福建省福州市福清市2022-2023学年九年级上学期期中考试数学试卷(含答案)

2022-2023学年福建省福州市福清市九年级（上）期中数学试卷

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 许多数学符号蕴含着对称美，在下列数学符号中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的符号是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 如图，已知点、、依次在上，，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

3. 将抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位后，则所得新抛物线的顶点坐标为(    )

A.  B.  C.  D.

4. 下列一元二次方程没有实数根的是(    )

A.  B.
C.  D.

5. 如图，中，，将绕点顺时针旋转，得到，边与边交于点不在上，则的度数为(    )
    

A.  B.  C.  D.

6. 已知、是抛物线上两点，则、的大小关系为(    )

A.  B.  C.  D.

7. 如图，是半圆的直径，、为半圆上的两点，且，过点作半圆的切线，交的延长线于，若，则的度数(    )

A.  B.  C.  D.

8. 增删算法统宗中记载：“今有门厅一座，不知门广高低，长午横进使归室，争奈门
   狭四尺，随即竖竿过去，亦长二尺无疑，两隅斜去恰方齐，请问三色各几？”，其大意是今有一房门，不知宽与高，长竿横着进门，门的宽度比竿小尺进不了；将竿竖着进门，竿比门长尺；将竿斜着穿过门的对角，恰好进门．试问门的宽、高和竿长各是多少？如图，若设竿长为尺，依题意可得方程是(    )

A.  B.
C.  D.

9. 如图，在中，，，，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，则图中阴影部分的面积是(    )

A.  B.  C.  D.

10. 若抛物线的顶点在轴上，且不等式的解集为或，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11. 已知为一元二次方程的解，则______．
12. 若点与点关于原点对称，则 ______ ．
13. 如图，正六边形内接于，半径为，则这个正六边形的边心距的长为______ ．

14. 一元二次方程两根分别为、，则式子的值等于______．
15. 汽车刹车后行驶的距离单位：关于行驶的时间单位：的函数解析式是，汽车刹车后到停下来前进了______米．
16. 如图，边长的等边中，点为上一点，且，点为边上的一个动点，点绕点顺时针旋转得到点，则的最小值为______．

三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）

17. 解方程：．

四、解答题（本大题共8小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

18. 本小题分
    如图，在平面直角坐标系中，，，，网格中每一格的边长均为一个单位长度，请解答以下问题．
    画出绕点顺时针旋转得到的；
    写出点旋转过程中走过的路径长为______结果保留

19. 本小题分
    关于的一元二次方程有实数根，求的取值范围．
20. 本小题分
    对于抛物线．
    顶点坐标为______；
    在坐标系中利用描点法画出此抛物线

结合图象直接回答：当时，则的取值范围是______．

21. 本小题分
    如图，为的直径，点在上，连接，，过点作于点，在的延长线上取点，连接，且．
    求证：是的切线；
    若的半径长为，，求的长．

22. 本小题分
    如图，已知，，将绕点逆时针旋转得到，其中点与点对应，点与点对应．
    作出尺规作图，保留作图痕迹，不写作法；
    若，，求的面积．

23. 本小题分
    某电商在购物平台上销售一款小电器，其进价为元件，每销售一件需缴纳平台推广费元，当该款小电器每件售价为元时，每天销售量为件；当每件售价涨价元时，每天销售量减少件；为保证市场稳定，供货商规定销售价格不得低于元件且不得高于元件．
    若当天价格涨价元时，可获利元，求的值．
    销售经理说：“当天销售量最大，则当天的总利润最大．”你认为对吗？请说明理由．
24. 本小题分
    如图，在中，、是直径，弦，垂足为．
    求证：；
    如图，点在上，且．
    求证：；
    若，，求的长．

25. 本小题分
    已知抛物线经过点、，与轴交于点，点在抛物线的对称轴上．
    求抛物线解析式；
    连接，将线段绕着点逆时针旋转，得到，若点落在抛物线上，求点的坐标；
    若点的纵坐标为，过点的直线交抛物线于点，，当线段被平分时，求直线的解析式．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B.是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C.是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D.既是中心对称图形，也是轴对称图形，符合题意．
故选：．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转后与原图重合．
本题考查中心对称图形和轴对称图形的知识，关键是掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．
 

2.【答案】 

【解析】解：和都对，
．
故选：．
直接利用圆周角定理求解．
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
 

3.【答案】 

【解析】解：将抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位后，得，
顶点坐标为，
故选：．
根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行求解．
本题考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
 

