广东省佛山市南海实验中学2022-2023学年九年级上学期 数学第三次月考测试题(含答案)

这是一份广东省佛山市南海实验中学2022-2023学年九年级上学期 数学第三次月考测试题(含答案)，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

广东省佛山市南海实验中学2022-2023学年第一学期九年级数学第三次月考测试题（附答案）
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．用配方法解方程x2﹣6x+4＝0，下列配方正确的是（　　）
A．（x﹣3）2＝13 B．（x+3）2＝13 C．（x﹣3）2＝5 D．（x+3）2＝5
2．关于x的方程x2+mx+6＝0的一个根为﹣2，则另一个根是（　　）
A．﹣3 B．﹣6 C．3 D．6
3．如果分式的值为0，那么x的值是（　　）
A．±1 B．1 C．﹣2 D．﹣1
4．如图所示，在矩形ABCD中，已知AE⊥BD于E，∠DBC＝30°，BE＝1cm，则AE的长为（　　）

A．3cm B．2cm C．2cm D．cm
5．菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是AD，CD边上的中点，连接EF．若EF＝，BD＝2，则菱形ABCD的面积为（　　）

A．2 B． C．6 D．8
6．如图，正方形ABCD的面积为256，点F在AD上，点E在AB的延长线上，Rt△CEF的面积为200，则BE的长为（　　）

A．10 B．11 C．12 D．15
7．在“﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3”七个数中，任取一个数等于a，恰好使方程（a2﹣1）x2+（a+2）x+a﹣3＝0是一元二次方程的概率是（　　）
A． B． C． D．1
8．如图，在▱ABCD中，E是AD上一点，且EM∥AD，EN∥CD，则下列式子中错误的是（　　）

A． B． C． D．
9．如图所示几何体的左视图是（　　）

A． B．
C． D．
10．如图，点B是反比例函数y＝（x＞0）图象上一点，过点B分别向坐标轴作垂线，垂足为A，C．反比例函数y＝（x＞0）的图象经过OB的中点M，与AB，BC分别相交于点D，E．连接DE并延长交x轴于点F，点G与点O关于点C对称，连接BF，BG．则△BDF的面积为（　　）

A． B． C．2 D．3
二、填空题（每小题4分，共28分）
11．若直角三角形斜边上的高和中线长分别是3cm和4cm，则它的面积是　 　．
12．设α、β是方程x2+2x﹣2021＝0的两根，则α2+3α+β的值为　 　．
13．一个口袋中装有8个黑球和若干个白球，现从口袋中随机摸出一球，记下其颜色，再把它放回口袋中．不断重复上述过程，若共摸了200次，其中有50次摸到黑球，因此可估计口袋中大约有白球　 　个．
14．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝9，DB＝3，CE＝2，则AC的长为　 　．

15．如图，一棵树（AB）的高度为7.5米，下午某一个时刻它在水平地面上形成的树影长（BE）为10米，现在小明想要站这棵树下乘凉，他的身高为1.5米，那么他最多离开树干　 　米才可以不被阳光晒到？

16．如图，点A是反比例函数y＝在第四象限上的点，AB⊥x轴，若S△AOB＝1，则k的值为 　 　．

17．如图，AD是△ABC的中线，E是AD上的一点，且DE＝2AE，CE的延长线交AB于点F．若AF＝1.6cm，则AB＝　 　cm．

三、解答题（共62分）
18．解方程：3x（x﹣3）＝2x﹣6．
19．在不透明的袋子里装有2个红球、1个蓝球（除颜色外其余都相同），
（1）第一次任意摸出一个球（不放回），第二次再摸出一个球，请用画树状图或列表的方法，求两次摸到一红一蓝的概率．
（2）若向袋中再放入若干个同样的蓝球，搅拌均匀后，使从袋中摸出一个蓝球的概率为，求后来放入袋中的蓝球个数．
20．如图1，是一个长方体截成的几何体，请在网格中依次画出这个几何体的三视图．

21．如图，矩形ABCD中，AB＝8厘米，BC＝12厘米，P、Q分别是AB、BC上运动的两点．若点P从点A出发，以1厘米/秒的速度沿AB方向运动，同时，点Q从点B出发以2厘米/秒的速度沿BC方向运动，设点P，Q运动的时间为x秒．
（1）当x为何值时，△PBQ的面积等于12厘米2；
（2）当x为何值时，以P，B，Q为顶点的三角形与△BDC相似？

