23版新高考一轮分层练案(八)　函数的奇偶性与周期性

一轮分层练案(八)　函数的奇偶性与周期性

A级——基础达标

1．下列函数中，既是偶函数，又在(0，＋∞)上单调递增的函数是(　　)

A．y＝x3    B．y＝|x|＋1

C．y＝－x2＋1    D．y＝2－|x|

【答案】B　y＝|x|＋1是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增，符合题意．

2．已知f(x)为奇函数，当x>0时，f(x)＝x(1＋x)，那么当x<0时，f(x)＝(　　)

A．－x(1－x)    B．x(1－x)

C．－x(1＋x)    D．x(1＋x)

【答案】B　当x<0时，则－x>0，∴f(－x)＝(－x)(1－x)，又∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝x(1－x).

3．已知f(x)＝x5＋ax3＋bx－8(a，b是常数)，且f(－3)＝5，则f(3)＝(　　)

A．21    B．－21

C．26    D．－26

【答案】B　设g(x)＝x5＋ax3＋bx，则g(x)为奇函数．由题设可得f(－3)＝g(－3)－8＝5，得g(－3)＝13.又因为g(x)为奇函数，所以g(3)＝－g(－3)＝－13，于是f(3)＝g(3)－8＝－13－8＝－21.

4．已知定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝－f(x)，f(3－x)＝f(x)，则f(2 019)＝(　　)

A．－3    B．0

C．1    D．3

【答案】B　用－x替代x，得到f(x＋3)＝f(－x)＝－f(x)，

∴T＝6，∴f(2 019)＝f(336×6＋3)＝f(3).

∵f(3－x)＝f(x)，∴f(3)＝f(0)＝0.∴f(2 019)＝0.

5．(多选)已知定义在区间[－7，7]上的一个偶函数，它在[0，7]上的图象如图，则下列说法正确的有(　　)

A．这个函数有两个单调递增区间

B．这个函数有三个单调递减区间

C．这个函数在其定义域内有最大值7

D．这个函数在其定义域内有最小值－7

【答案】BC　根据偶函数在[0，7]上的图象及其对称性，作出其在[－7，7]上的图象，如图所示．由图象可知这个函数有三个单调递增区间，有三个单调递减区间，在其定义域内有最大值7，最小值不是－7，故选B、C.

6．(多选)如果对定义在R上的奇函数y＝f(x)，对任意两个不相等的实数x1，x2，都有x1f(x1)＋x2f(x2)＞x1f(x2)＋x2f(x1)，则称函数y＝f(x)为“H函数”，下列函数为H函数的是(　　)

A．f(x)＝sin x    B．f(x)＝ex

C．f(x)＝x3＋3x    D．f(x)＝x|x|

【答案】CD　因为任意两个不相等的实数x1，x2，都有x1f(x1)＋x2f(x2)＞x1f(x2)＋x2f(x1)，

故x1f(x1)－x1f(x2)＞－x2f(x2)＋x2f(x1)，

即(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0，所以函数f(x)在R上单调递增．

对于A，y＝sin x在R上不单调，不符合题意；

对于B，y＝ex在R上单调递增，但是非奇非偶函数，不符合题意；

对于C，f′(x)＝3x2＋3＞0恒成立，故f(x)在R上单调递增，符合题意；

对于D，由于y＝x|x|＝在R上单调递增，符合题意．故选C、D.

7．(多选)已知f(x)是定义域为R的奇函数，且函数f(x＋2)为偶函数，则下列结论正确的是(　　)

A．函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称

B．f(4)＝0

C．f(x＋8)＝f(x)

D．若f(－3)＝－1，则f(2 021)＝－1

【答案】BCD　根据题意，f(x)是定义域为R的奇函数，

则f(－x)＝－f(x)，

又由函数f(x＋2)为偶函数，

则函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，

则有f(－x)＝f(4＋x)，

则有f(x＋4)＝－f(x)，

即f(x＋8)＝－f(x＋4)＝f(x)，

则函数f(x)是周期为8的周期函数．

据此分析选项：

对于A，函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，A错误；

对于B，f(x)是定义域为R的奇函数，则f(0)＝0，又由函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，则f(4)＝0，B正确；

对于C，函数f(x)是周期为8的周期函数，即f(x＋8)＝f(x)，C正确；

对于D，若f(－3)＝－1，则f(2 021)＝f(－3＋253×8)＝f(－3)＝－1，D正确．

8．已知y＝f(x)＋x2是奇函数，且f(1)＝1，若g(x)＝f(x)＋2，则g(－1)＝________．

解析：令H(x)＝f(x)＋x2，则H(1)＋H(－1)＝f(－1)＋1＋f(1)＋1＝0，∴f(－1)＝－3，∴g(－1)＝f(－1)＋2＝－1.