4.【答案】 

【解析】解：，则，解得，所以选项不符合题意；
B.，则，解得，，所以选项不符合题意；
C.，则，解得，所以选项不符合题意；
D.，，方程没有实数解，所以选项符合题意．
故选：．
利用直接开平方法解方程可对选项和选项进行判断；利用因式分解法解方程可对选项进行判断；利用根的判别式的意义可对选项进行判断．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
 

5.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了旋转的性质及三角形的外角性质，旋转前后对应角、对应边不变，属于基础题．
根据旋转的性质得，，再根据外角的性质得的度数．
【解答】
解：绕点顺时针旋转，得到，
，，
，
，
故选A．  

6.【答案】 

【解析】解：将代入得，
将代入得，
．
故选：．
将点，坐标代入解析式求解．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程的关系．
 

7.【答案】 

【解析】解：如图，连接，

，
，
为半圆的切线，
，
，
，
，
故选：．
连接，根据，可得，根据为半圆的切线，可得，再根据直角三角形两个锐角互余即可解决问题．
本题主要考查圆周角定理、切线的性质，解决本题的关键是掌握切线的性质．
 

8.【答案】 

【解析】解：若设竿长为尺，则为尺，为尺，
根据题意得：．
故选：．
若设竿长为尺，则为尺，为尺，利用勾股定理，可得出关于的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：连接，
，，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
图中阴影部分的面积，
故选：．
连接，根据等边三角形的性质得到，，根据勾股定理得到，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．
本题考查了扇形面积的进行，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，推出是等边三角形是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：抛物线的顶点在轴上，
，
，
不等式的解集为或，
或是关于的方程的解，
，
解得，
的值为，
故选：．
根据抛物线的顶点在轴上得出，再根据不等式的解集为或可以得出或是关于的方程的解，然后解方程组即可求出的值．
本题考查了二次函数与不等式组以及二次函数与一元二次方程的关系，关键是对二次函数性质的掌握．
 

11.【答案】 

【解析】解：把代入方程得，
解得．
故答案为：．
把代入原方程得关于的方程，然后解关于的方程即可．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
 

12.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了平面内两点关于原点对称，比较简单．
根据平面内两点关于关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，则从而得出答案．
【解答】
解：根据平面内两点关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，
，
故答案为．  

13.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查的是正多边形和圆的有关计算，掌握正多边形的中心角的计算公式、熟记余弦的概念是解题的关键．
根据正六边形的性质求出，利用余弦的定义计算即可．
【解答】
解：连接，
六边形是内接正六边形，
，
，
故答案为：．  

14.【答案】 

【解析】解：一元二次方程两根分别为、，
，．
．
故答案为：．
根据根与系数的关系找出，将变成只含和的代数式，代入数据即可得出结论．
本题考查了根与系数的关系，解题的关键是将变成本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根与系数的关系找出两根之和与两根之积是关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：，
汽车刹车后到停下来前进了米．
故答案为：．
根据二次函数的解析式找出其顶点式，再利用二次函数的性质求出的最大值即可得出结论．
本题考查了二次函数的应用，利用配方法，找出二次函数的顶点式是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：如图，在上截取，连接，，

是等边三角形，
，，
，
是等边三角形，
，，
，
点绕点顺时针旋转得到点，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
点在过点平行于的直线上运动，
当时，有最小值，
此时，，
，
，，
，
故答案为：．
由“”可证≌，可得，可证，即点在过点平行于的直线上运动，则当时，有最小值，由直角三角形的性质可求解．
本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，确定点的运动轨迹是解题的关键．
 

17.【答案】解：，，，
，
，
，． 

【解析】本题考查了解一元二次方程的方法公式法．
原方程是一元二次方程的一般形式，先由系数求得根的判别式，再利用求根公式求解．
 

18.【答案】 

【解析】解：如图，为所作；

，

故答案为：
利用网格特点和旋转的性质画出点、的对应点即可；
由于点旋转过程中走过的路径为以点圆心，半径为，圆心角为的一条弧，则利用勾股定理计算出，然后利用弧长公式可解决问题．
本题考查了作图旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
 

