23版新高考一轮分层练案(二十九)　等差数列及其前n项和

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一轮分层练案(二十九)　等差数列及其前n项和

A级——基础达标
1．等差数列{an}中，a4＋a8＝10，a10＝6，则公差d＝(　　)
A. B．
C.2 D．－
【答案】A　由a4＋a8＝2a6＝10，得a6＝5，所以4d＝a10－a6＝1，解得d＝.
2．在等差数列{an}中，a2，a14是方程x2＋6x＋2＝0的两个实数根，则＝(　　)
A.－ B．－3
C.－6 D．2
【答案】A　因为a2，a14是方程x2＋6x＋2＝0的两个实数根，所以a2＋a14＝2a8＝－6，a8＝－3，a2·a14＝2，所以＝＝－.故选A.
3．数列{an}中，a1＝2，a2＝1，且＋＝(n∈N*)，则a10＝(　　)
A.－5 B．－
C.5 D．
【答案】D　∵＋＝(n∈N*)，∴是等差数列，又∵a1＝2，a2＝1，∴＝，－＝，
∴是首项为，公差为的等差数列，
∴＝，an＝，∴a10＝.故选D.
4．程大位《算法统宗》里有诗云“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠．次第每人多十七，要将第八数来言．务要分明依次弟，孝和休惹外人传．”意为996斤棉花，分别赠送给8个子女做旅费，从第一个开始，以后每人依次多17斤，直到第八个孩子为止．分配时一定要等级分明，使子女孝顺的美德外传，则第八个孩子分得斤数为(　　)
A.65 B．176
C.183 D．184
【答案】D　根据题意可知每个孩子所得棉花的斤数构成一个等差数列{an}，其中d＝17，n＝8，S8＝996.
由等差数列前n项和公式可得8a1＋×17＝996，
解得a1＝65.
由等差数列通项公式得a8＝65＋(8－1)×17＝184.
则第八个孩子分得斤数为184.
5．(多选)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S7＝a4，则(　　)
A.a1＋a3＝0 B．a3＋a5＝0
C.S3＝S4 D．S4＝S5
【答案】BC　由S7＝＝7a4＝a4，得a4＝0，所以a3＋a5＝2a4＝0，S3＝S4，故选B、C.
6．(多选)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，a2＝2，且对于任意n>1，n∈N*，满足Sn＋1＋Sn－1＝2(Sn＋1)，则(　　)
A.a9＝17 B．a10＝18
C.S9＝81 D．S10＝91
【答案】BD　∵对于任意n>1，n∈N*，满足Sn＋1＋Sn－1＝2(Sn＋1)，
∴Sn＋1－Sn＝Sn－Sn－1＋2，∴an＋1－an＝2.
∴数列{an}在n≥2时是等差数列，公差为2.
又a1＝1，a2＝2，
则a9＝2＋7×2＝16，a10＝2＋8×2＝18，S9＝1＋8×2＋×2＝73，S10＝1＋9×2＋×2＝91.故选B、D.
7．(多选)设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则(　　)
A.an＝－
B.an＝
C.数列为等差数列
D.＋＋…＋＝－5 050
【答案】BCD　Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，
则Sn＋1－Sn＝SnSn＋1，
整理得－＝－1(常数)，
所以数列是以＝－1为首项，－1为公差的等差数列．故C正确；
所以＝－1－(n－1)＝－n，故Sn＝－.
所以当n≥2时，
an＝Sn－Sn－1＝－(首项不符合通项)，
故an＝故B正确，A错误；
所以＋＋…＋＝－(1＋2＋3＋…＋100)＝－5 050，故D正确．
8．已知数列{an}的通项公式an＝11－2n，Sn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|，则S10＝______．
解析：由an＝11－2n≥0，得n≤，
∴数列{an}的前5项为正数，从第6项起为负数，
又由an＝11－2n，得a1＝9，an＋1－an＝11－2(n＋1)－11＋2n＝－2，
∴数列{an}是首项为9，公差为－2的等差数列．
则S10＝|a1|＋|a2|＋…＋|a10|＝(a1＋a2＋…＋a5)－(a6＋a7＋…＋a10)
＝－(a1＋a2＋…＋a10)＋2(a1＋a2＋…＋a5)
＝－S10＋2S5＝－＋2
＝－(10×9－90)＋2×(5×9－20)＝50.
【答案】50
9．等差数列{an}中，已知Sn是其前n项和，a1＝－9，－＝2，则an＝________，S10＝________．
解析：设等差数列{an}的公差为d，
∵－＝2，∴d－d＝2，
∴d＝2，∵a1＝－9，∴an＝－9＋2(n－1)＝2n－11，
S10＝10×(－9)＋×2＝0.
【答案】2n－11　0
10．已知数列{an}的各项均为正数，其前n项和为Sn，且满足2Sn＝a＋n－4(n∈N*).
(1)求证：数列{an}为等差数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
解：(1)证明：当n＝1时，有2a1＝a＋1－4，
即a－2a1－3＝0，
所以a1＝3(a1＝－1舍去)；
当n≥2时，有2Sn－1＝a＋n－5，
又2Sn＝a＋n－4，
所以两式相减得2an＝a－a＋1，
即a－2an＋1＝a，
即(an－1)2＝a，
因此an－1＝an－1或an－1＝－an－1.
若an－1＝－an－1，则an＋an－1＝1.
而a1＝3，
所以a2＝－2，这与数列{an}的各项均为正数矛盾，
所以an－1＝an－1，即an－an－1＝1，
因此数列{an}为等差数列．
(2)由(1)知a1＝3，数列{an}的公差d＝1，
所以数列{an}的通项公式为an＝3＋(n－1)×1＝n＋2.
B级——综合应用
11．已知Sn是等差数列{an}的前n项和，则“Sn＞nan对n≥2恒成立”是“a3＞a4”的(　　)
A.充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C.充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C　设等差数列的公差为d，当n≥2时，因为Sn>nan⇔>nan⇔a1>an⇔(n－1)d<0⇔d<0，a3>a4⇔a4－a3<0⇔d<0，所以Sn>nan(n≥2)⇔a3>a4，所以“Sn>nan(n≥2)”是“a3>a4”的充要条件，故选C.
12．已知点(n，an)(n∈N*)在函数y＝ln x的图象上，若满足Sn＝e＋e＋…＋e≥m的n的最小值为5，则m的取值范围是(　　)
A.(10，15] B．(－∞，15]
C.(15，21] D．(－∞，21]
【答案】A　由于点(n，an)(n∈N*)在函数y＝ln x的图象上，则an＝ln n，则e＝n，
所以，Sn＝e＋e＋…＋e＝1＋2＋…＋n＝，
由于满足Sn＝e＋e＋…＋e≥m的n的最小值为5，则S4 因此，实数m的取值范围是(10，15].故选A.
13．(多选)我国天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同(晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度).二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始．已知每年冬至的晷长为一丈三尺五寸，夏至的晷长为一尺五寸(一丈等于十尺，一尺等于十寸)，则说法正确的有(　　)