【答案】－1

9．若函数f(x)＝ax＋b，x∈[a－4，a]的图象关于原点对称，则a＝________，函数g(x)＝bx＋，x∈[－4，－1]的值域为________．

解析：由函数f(x)的图象关于原点对称，可得a－4＋a＝0，即a＝2，则函数f(x)＝2x＋b，其定义域为[－2，2]，所以f(0)＝0，所以b＝0，所以g(x)＝，易知g(x)在区间[－4，－1]上单调递减，故值域为[g(－1)，g(－4)]，即.

【答案】2　

10．已知函数f(x)＝是奇函数．

(1)求实数m的值；

(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围．

解：(1)设x<0，则－x>0，

所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.

又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，

于是x<0时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，所以m＝2.

(2)要使f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，结合f(x)的图象(如图所示)知所以1<a≤3，

故实数a的取值范围是(1，3].

B级——综合应用

11．若两函数具有相同的定义域、单调区间、奇偶性、值域，则称这两函数为“亲密函数”．下列三个函数y＝2|x|－1，y＝，y＝中，与函数f(x)＝x4不是亲密函数的个数为(　　)

A．0    B．1

C．2    D．3

【答案】B　易知函数f(x)＝x4的定义域为R，是偶函数，在(－∞，0)上f(x)单调递减，在(0，＋∞)上f(x)单调递增，y≥0.三个函数的定义域都为R且都为偶函数，单调性也与函数f(x)＝x4保持一致，但是y＝＝1－的最大值接近1，y＝2|x|－1≥0，y＝≥0，故选B.

12．(多选)已知函数f(x)，对∀x∈R，都有f(－2－x)＝f(x)，且任取x1，x2∈[－1，＋∞)，＜0(x1≠x2)，以下结论中正确的是(　　)

A．f(0)＞f(－3)

B．∀x∈R，f(x)≤f(－1)

C．f(a2－a＋1)≥f

D．若f(m)＜f(2)，则－4＜m＜2

【答案】AB　根据题意，函数f(x)对∀x∈R，都有f(－2－x)＝f(x)，

则函数f(x)的图象关于直线x＝－1对称，

又由任取x1，x2∈[－1，＋∞)，＜0(x1≠x2)，

则f(x)在区间[－1，＋∞)上单调递减，

则f(x)在(－∞，－1]上单调递增；

据此分析选项：

对于A，f(－3)＝f(1)，则有f(0)＞f(1)＝f(－3)，A正确；

对于B，f(x)在区间(－∞，－1]上单调递增，在区间[－1，＋∞)上单调递减，故f(x)在x＝－1时，取得最大值，即有∀x∈R，f(x)≤f(－1)，B正确；

对于C，f(x)在区间[－1，＋∞)上单调递减，又由a2－a＋1＝＋≥，则f(a2－a＋1)≤f，C错误；

对于D，若f(m)＜f(2)，则有|m＋1|＞3，解得m＜－4或m＞2，D错误．

13．对于函数y＝f(x)，若存在x0，使f(x0)＋f(－x0)＝0，则称点(x0，f(x0))是曲线f(x)的“优美点”．已知f(x)＝若曲线f(x)存在“优美点”，则实数k的取值范围为________．

解析：由“优美点”的定义，可知若点(x0，f(x0))是曲线y＝f(x)的“优美点”，则点(－x0，－f(x0))也在曲线y＝f(x)上．如图所示作出函数y＝x2＋2x(x<0)的图象，然后作出其关于原点对称的图象，此图象对应的函数解析式为y＝－x2＋2x(x>0).

设过定点(0，2)的直线y＝k1x＋2与曲线y＝f(x)＝－x2＋2x(x>0)切于点A(x1，f(x1))，

则k1＝－2x1＋2＝，

解得x1＝或x1＝－(舍去)，所以k1＝－2＋2.

由图可知，若曲线y＝f(x)存在“优美点”，则k≤2－2.

