河南省三门峡市灵宝市2022-2023学年九年级上学期期中考试数学试卷(含答案)

这是一份河南省三门峡市灵宝市2022-2023学年九年级上学期期中考试数学试卷(含答案)，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年河南省三门峡市灵宝市九年级（上）期中数学试卷  一、选择题（本大题共10小题，共30分）下列函数是二次函数的是(    )A.  B.  C.  D. 方程化为一般形式后二次项系数、一次项系数、常数项分别是(    )A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，配方法解方程，则方程可化为(    )A.  B.  C.  D. 已知的半径为，点在内，则的长不可能为(    )A.  B.  C.  D. 下列抛物线中，与轴有两个交点的是(    )A.  B.
C.  D. 将抛物线向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到抛物线的解析式是(    )A.  B.
C.  D. 如图，、是上的两个点，是直径，若，则的度数是(    )A.
B.
C.
D. 在同一坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是(    )A.  B.
C.  D. 北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”受到大家的喜爱，某网店出售这两种吉样物礼品，上线第一天个分钟售罄，后两天紧急加工上线个．若后一天较前一天的增长率均为，则可列方程正确的是(    )A.
B.
C.
D. 已知二次函数的图象如图所示，下列结论：；；；；，其中正确的个数是(    )
 A.  B.  C.  D. 二、填空题（本大题共5小题，共15分）关于的方程是一元二次方程，则的值是______．若与关于原点对称，则的值为______．如图，中，，，则的内切圆半径 ______ ．
 如图，中，，在同一平面内，将绕点旋转到的位置，使得，则等于          ．
 
 二次函数的部分对应值如下表：抛物线的顶点坐标为；
与轴的交点坐标为；
与轴的交点坐标为和；
当时，对应的函数值为以上结论正确的是______．三、解答题（本大题共8小题，共75分）解下列一元二次方程：
，
．已知方程的一个根是，求它的另一个根及的值．如图，某小区规划在一个长，宽的矩形场地上，修建同样宽的小路，使其中两条与平行，另一条与平行，其余部分种草，若草坪部分总面积为，求小路的宽．
如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，．
画出向下平移个单位所得到的；
画出将绕原点逆时针方向旋转后的，并写出点的对应点的坐标．
已知二次函数的图象如图所示，它与轴的一个交点坐标为，与轴的交点坐标为．

求出，的值，并写出此二次函数的解析式；
根据图象，直接写出函数值为正数时，自变量的取值范围．中，以为圆心，为半径的交斜边于，为上一点使得．
证明：为的切线；
若、，求线段的长．
“一人一盔安全守规，一人一带平安常在”某商店销售一批头盔，售价为每顶元，每月可卖出顶．在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现：每降价元，每月要多卖出件；已知头盔的进价为每顶元，求每顶头盔的售价定为多少元时，该商店每月可获得最大利润，最大利润是多少？随着教育教学改革不断深入，数学教学如何改革和发展，如何从“重教轻学”向自主学习探索为主的方向发展，是一个值得思考的问题．从数学的产生和发展历程来分析，不外乎就是三个环节：观察猜想、探究证明、拓展延伸．下面请同学们从这三个方面试着解决下列问题：
如图，有公共直角顶点的两个不全等的等腰直角三角形叠放在一起，点在上，点在上．
观察猜想
在图中，你发现线段，的数量关系是______，直线，的位置关系是______．
探究证明
将图中的绕点逆时针旋转一个锐角得到图，这时中的两个结论是否仍然成立？作出判断并证明．
拓展延伸
将图中，若只把“有公共直角顶点的两个不全等的等腰直角三角形”改为“有公共顶角为锐角的两个不全等的等腰三角形”，绕点逆时针旋转任意一个锐角得到图，这时中的两个结论仍然成立吗？作出判断，并说明理由．