A.相邻两个节气晷长减少或增加的量为一尺
B.春分和秋分两个节气的晷长相同
C.立冬的晷长为一丈五寸
D.立春的晷长比立秋的晷长短
【答案】ABC　由题意可知夏至到冬至的晷长构成等差数列{an}，其中a1＝15寸，a13＝135寸，公差为d寸，则135＝15＋12d，解得d＝10寸，
同理可知由冬至到夏至的晷长构成等差数列{bn}，首项b1＝135，末项b13＝15，公差d＝－10(单位都为寸).
故A正确；
∵春分的晷长为b7，∴b7＝b1＋6d＝135－60＝75，
∵秋分的晷长为a7，∴a7＝a1＋6d＝15＋60＝75，故B正确；
∵立冬的晷长为a10，∴a10＝a1＋9d＝15＋90＝105，即立冬的晷长为一丈五寸，故C正确；
∵立春的晷长，立秋的晷长分别为b4，a4，
∴a4＝a1＋3d＝15＋30＝45，b4＝b1＋3d＝135－30＝105，
∴b4>a4，故D错误．故选A、B、C.
14．已知数列{an}与均为等差数列(n∈N*)，且a1＝2，则a20＝________．
解析：设an＝2＋(n－1)d，
所以＝
＝，
由于为等差数列，
所以其通项是一个关于n的一次函数，
所以(d－2)2＝0，所以d＝2.
所以a20＝2＋(20－1)×2＝40.
【答案】40
15．已知等差数列{an}的公差d>0，设{an}的前n项和为Sn，a1＝1，S2S3＝36.
(1)求d及Sn；
(2)求m，k(m，k∈N*)的值，使得am＋am＋1＋am＋2＋…＋am＋k＝65.
解：(1)由题意知(a1＋a2)(a1＋a2＋a3)＝36，
即(2a1＋d)(3a1＋3d)＝36，
将a1＝1代入上式，解得d＝2或d＝－5，
因为d>0，所以d＝2，
所以an＝1＋2(n－1)＝2n－1，
Sn＝n＋·2＝n2.
(2)由(1)得am＋am＋1＋am＋2＋…＋am＋k＝2m－1＋2(m＋1)－1＋2(m＋2)－1＋…＋2(m＋k)－1＝(2m＋k－1)(k＋1)，
所以(2m＋k－1)(k＋1)＝65，
由m，k∈N*知2m＋k－1≥k＋1>1，且2m＋k－1与k＋1均为整数，
故解得
即m的值为5，k的值为4.