【答案】(－∞，2－2 ]

14．定义在实数集R上的函数f(x)满足f(x)＋f(x＋2)＝0，且f(4－x)＝f(x).现有以下三种叙述：

①8是函数f(x)的一个周期；

②f(x)的图象关于直线x＝2对称；

③f(x)是偶函数．

其中正确的序号是________．

解析：由f(x)＋f(x＋2)＝0，得f(x＋2)＝－f(x)，

则f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，

即4是f(x)的一个周期，8也是f(x)的一个周期，故①正确；

由f(4－x)＝f(x)，得f(x)的图象关于直线x＝2对称，故②正确；

由f(4－x)＝f(x)与f(x＋4)＝f(x)，

得f(4－x)＝f(－x)，f(－x)＝f(x)，

即函数f(x)为偶函数，故③正确．

【答案】①②③

15．函数f(x)的定义域为D＝{x|x≠0}，且满足对于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2).

(1)求f(1)的值；

(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论；

(3)如果f(4)＝1，f(x－1)<2，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，求x的取值范围．

解：(1)因为对于任意x1，x2∈D有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，所以令x1＝x2＝1，得f(1)＝2f(1)，所以f(1)＝0.

(2)f(x)为偶函数，证明如下：

f(x)定义域关于原点对称，令x1＝x2＝－1，

有f(1)＝f(－1)＋f(－1)，所以f(－1)＝f(1)＝0.

令x1＝－1，x2＝x有f(－x)＝f(－1)＋f(x)，

所以f(－x)＝f(x)，所以f(x)为偶函数．

(3)依题设有f(4×4)＝f(4)＋f(4)＝2，由(2)知f(x)是偶函数，所以f(x－1)<2等价于f(|x－1|)<f(16).

又f(x)在(0，＋∞)上是增函数，

所以0<|x－1|<16，解得－15<x<17且x≠1，

所以x的取值范围是(－15，1)∪(1，17).

C级——迁移创新

16．(必修第一册87页习题13题改编)已知命题p：“函数y＝f(x)的图象关于点P(a，b)成中心对称图形”的充要条件为“函数y＝f(x＋a)－b是奇函数”．

(1)试判断命题p的真假？并说明理由；

(2)设函数g(x)＝x3－3x2，求函数g(x)图象对称中心的坐标；

(3)试判断“存在实数a和b，使得函数y＝f(x＋a)－b是偶函数”是“函数y＝f(x)的图象关于某直线成轴对称图象”成立的什么条件？请说明理由．

解：(1)命题p为真命题；

充分性：若y＝f(x＋a)－b为奇函数，则f(a－x)－b＝－f(a＋x)＋b，即f(a－x)＋f(a＋x)＝2b.

设M(x，y)为f(x)图象上任一点，则M关于点P(a，b)的对称点为N(2a－x，2b－y)，

∵f(2a－x)＝f(a＋(a－x))＝2b－f(a－(a－x))，

∴点N在y＝f(x)图象上，即f(x)的图象上，即f(x)的图象关于点P(a，b)成中心对称图形．

必要性：若y＝f(x)的图象关于点P(a，b)成中心对称图形，

设M(x，y)为f(x)图象上任一点，

则由上述可知f(2a－x)＝2b－f(x).

令x取x＋a，则f(a－x)＋f(a＋x)＝2b，

即f(－x＋a)－b＝－f(a＋x)＋b，

∴y＝f(x＋a)－b为奇函数，

综上命题为真．

(2)设函数f(x)＝g(x＋a)－b为奇函数，

则f(x)＝(x＋a)3－3(x＋a)2－b＝x3＋(3a－3)x2＋(3a2－6a)x＋a3－3a2－b，

∵f(x)＝g(x＋a)－b为奇函数，

则即

由命题p为真命题，则函数g(x)＝x3－3x2图象的对称中心为(1，－2).

(3)若存在实数a和b，使得函数y＝f(x＋a)－b是偶函数，则可以通过上下平移和左右平移，即可得到y＝f(x)的图象，此时“函数y＝f(x)的图象关于某直线成轴对称图象”成立，若函数y＝f(x)的图象关于y＝x成轴对称图象，则无论怎么平移都无法平移到关于y轴对称，即必要性不成立，故“存在实数a和b，使得函数y＝f(x＋a)－b是偶函数”是“函数y＝f(x)的图象关于某直线成轴对称图象”成立的充分不必要条件．