答案和解析 1.【答案】 【解析】解：、，符合二次函数的定义，故本选项正确；
B、的右边不是整式，不是二次函数，故本选项错误；
C、属于一次函数，故本选项错误；
D、的右边不是整式，不是二次函数，故本选项错误；
故选：．
根据二次函数的定义判定即可．
本题考查二次函数的定义．判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为这个关键条件．
 2.【答案】 【解析】解：方程，
去括号，得，
整理，得，
所以，二次项系数、一次项系数、常数项分别是，，，
故选B．
要确定二次项系数、一次项系数和常数项，首先要把方程化成一般形式，即可解答．
本题考查了一元二次方程的一般形式，是常数且特别要注意的条件，在一般形式中叫二次项，叫一次项，是常数项．其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
 3.【答案】 【解析】【分析】
方程常数项移到右边，两边加上变形即可得到结果．
此题考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握完全平方公式是解决问题的关键．
【解答】
解：方程移项得：，
配方得：，即．
故选B．  4.【答案】 【解析】解：的半径为，点在内，
，
即的长不可能为．
故选：．
根据点在圆内，点到圆心的距离小于圆的半径进行判断．
本题考查了点与圆的位置关系，解题的关键是掌握点与圆的位置关系：设的半径为，点到圆心的距离，则有：点在圆外；点在圆上；点在圆内．
 5.【答案】 【解析】解：分别令、、、四个选项中，则
A、，抛物线与轴有无交点，故本选项错误；
B、，抛物线与轴有一个交点，故本选项错误；
C、，抛物线与轴有两个交点，故本选项正确；
D、，抛物线与轴有一个交点，故本选项错误．
故选：．
抛物线与轴有两个交点时，令函数值为，则这个一元二次方程的判别式大于即可．
本题是一道基础题，比较简单，考查了抛物线与轴的交点问题．注：令函数值为，一元二次方程的判别式时，抛物线与轴有两个交点；时，抛物线与轴有一个交点；时，抛物线与轴有无交点．
 6.【答案】 【解析】【分析】
此题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．
【解答】
解：将抛物线向左平移个单位长度所得抛物线解析式为：，即；
再向下平移个单位为：，即．
故选：．  7.【答案】 【解析】解：，
，
．
故选：．
在同圆和等圆中，同弧所对的圆心角是圆周角的倍，所以，而中，，所以，而，所以．
本题考查同弧所对的圆周角和圆心角的关系．规律总结：解决与圆有关的角度的相关计算时，一般先判断角是圆周角还是圆心角，再转化成同弧所对的圆周角或圆心角，利用同弧所对的圆周角相等，同弧所对的圆周角是圆心角的一半等关系求解，特别地，当有一直径这一条件时，往往要用到直径所对的圆周角是直角这一条件．
 8.【答案】 【解析】【分析】
根据一次函数和二次函数的解析式可得一次函数与轴的交点为，二次函数的开口向上，据此判断二次函数的图象．
此题主要考查了二次函数及一次函数的图象的性质，用到的知识点为：二次函数和一次函数的常数项是图象与轴交点的纵坐标．
【解答】
解：当时，二次函数顶点在轴负半轴，开口向上，一次函数经过一、二、四象限；
当时，二次函数顶点在轴正半轴，开口向上，一次函数经过一、二、三象限．
故选：．  9.【答案】 【解析】解：根据题意，得，
故选：．
根据“后两天紧急加工上线个”列一元二次方程即可．
本题考查了一元二次方程的应用题之增长率问题，理解题意并根据题意找到等量关系是解题的关键．
 10.【答案】 【解析】解：由抛物线的开口可知：，
由抛物线的对称轴可知：，
，故错误；
由抛物线与轴的交点可知：，
，
，故错误；
由于抛物线与轴有两个交点，
，故正确；
令，此时，
即，故错误；
令，此时，
即，
，
，故正确；
故选：．
根据二次函数的图象与系数的关系即可求出答案．
本题考查二次函数与系数的关系，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于中等题型．
 11.【答案】 【解析】解：由题意得：；；
解得；；
．
是一元二次方程，那么的指数为，系数不为，列式求值即可．
用到的知识点为：一元二次方程未知数的最高次数是，并且二次项系数不为．
 12.【答案】 【解析】解：与关于原点对称，
，，
解得：，，
，
故答案为：．
根据关于原点对称点的性质可得，，解出的值，然后可得答案．
此题主要考查了关于原点对称的点的坐标，关键是掌握两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反．
 13.【答案】 【解析】解：如图，
在，，，；
根据勾股定理；
四边形中，，；
四边形是正方形；
由切线长定理，得：，，；
；
即：．
设、、与的切点分别为、、；易证得四边形是正方形；那么根据切线长定理可得：，由此可求出的长．
此题主要考查直角三角形内切圆的性质及半径的求法．
 14.【答案】 【解析】【分析】
根据平行线的性质得到，根据旋转变换的性质计算即可．
本题考查的是旋转变换，掌握平行线的性质、旋转变换的性质是解题的关键．
【解答】、
解：，
，
由旋转的性质可知，，，
，
，
，
，
故答案为：．  15.【答案】 【解析】解：根据上表可画出函数的图象，由图象可得，
抛物线的顶点坐标为；
与轴的交点坐标为；
与轴的交点坐标为和；
当时，对应的函数值为．
故答案为：．
由上表得与轴的交点坐标为；与轴的一个交点坐标为；函数图象有最低点；由抛物线的对称性可得出可得出与轴的另一个交点坐标为；当时，对应的函数值为从而可得出答案．
本题考查了用函数图象法求一元二次方程的近似根，锻炼了学生数形结合的思想方法．
 16.【答案】解：，
将方程变形，得，
即或，
解得：，；
，
将方程变形，得，
则或，
解得，． 【解析】等式左边可提取公因式，转化为求解；
根据十字相乘法可将方程变形为，由此可得同解方程或，据此求解．
本题考查了解一元二次方程因式分解法，关键是会利用因式分解法求解一元二次方程．
 17.【答案】解：设方程的另一个根为，
根据根与系数的关系得，，，
解得，，
即方程的另一个根为，的值为． 【解析】设方程的另一个根为，利用根与系数的关系得，，然后先求出，再计算出的值．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则，．
 18.【答案】解：设小路的宽度为，
那么草坪的总长度和总宽度分别为，．
根据题意即可得出方程为：，
解得，．
，
不符合题意，舍去，
．
答：小路的宽为． 【解析】本题考查一元二次方程的应用，弄清“草坪的总长度和总宽度”是解决本题的关键．
设小路的宽度为，那么草坪的总长度和总宽度分别为，；再根据题意得出方程，求解即可．
 19.【答案】解：如图，为所作；
如图，为所作，点的坐标为．
 【解析】利用点的平移规律写出、、的坐标，然后描点即可；
利用网格特点和旋转的性质画出、、的对应点、、，从而得到点的坐标．
本题考查了作图旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了平移变换．
 20.【答案】解：将点、代入，
，解得：，
抛物线的解析式为；
当时，，
解得：或，
所以抛物线与轴的交点坐标为和，
结合函数图象知，当或时，． 【解析】本题考查了二次函数的图象与轴的交点等知识，掌握二次函数的性质，通常利用数形结合解决此类问题．
将和两点代入二次函数，求得和，从而得出抛物线的解析式；
令，得出此二次函数的图象与轴的交点的坐标，结合函数图象直接回答问题．
 21.【答案】证明：连，得，
，而．
所以即．
所以为切线．