C级——迁移创新

16．已知{an}为等差数列，a1，a2，a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且a1，a2，a3中的任何两个数都不在下表的同一列．

第一列
第二列
第三列
第一行



第二行
4
6
9
第三行
12
8
7

请从①a1＝2，②a1＝1，③a1＝3的三个条件中选一个填入上表，使满足以上条件的数列{an}存在；并在此存在的数列{an}中，试解答下列两个问题．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设数列{bn}满足bn＝(－1)n＋1a，求数列{bn}的前n项和Tn.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
解：(1)若选择条件①，当第一行第一列为a1时，由题意知，可能的组合有，a1＝2，a2＝6，a3＝7，不是等差数列，a1＝2，a2＝9，a3＝8，不是等差数列；
当第一行第二列为a1时，由题意知，可能的组合有，a1＝2，a2＝4，a3＝7，不是等差数列，a1＝2，a2＝9，a3＝12，不是等差数列；
当第一行第三列为a1时，由题意知，可能的组合有，a1＝2，a2＝4，a3＝8，不是等差数列，a1＝2，a2＝6，a3＝12，不是等差数列，
则放在第一行的任何一列，满足条件的等差数列{an}都不存在．
若选择条件②，当第一行第一列为a1时，由题意知，可能的组合有，a1＝1，a2＝6，a3＝7，不是等差数列，a1＝1，a2＝9，a3＝8，不是等差数列；当第一行第三列为a1时，由题意知，可能的组合有，a1＝1，a2＝4，a3＝8，不是等差数列，a1＝1，a2＝6，a3＝12，不是等差数列，当放在第一行第二列时，由题意知，可能的组合有a1＝1，a2＝9，a3＝12，不是等差数列，a1＝1，a2＝4，a3＝7，则公差d＝a2－a1＝3，所以an＝a1＋(n－1)d＝3n－2，n∈N*.
若选择条件③，当第一行第一列为a1时，由题意知，可能的组合有，a1＝3，a2＝6，a3＝7，不是等差数列，a1＝3，a2＝9，a3＝8，不是等差数列；
当第一行第二列为a1时，由题意知，可能的组合有，a1＝3，a2＝4，a3＝7，不是等差数列，a1＝3，a2＝9，a3＝12，不是等差数列；
当第一行第三列为a1时，由题意知，可能的组合有，a1＝3，a2＝4，a3＝8，不是等差数列，a1＝3，a2＝6，a3＝12，不是等差数列，
则放在第一行的任何一列，满足条件的等差数列{an}都不存在．
综上可知：an＝3n－2，n∈N*.
(2)由(1)知，bn＝(－1)n＋1(3n－2)2，
所以当n为偶数时，
Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝a－a＋a－a＋…＋a－a
＝(a1＋a2)(a1－a2)＋(a3＋a4)(a3－a4)＋…＋(an－1＋an)(an－1－an)
＝－3(a1＋a2＋a3＋…＋an)＝－3×＝－n2＋n；
当n为奇数时，Tn＝Tn－1＋bn＝－(n－1)2＋(n－1)＋(3n－2)2＝n2－n－2，
所以Tn＝