22．“天下面食，尽在三晋”，山西面食历史悠久．太原一家特色小面店希望在旅游旺季期间获得较好的收益，经测算知，该小面的成本价为每碗6元，借鉴以往经验，若每碗售价为25元，平均每天可销售300碗，售价每降低1元，平均每天可多销售30碗．设每碗售价降低x元．
（1）平均每天可销售 　 　碗（用含x的代数式表示）；
（2）为了维护城市形象，规定每碗售价不得超过20元，那么当每碗售价定为多少元时，店家才能每天盈利6300元？
23．如图，在△ABD中，AB＝AD，AO平分∠BAD，过点D作AB的平行线交AO的延长线于点C，连接BC．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）如果OA，OB（OA＞OB）的长（单位：米）是一元二次方程x2﹣7x+12＝0的两根，求AB的长以及菱形ABCD的面积；
（3）在（2）的条件下，若动点M从A出发，沿AC以2米/秒的速度匀速直线运动到点C，动点N从B出发，沿BD以1米/秒的速度匀速直线运动到点D，当M运动到C点时，运动停止．若M、N同时出发，问出发几秒钟后，△MON的面积为2平方米．

24．如图，在平面直角坐标系中，点B在x轴上，∠ABO＝90°，AB＝BO，直线y＝kx﹣4与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A，与y轴分别交于点C．
（1）求k的值；
（2）点D与点O关于AB对称，连接AD，CD．证明：△ACD是直角三角形；
（3）在（2）的条件下，点E在反比例函数的图象上，若S△ECD＝S△OCD，直接写出点E的坐标．



25．△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B，C重合），以AD为边在AD右侧作正方形ADEF，连接CF．
（1）探究猜想：如图1，当点D在线段BC上时，
①BC与CF的位置关系为：　 　；
②BC、CD、CF之间的数量关系为：　 　；
（2）深入思考：如图2，当点D在线段CB的延长线上时，结论①、②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．
（3）拓展延伸：如图3，当点D在线段BC的延长线上时，正方形ADEF对角线交于点O．若已知AB＝4，CD＝BC，请求出OC的长．


参考答案
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．解：x2﹣6x＝﹣4，
x2﹣6x+32＝5，
（x﹣3）2＝5．
故选：C．
2．解：设方程的另一根为x1，
又∵x2＝﹣2，
∴根据根与系数的关系可得：，
解得：x1＝﹣3，m＝﹣5．
故选：A．
3．解：由题意得：
|x|﹣1＝0，且x2+x﹣2≠0，
解得：x＝﹣1，
故选：D．
4．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝∠BAD＝90°，
∵∠DBC＝30°，
∴∠ABE＝60°，
∵AE⊥BD，
∴∠BAE＝30°，
∴AE＝BE＝cm，
故选：D．
5．解：∵E，F分别是AD，CD边上的中点，EF＝，
∴AC＝2EF＝2，
又∵BD＝2，
∴菱形ABCD的面积S＝×AC×BD＝×2×2＝2，
故选：A．
6．解：∵∠ECF＝90°，∠DCB＝90°，
∴∠BCE＝∠DCF，
∵，
∴△CDF≌△CBE，故CF＝CE．
因为Rt△CEF的面积是200，即
•CE•CF＝200，故CE＝20．
正方形ABCD的面积＝BC2＝256，得BC＝16．
根据勾股定理得：BE＝＝12．
故选：C．
7．解：当a2﹣1≠0，即a≠±1时，方程（a2﹣1）x2+（a+2）x+a﹣3＝0是一元二次方程，
∴在“﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3”七个数中有5个数使方程（a2﹣1）x2+（a+2）x+a﹣3＝0是一元二次方程，
∴恰好使方程（a2﹣1）x2+（a+2）x+a﹣3＝0是一元二次方程的概率是，
故选：C．
8．解：A、∵EM∥AD，
∴，故正确；
B、∵EM∥AD，EN∥CD，
∴＝，＝，
∴＝，故正确；
C、∵EM∥AD，EN∥CD，
∴，，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AB＝CD，
∴，故正确；
D、∵EN∥CD，
∴，故错误．
故选：D．
9．解：根据左视图的定义可知，这个几何体的左视图是选项D，
故选：D．
10．解：（1）设点B（s，t），st＝8，则点M（s，t），
则k＝st＝st＝＝2，
∴△BDF的面积＝△OBD的面积＝S△BOA﹣S△OAD＝×8﹣×2＝3；
故选：D．
二、填空题（每小题4分，共28分）
11．
解：∵在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，CE是△ACB中线，CE＝4cm，
∴AB＝2CE＝8cm，
∴△ACB的面积是×AB×CD＝×8cm×3cm＝12cm2，
故答案为：12cm2．
12．解：根据题意知，α2+2α﹣2021＝0，即α2+2α＝2021．
又∵α+β＝﹣2．
所以α2+3α+β＝α2+2α+（α+β）＝2021﹣2＝2019．
故答案是：2019．
13．解：200次中摸到黑球的频率为＝0.25，而这个口袋中有黑球8个，则总球数为8÷0.25＝32个，所以白球的个数为32﹣8＝24．
14．解：∵DE∥BC，AD＝9，DB＝3，CE＝2，
∴＝，即＝，
解得，AE＝6，
∴AC＝AE+EC＝8，
故答案为：8．
15．解：设小明这个时刻在水平地面上形成的影长为x米，
根据题意得＝，解得x＝2，
小明这个时刻在水平地面上形成的影长为2米，
因为10﹣2＝8（米），
所以他最多离开树干8米才可以不被阳光晒到．
故答案为8．
16．解：设A（x，y），
则OB＝x，AB＝﹣y，
∵S△AOB＝1，
∴OB×AB＝1，
∴﹣xy＝2，
∴xy＝﹣2，
∵点A在y＝上，
∴k＝xy＝﹣2，
故答案为：﹣2．
17．解：作DH∥CF交AB于H，
则＝＝1，＝＝，
∴FH＝HB，FH＝2AF，
∵AF＝1.6cm，
∴FH＝3.2cm，
∴HB＝FH＝3.2cm，
∴AB＝AF+FH+HB＝1.6+3.2+3.2＝8cm．
故答案为：8．