解：，，
．
在中，，
中． 【解析】连，通过角度代换和三角形的内角和定理求得即可．
先得到，在中通过勾股定理可得到，再在中通过勾股定理求得．
熟练掌握证明圆的切线方法，一般把证明圆的切线问题转化为证明线段垂直的问题．熟练利用勾股定理进行几何计算．
 22.【答案】解：每顶头盔降价元，利润为元，
由题意可得，，
当时，取得最大值，此时，
即当售价定为元时，该商店每月获得最大利润为元． 【解析】根据题意，可以先设出每顶头盔降价元，利润为元，然后根据题意可以得到与的函数关系式，再将函数解析式化为顶点式，即可得到降价多少元时，取得最大值，从而可以得到该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价．
本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的函数关系式，利用二次函数的性质解答．
 23.【答案】   【解析】解：和都是等腰直角三角形，且叠放在一起，
，，，
，，
，；
故答案为：，；
图中的绕点逆时针旋转一个锐角得到图，这时中的两个结论，仍然成立，
证明：旋转一个锐角后，，，
，
在和中，
，
≌，
，

如图，延长交于，交于，
≌，
，
，
，
；
若只把“有公共直角顶点的两个不全等的等腰直角三角形”改为“有公共顶角为锐角的两个不全等的等腰三角形”，
绕点逆时针旋转任意一个锐角得到图，这时中的结论成立，不成立，
理由如下：

同得≌，
．
如图，不成立．
由和都是等腰直角三角形，即可判断出，直线、相交成角的度数是，进而可以得结论；
由证明≌，即可证明两个结论仍然成立；
同可得≌，即可证明成立，不成立．
本题是三角形综合题目，考查了旋转的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等是解决问题的关键．