2023宜宾叙州区二中校高二上学期期中考试数学（理）试题含答案

叙州区二中2022-2023学年高二上期中考试

理科数学

考试时间：120分钟     满分：150分 

第I卷  选择题（60分）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．不等式的解集是（    ）

A．  B．   C．D．

2．“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

3．执行如图所示的程序框图，若输入t的取值范围为，则输出s的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

4．点关于直线的对称点的坐标为（    ）

A． B． C． D．

5．若点在圆的外部，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

6．在正方体中，P为的中点，则直线与所成的角为（    ）

A． B． C． D．

7．已知，，且，则的最小值为（    ）

A．8 B． C．9 D．

8．直线被圆所截得的弦长为（    ）

A． B．4 C． D．

9．已知命题关于的方程没有实根；命题，.若和都是假命题，则实数的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

10．关于的不等式 的解集中恰有个整数，则实数的取值范围是（　　）

A．  B．

C．  D．

11．已知A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且，则三棱锥的体积为（    ）

A． B． C． D．

12．如图1所示，双曲线具有光学性质；从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点．若双曲线E：的左、右焦点分别为，，从发出的光线经过图2中的A，B两点反射后，分别经过点C和D，且，，则E的离心率为（    ）

A． B． C． D．

第II卷   非选择题（90分）

二、填空题(5分每题，共20分)

13．某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为100，200，150，50件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取___________件．

14．若直线：与直线：平行，则直线与之间的距离为______．

15．已知实数满足，则目标函数的最大值为______．

16．已知过点作抛物线的两条切线，切点分别为A，B，直线AB经过抛物线C的焦点F，则___________．

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答

17．（10分）已知点，直线，直线.

(1)求点A关于直线的对称点B的坐标；

(2)求直线关于直线的对称直线方程.

18．（12分）已知圆C：．

(1)若过点的直线l与圆C相交所得的弦长为，求直线l的方程；

(2)若P是直线：上的动点，PA，PB是圆C的两条切线，A，B是切点，求四边形PACB面积的最小值．

19．（12分）如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点.

（1）证明：；

（2）若是边长为1的等边三角形，点在棱上，，且二面角的大小为，求三棱锥的体积.

20．（12分）已知抛物线的焦点F到准线的距离为2．

（1）求C的方程;

（2）已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足，求直线斜率的最大值.

21．（12分）已知双曲线C： 的离心率为，过点作垂直于x轴的直线截双曲线C所得弦长为．

(1)求双曲线C的方程；

(2)直线 （）与该双曲线C交于不同的两点A，B，且A，B两点都在以点为圆心的同一圆上，求m的取值范围．

22．（12分）已知椭圆：的左、右焦点分别为，离心率，为椭圆上的任意一点（不含长轴端点），且面积的最大值为1.

（1）求椭圆的方程；

（2）已知直线与椭圆交于不同的两点，且线段的中点不在圆内，求的取值范围.

叙州区二中2022-2023学年高二上期中考试

理科数学参考答案：

1．C   2．A   3．A   4．A   5．C   6．D  7．C  8．A  9．D  10．C  11．A  12．B

13．    14．    15．-4    16．

17．（1）设点，则由题意可得，解得，

所以点B的坐标为，

（2）由，得，所以两直线交于点，

在直线上取一点，设其关于直线的对称点为，则

，解得，即，

所以，

所以直线为，即，

所以直线关于直线的对称直线方程为

18．(1)圆C：化为标准方程为：，所以圆心为，半径为r=4.

（1）当斜率不存在时,x=1代入圆方程得,弦长为,不满足条件；

（2）当斜率存在时,设即.

圆心C到直线l的距离，

解得: 或k=0,所以直线方程为或.

(2)过P作圆C的两条切线，切点分别为A、B，连结CA、CB，则.

因为,所以

所以.

所以当时, 最小，四边形PACB面积取得最小值.

所以，所以，即四边形PACB面积的最小值为8.

19．（1）因为，O是中点，所以，

因为平面，平面平面，

且平面平面，所以平面．

因为平面，所以.

（2）[方法一]：通性通法—坐标法

如图所示，以O为坐标原点，为轴，为y轴，垂直且过O的直线为x轴，建立空间直角坐标系，

则，设,

所以，

设为平面的法向量，

则由可求得平面的一个法向量为．

又平面的一个法向量为，

所以，解得．

又点C到平面的距离为，所以，

所以三棱锥的体积为．

[方法二]【最优解】：作出二面角的平面角

如图所示，作，垂足为点G．

作，垂足为点F，连结，则．

因为平面，所以平面，

为二面角的平面角．

因为，所以．

由已知得，故．

又，所以．

因为，

．

[方法三]：三面角公式

考虑三面角，记为，为，，

记二面角为．据题意，得．

对使用三面角的余弦公式，可得，

化简可得．①

使用三面角的正弦公式，可得，化简可得．②

将①②两式平方后相加，可得，

由此得，从而可得．

如图可知，即有，

根据三角形相似知，点G为的三等分点，即可得，

结合的正切值，

可得从而可得三棱锥的体积为．

20．（1）抛物线的焦点，准线方程为，

由题意，该抛物线焦点到准线的距离为，

所以该抛物线的方程为；

（2）[方法一]：轨迹方程+基本不等式法

设，则，

所以，

由在抛物线上可得，即，

据此整理可得点的轨迹方程为，

所以直线的斜率，

当时，；

当时，，

当时，因为，

此时，当且仅当，即时，等号成立；

当时，；

综上，直线的斜率的最大值为.

[方法二]：【最优解】轨迹方程+数形结合法

同方法一得到点Q的轨迹方程为．

设直线的方程为，则当直线与抛物线相切时，其斜率k取到最值．联立得，其判别式，解得，所以直线斜率的最大值为．

[方法三]：轨迹方程+换元求最值法

同方法一得点Q的轨迹方程为．设直线的斜率为k，则．

令，则的对称轴为，所以．故直线斜率的最大值为．

[方法四]：参数+基本不等式法

由题可设．因为，所以．

于是，所以则直线的斜率为．

当且仅当，即时等号成立，所以直线斜率的最大值为．

21．（1）解：因为过点作垂直于x轴的直线截双曲线C所得弦长为，

所以点在双曲线上，

由题意，得，解得，，， 即双曲线的标准方程为.

（2）联立，得，

因为直线与该双曲线C交于不同的两点，所以且，

即且，设，，的中点，

则，，因为A，B两点都在以点为圆心的同一圆上，

所以，即，因为，，所以，

即，将代入，得，

解得或，即m的取值范围为或.

22．（Ⅰ）由题可知，又a2=b2+c2，

∴，故------3分

所以椭圆的标准方程为                      

（II）联立方程消去y 整理得：

则，解得…..8分

设，则，

即AB的中点为

又AB的中点不在园内，所以，解得

综上可知，