19.【答案】解：关于的一元二次方程有实数根，
，
解得：．
故的取值范围为． 

【解析】根据题意，由根的判别式列出关于的方程，解方程即可得到结论．
本题考查了根的判别式，解题的关键是：牢记“当时，方程有实数根”．
 

20.【答案】             

【解析】解：，
抛物线顶点坐标为，
故答案为：．
将，，，，分别代入得，，，，，
图象如下：

故答案为：，，，，．
由图象可得时，．
故答案为：．
将二次函数解析式化为顶点式求解．
将，，，，分别代入求解，通过描点描线作图．
结合图象求解．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
 

21.【答案】证明：连接，如图所示，

，
，
，
，
，
，
，
，
即，
，
是的切线．
在中，
，
，，
∽，
，即，
在中，
，
，
． 

【解析】连接，可得，由可得，，进一步得到，即，从而得证；
在中利用勾股定理求出求出的长，再利用∽的对应边成比例求出的长，然后在中利用勾股定理求出的长，从而求出的长．
本题考查了切线的判定与相似三角形判定与性质，掌握切线的判定定理与相似三角形性质定理是解题的关键．
 

22.【答案】解：如图，即为所求；

根据题意可知：，，，
过点作于点，

，
，
，
的面积． 

【解析】根据旋转的性质即可作出；
由旋转可得，，，过点作于点，然后利用含度的直角三角形求出，进而可以求的面积．
本题考查了作图旋转变换，解决本题的关键是掌握旋转的性质．
 

23.【答案】解：根据题意得：，
整理得：，
解得，，
此时或，
销售价格不得低于元件且不得高于元件，
；
对，理由：
设当天的销售量为件，利润为元，
根据题意得：，
，
销售价格不得低于元件且不得高于元件，
，
，
，
当时，最大，最大值为，
，
当时，有最大值，最大值为，
经销商说的对． 

【解析】用销售量每件的利润列出关于的方程，解方程即可；
直接利用销量每件的利润总利润进而得出函数关系式，然后根据二次函数的性质以及自变量的取值范围求函数最值，并确定此时的值；再根据销售量的函数解析式求销售量取最大值时的值，然后判断即可．
此题主要考查了一元二次方程的应用以及二次函数的应用，正确得出函数关系式是解题关键．
 

24.【答案】证明：，
，
，
，
，
；
证明：连接、，如图，
，，
，
，
为直径，
，
，
，，，
，
，，
四边形为平行四边形，
，
，
；
解：设，则，
，，
为的中位线，
，
四边形为平行四边形，
，
，
在中，，，，
，
整理得，
解得，舍去，
即的长为． 

【解析】先根据垂径定理得到，再根据圆心角、弧、弦的关系由得到，所以，从而得到结论；
连接、，如图，根据圆周角定理得到，，再证明，，则可判断四边形为平行四边形，所以，然后利用得到；
设，则，则利用为的中位线得到，再根据平行四边形的性质得到，所以，则在中利用勾股定理得到，然后解方程即可．
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；推论：半圆或直径所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径．也考查了垂径定理、勾股定理和圆心角、弧、弦的关系．
 

25.【答案】解：将、代入得，
，解得．
抛物线的解析式为：．
由知抛物线的对称轴为直线，
设点的坐标为，如图，过作对称轴于，设对称轴与轴交于点．

当时，，
，
在与中，
，
≌，
，，
，
将代入得：，
解得：，舍去，
此时；
当时，要使，由图可知点与点重合，
，
，
，
满足条件的点的坐标为或．
设直线的解析式为，点的坐标为，点的坐标为，
将点坐标代入，得，即；
联立抛物线与直线的解析式，
可得：，
消元化简，得，
由根与系数的关系，得：，
，
，，
，，
直线的解析式为：．
将的中点坐标代入直线，得，
消元化简，得：，解得或，
直线的解析式为或． 

【解析】利用待定系数法，将、代入，解方程组即可得出结论；
设点的坐标为，过作对称轴于，设对称轴与轴交于点分和考虑：当时，利用相等的边角关系即可证出≌，由此即可得出点的坐标，将其代入二次函数解析式中即可求出值，由此即可得出点的坐标；当时，结合图形找出点的位置，由此即可得出点的坐标．综上即可得出结论；设直线的解析式为，将点坐标代入，得，联立直线与抛物线的解析式，得出一元二次方程组，利用根与系数的关系可得出点，的中点坐标，将的中点坐标代入直线，即可求出的值．
本题考查了待定系数法求函数解析式、二次函数的性质、全等三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，解题的关键是：利用待定系数法求出函数解析式；分点的纵坐标大于和小于两种情况考虑；分类讨论是解题的关键．根据平分，结合根与系数的关系，建立方程是解题关键．