读的情况，随机调查了部分学生在一周内借阅图书的次数，并制成如图不完整的统计图表．

若该组数的平均数、众数、中位数依次为a，b，c，则a，b，c的大小关系为______．

解析：依题意有

所以共统计了50人，众数为2，中位数为2，平均数为＝＜2，

∴a＜b＝c.

【答案】a＜b＝c

10．某学校对男、女学生进行有关“习惯与礼貌”的评分，记录如下：

男：54,70,57,46,90,58,63,46,85,73,55,66,38,44,56,75,35,58,94,52；

女：77,55,69,58,76,70,77,89,51,52,63,63,69,83,83,65,100,74.

(1)分别计算和比较男女生得分的平均数和方差；

(2)分别计算男、女生得分的四分位数．

解：男生的数据从小到大的排序为：

35,38,44,46,46,52,54,55,56,57,58,58,63,66,70，

73,75,85,90,94.

女生的数据从小到大排序为：

51,52,55,58,63,63,65,69,69,70,74,76,77,77,83,83,89,100.

(1)男生的平均得分为甲＝×(35＋38＋44＋…＋94)≈61(分)，

男生的方差是s＝×[(35－61)2＋(38－61)2＋…＋(94－61)2]＝256.25，

女生的平均得分是乙＝×(51＋52＋55＋…＋89＋100)≈71(分)，

女生的方差是s＝×[(51－71)2＋(52－71)2＋…＋(100－71)2]≈162.11，

∴甲＜乙，s＞s.

(2)男、女生的四分位数分别为

B级——综合应用

11．已知样本甲：x1，x2，x3，…，xn与样本乙：y1，y2，y3，…，yn，满足yi＝2x＋1(i＝1，2，…，n)，则下列叙述中一定正确的是(　　)

A．样本乙的极差等于样本甲的极差

B．样本乙的众数大于样本甲的众数

C．若某个xi为样本甲的中位数，则yi是样本乙的中位数

D．若某个xi为样本甲的平均数，则yi是样本乙的平均数

【答案】C　∵yi＝2x＋1，∴yi关于xi单调递增，

∴样本乙的极差应大于样本甲的极差，A错误；

样本乙的众数不一定大于样本甲的众数，B错误；

若xi为样本甲的平均数，yi不一定是样本乙的平均数，D错误；

若xi为样本甲的中位数时，则yi一定是样本乙的中位数，C正确．

12．已知样本x1，x2，…，xn的平均数为x，样本y1，y2，…，ym的平均数为y(x≠y)，若样本x1，x2，…，xn，y1，y2，…，ym的平均数z＝ax＋(1－a)y，其中0＜a＜，则n，m(n，m∈N*)的大小关系为(　　)

A．n＝m  B．n≥m

C．n＜m  D．n＞m

【答案】C　由题意得z＝(nx＋my)＝x＋y，∴a＝，

∵0＜a＜，∴0＜＜，又n，m∈N*，∴2n＜n＋m，

∴n＜m.故选C.

13．(多选)随着人民生活水平的提高，对城市空气质量的关注度也逐步增大，如图是某城市1月至8月的空气质量检测情况，图中一、二、三、四级是空气质量等级，一级空气质量最好，一级和二级都是质量合格天气，下面四种说法正确的是(　　)

A．1月至8月空气质量合格天数超过20天的月份有5个

B．第二季度与第一季度相比，空气质量合格天数的比重下降了

C．8月是空气质量最好的一个月

D．6月的空气质量最差

【答案】ABC　1月至8月空气质量合格天数超过20天的月份有：1月，2月，6月，7月，8月，共5个，所以A是正确的；第一季度合格天数的比重为≈0.736 3，第二季度合格天数的比重为≈0.626 4，所以第二季度与第一季度相比，空气质量合格的天数的比重下降了，所以B是正确的；8月空气质量合格天气达到30天，是空气质量最好的一个月，所以C是正确的；5月空气质量合格天气只有13天，5月份的空气质量最差，所以D是错误的，故选A、B、C.

14．已知某省二、三、四线城市数量之比为1∶3∶6,2019年8月份调查得知该省二、三、四线所有城市房产均价为1.2万元/平方米，方差为20，二、三、四线城市的房产均价分别为2.4万元/平方米，1.8万元/平方米，0.7万元/平方米，三、四线城市房价的方差分别为10,8，则二线城市的房价的方差为________．

解析：设二线城市的房价的方差为s2，由题意可知

20＝[s2＋(2.4－1.2)2]＋×[10＋(1.8－1.2)2]＋×[8＋(0.7－1.2)2]，

解得s2＝117.98，

即二线城市的房价的方差为117.98.

【答案】117.98

15．某快递网点收取快递费用的标准是重量不超过1 kg的包裹收费10元，重量超过1 kg的包裹，除收费10元之外，超过1 kg的部分，每超出1 kg(不足1 kg，按1 kg计算)需要再收费5元．该公司近60天每天揽件数量的频率分布直方图如下图所示(同一组数据用该区间的中点值作代表)．

(1)求这60天每天包裹数量的平均数和中位数；

(2)该快递网点负责人从收取的每件快递的费用中抽取5元作为工作人员的工资和网点的利润，剩余的作为其他费用．已知该网点有工作人员3人，每人每天工资100元，以样本估计总体，试估计该网点每天的利润有多少元？

解：(1)每天包裹数量的平均数为0.1×50＋0.1×150＋0.5×250＋0.2×350＋0.1×450＝260(件)，

因为(0,200)的频率为0.2，[200,300)的频率为0.5，

中位数为200＋×100＝260(件)，

所以该网点每天包裹的平均数和中位数都为260件．

(2)由(1)可知平均每天的揽件数为260件，

利润为260×5－3×100＝1 000(元)，

所以该网点平均每天的利润有1 000元．

C级——迁移创新

16．在分层随机抽样时，如果总体分为k层，而且第j层抽取的样本量为nj，第j层的样本均值为j，样本方差为s，j＝1,2，…，k.记n＝j.求证：所有数据的样本均值和方差分别为：＝(njj)，s2＝njs＋nj(j－)2]．

证明：∵j＝j，∴j＝njj.

∴样本均值为＝＝(njj)．

又∵s＝(xj－j)2，∴(xj－j)2＝njs.

计算总体(xj－)2＝(xj－j＋j－)2

＝(xj－j)2＋2(j－)(xj－j)＋nj(j－)2.

又(xj－j)＝j－njj＝njj－njj＝0.

∴(xj－)2＝njs＋nj(j－)2.

∴s2＝＝njs＋nj(j－)2]．