三、解答题（共62分）
18．解：∵3x（x﹣3）＝2x﹣6，
∴3x（x﹣3）﹣2（x﹣3）＝0，
则（x﹣3）（3x﹣2）＝0，
则x﹣3＝0或3x﹣2＝0，
解得x1＝3，x2＝．
19．解：（1）列表如下：

红
红
蓝
红

（红，红）
（蓝，红）
红
（红，红）

（蓝，红）
蓝
（红，蓝）
（红，蓝）

由表知，共有6种等可能结果，其中两次摸到一红一蓝的有4种结果，
所以两次摸到一红一蓝的概率为＝；
（2）设后来放入的篮球有x个，
根据题意，得：＝，
解得x＝3，
经检验：x＝3是分式方程的解，
所以后来放入袋中的蓝球有3个．
20．解：三视图，如图所示．

21．解：（1）由题意得：×BQ×BP＝12，
即•2x•（8﹣x）＝12，
整理得：x2﹣8x+12＝0，
解得：x＝2或6，
即当x为2或6时，△PBQ的面积等于12厘米2；
（2）①当∠1＝∠2时，由∠PBQ＝∠BCD＝90°，
所以△QBP∽△BCD，
则＝，
即＝，
解得：x＝；
②当∠1＝∠3时，由∠PBQ＝∠BCD＝90°，
所以△PBQ∽△BCD，
所以＝，
即＝，
解得：x＝2；
即x＝或x＝2时，以P、B、Q为顶点的三角形与△BDC相似．
22．解：（1）设每碗售价降低x元．
平均每天可销售（300+30x）碗．
故答案为：（300+30x）；
（2）设每碗售价降低x元．店家才能实现每天利润6300元，依题意有：
（25﹣x﹣6）（300+30x）＝6300，
解得x1＝4，x2＝5，
当x＝4时，售价为21元，
当x＝5时，售价为20元，
∵每碗售价不得超过20元，
∴x＝5．
答：当每碗售价定为20元时，店家才能实现每天利润6300元．
23．（1）证明：∵AO平分∠BAD，AB∥CD，
∴∠DAC＝∠BAC＝∠DCA，
∴△ACD是等腰三角形，AD＝DC，
又∵AB＝AD，
∴AB＝CD，
∴四边形ABCD为平行四边形，
又∵AB＝AD，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）解：解方程x2﹣7x+12＝0，得，
OA＝4，OB＝3，
利用勾股定理AB＝＝5，
S菱形ABCD＝AC×BD＝×8×6＝24平方米；
（3）解：在第（2）问的条件下，设M、N同时出发x秒钟后，△MON的面积2m2，
当点M在OA上时，x＜2，S△MON＝（4﹣2x）（3﹣x）＝2，
解得x1＝1，x2＝4（大于2，舍去）；
当点M在OC上且点N在OB上时，2＜x＜3，S△MON＝（3﹣x）（2x﹣4）＝2，
整理得，x2+5x+8＝0，方程无解．
当点M在OC上且点N在OD上时，即3＜x≤4，S△MON＝（2x﹣4）（x﹣3）＝2，
解得x1＝4，x2＝1（小于3，舍去）．
综上所述：M，N出发1秒或4秒钟后，△MON的面积为2m2．
24．（1）解：令AB＝BO＝m，
∵∠ABO＝90°，
∴AB⊥x轴，则设点A的坐标为（m，m），
∵反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A，
∴＝m，
解得m＝±2，
∵m＞0，
∴m＝2，
∵点A（2，2）在直线y＝kx﹣4上，
∴2＝2k﹣4，
∴k＝3；

（2）证明：由（1）可知B（2，0），AB＝2，
∵AB⊥BO，点D与点O关于AB对称，
∴D（4，0），BD＝2，
∴AD2＝AB2+BD2＝22+22＝8，
过点A作AE⊥y轴，垂足为E，则点E（0，2），AE＝2，
∵直线y＝3x﹣4与y轴交于点C，
∴C（0，﹣4）则CE＝6，
∴AC2＝AE2+CE2＝22+62＝40，
∵∠OCD＝90°，OD＝4，OC＝4，
∴CD2＝OD2+OC2＝42+42＝32，
∵8+32＝40，
∴AD2+CD2＝AC2，
∴△ACD是直角三角形；
（3）解：①当点E在CD上方时，如下图，

过点O、A作直线m，
由点O、A的坐标知，直线OA的表达式为y＝x，
由点C、D的坐标知，直线CD的表达式为y＝x﹣4，
则直线CD∥m，即OA∥CD，
∵S△ECD＝S△OCD，即两个三角形同底，
则点E与点A重合，
故点E的坐标为（2，2）；
②当点E（E′）在CD下方时，
在y轴负半轴取CH＝OC＝4，则点H（0，﹣8），
∵则S△ECD＝S△OCD，
∴过点H作直线m′∥CD，则直线m′与反比例函数的交点即为点E，
∴直线m′的表达式为y＝x﹣8，
联立y＝x﹣8和y＝并解得（不合题意值已舍去），
故点E的坐标为（4+2，2﹣4），
综上，点E的坐标为（4+2，2﹣4）或（2，2）．
25．解：（1）如图1，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠ABD＝∠ACB＝45°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AF，∠DAF＝90°，
∴∠BAD＝∠CAF＝90°﹣∠DAC，
∴△BAD≌△CAF（SAS），
∴∠ABD＝∠ACF＝45°，BD＝CF，
①∵∠BCF＝∠ACB+∠ACF＝45°+45°＝90°，
∴BC⊥CF，
故答案为：BC⊥CF．
②∵BC＝CD+BD＝CD+CF，
∴BC＝CD+CF，
故答案为：BC＝CD+CF．
（2）结论①，即BC⊥CF成立，结论②，即BC＝CD+CF不成立，BC＝CD﹣CF，
证明：如图2，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AF，∠DAF＝90°，
∴∠BAD＝∠CAF＝90°﹣∠BAF，
∴△BAD≌△CAF（SAS），
∴∠ABD＝∠ACF，BD＝CF，
∵∠ACF＝∠ABD＝180°﹣∠ABC＝180°﹣45°＝135°，
∴∠BCF＝∠ACF﹣∠ACB＝135°﹣45°＝90°，
∴BC⊥CF，
∴结论①成立；
∵BC＝CD﹣BD＝CD﹣CF，
∴结论②不成立，BC＝CD﹣CF成立．
（3）如图3，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠ABD＝∠ACB＝45°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AF，∠DAF＝90°，
∴∠BAD＝∠CAF＝90°+∠DAC，
∴△BAD≌△CAF（SAS），
∴∠ABD＝∠ACF＝45°，BD＝CF，
∵∠BCF＝∠ACB+∠ACF＝45°+45°＝90°，
∴BC⊥CF，
∴∠FCD＝90°，
∵AB＝AC＝4，∠BAC＝90°，
∴BC＝＝＝8，
∵CD＝BC＝×8＝2，
∴CF＝BD＝BC+CD＝8+2＝10，
∴DF＝＝＝2，
∵OD＝OF，
∴OC＝DF＝×2＝，
∴OC的长为．