江苏省无锡外国语学校2022-2023学年九年级上学期期中考试数学试卷(含答案)

这是一份江苏省无锡外国语学校2022-2023学年九年级上学期期中考试数学试卷(含答案)，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年江苏省无锡外国语学校九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的是（　　）
A．3x2﹣1＝2 B．ax2+5x+7＝0
C．2x4+3x2﹣5＝0 D．x2+＝0
2．神奇的自然界处处蕴含着数学知识．动物学家在鹦鹉螺外壳上发现，其每圈螺纹的直径与相邻螺纹直径的比约为0.618．这体现了数学中的（　　）

A．平移 B．旋转 C．轴对称 D．黄金分割
3．已知△ABC∽△A′B′C′，且相似比为3：1，则下列结论错误的是（　　）
A．AB是A′B′的3倍 B．∠A是∠A′的3倍
C．周长之比为3：1 D．面积之比为9：1
4．已知关于x的方程x2+kx﹣3＝0有一个根为x＝1，则实数k的值为（　　）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
5．某企业2018年初获利润300万元，到2020年初计划利润达到507万元．设这两年的年利润平均增长率为x．应列方程是（　　）
A．300（1+x）＝507
B．300（1+x）2＝507
C．300（1+x）+300（1+x）2＝507
D．300+300（1+x）+300（1+x）2＝507
6．下列每张方格纸上都有一个三角形，仅用圆规就能作出三角形外接圆的是（　　）
A． B．
C． D．
7．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝AC，作CD∥AB，并与⊙O相交于点D，则∠DBC的大小为（　　）

A．15° B．35° C．25° D．45°
8．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，经过A，D两点的⊙O与边BC相切于点E（　　）

A．4 B． C．5 D．
9．如图，在正方形ABCD中，E是AD的中点，BF＝3AF，则下列四个结论：①△AEF∽△DCE；③CE是CD与CF的比例中项；④直线AD是△CEF外接圆的切线．其中正确的个数是（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．如图，等边△ABC边长为3，O是AB中点，连接OP，H、E分别是OP、AC上的点，若点P运动的某段路程中正方形EFGH始终存在，则满足条件的点P运动的路径长度为（　　）

A． B． C．4.5 D．6
二、填空题（每题3分，共24分）
11．请写出一个一元二次方程，使得它的一个根为0，另一个根不为0：　 　．
12．在比例尺为1：500000的地图上，量得A、B两地的距离为3cm，则A、B两地的实际距离为　 　km．
13．若a2+4a＝5，则代数式2a（a+2）﹣（a+1）（a﹣1）的值为 　 　．
14．若圆O的半径是5，圆心的坐标是（0，0），点P的坐标是（﹣4，3）　 　．
15．如图，AB是⊙O的弦，AC切⊙O于点A，则∠B＝　 　．

16．如图，在圆内接四边形ABCD中，∠C＝135°，以AB为y轴，BD为x轴，若点A的坐标为（0，3），则圆的直径长度是 　 　．

17．如图，平面直角坐标系中，以第一个矩形ODAE的边AE为边向上作正方形①，得到第二个矩形OGBH，以此类推，与原点O在同一直线上，则这条直线的函数解析式为 　 　．

18．在正方形ABCD中，AB＝2，E是直线CD上的动点，F是AE上一点，连接BF，则AF•AE的值为 　 　，在E运动的过程中BF的最小值为 　 　．

三、解答题（共96分）
19．（8分）选择合适的方法解方程：
（1）x2﹣5x+4＝0；
（2）（x+1）2﹣4＝0．
20．（8分）根据要求的方法解方程：
（1）2x2﹣3x+1＝0（公式法）；
（2）x2+4x﹣1＝0（配方法）
21．（10分）如图，在▱ABCD中，点E在BC上
（1）求证：△ADE∽△DEC；
（2）若AD＝6，DE＝4，求BE的长．

22．（10分）在4月23日世界读书日来临之际，为了解某校九年级（1）班同学们的阅读爱好（A：文学类；B：科幻类；C：军事类；D：其他类），选择一类自己最喜欢的书籍进行统计．根据统计结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．根据图中信息回答问题：
（1）九年级（1）班的学生总数为 　 　；
（2）补全条形统计图；
（3）在扇形统计图中，A的扇形圆心角度数为 　 　°，m的值为 　 　；
（4）如果选择C类书籍的同学中有2名女同学，其余为男同学，现要在选择C类书籍的同学中选取两名同学去参加读书交流活动　 　．

23．（10分）我校新城校区新建一个三层停车楼，每一层布局如图所示．已知每层长为50米，宽20米．阴影部分设计为停车位，其余部分是等宽的通道，已知喷漆面积为736平方米．
（1）求通道的宽是多少米？
（2）据调查分析，停车场多余64个车位可以对外出租，当每个车位的月租金为200元时；当每个车位的月租金每上涨10元，就会少租出1个车位，既能优惠大众，又能使对外开放的月租金收入为14400元？

24．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AD为直径作⊙O，交BA的延长线于点E，使BF＝EF．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为5，AC＝4，AE＝8

25．（10分）在平面直角坐标系xOy中，点A、B分别在x轴负半轴、y轴正半轴上（OA＞OB），C（a，﹣a）（a为常数），以C为圆心、适当的长度为半径作⊙C
（1）请用无刻度的直尺和圆规作出⊙C．（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）若OA＝8，OB＝6，直线y＝x+b与⊙C有且只有一个公共点　 　．

26．（10分）已知：以O为圆心的扇形AOB中，∠AOB＝90°，点C为，射线AC交射线OB于点D，过点D作OD的垂线交射线OC于点E
（1）如图1，当四边形AODE为矩形时，求∠ADO的度数；
（2）当扇形的半径长为5，且AC＝6时，求线段DE的长；
（3）连接BC，试问：在点C运动的过程中，∠BCD的大小是否不变？若是；若不是，请说明理由．

27．（10分）如图，Rt△ABC，∠ABC＝3∠C＝90°，BE交AC于F，过A作AG⊥AC交BD于G，AF＝m，AG＝n．
（1）当DE经过点A时，求△AGF与△ABC的面积比值；
（2）当△ABC是△AGF面积的6倍，求m：n的值．


28．（10分）我们知道，平面直角坐标系中，若M（x1，y1）、N（x2，y2），则MN的长度可表示为．若点B与点A（2，2），P（x，y）为第一象限内动点，且PA+4＝PB．
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）若△PAB的面积为2，求P点坐标；

2022-2023学年江苏省无锡外国语学校九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
1．【解答】解：A、3x2﹣4＝2是一元二次方程，故此选项符合题意；
B、ax2+8x+7＝0未指明a≠3，不一定是一元二次方程；
C、含有一个未知数，所以该方程不是一元二次方程；
D、含有分式，故此选项不合题意；
故选：A．
2．【解答】解：∵每圈螺纹的直径与相邻螺纹直径的比约为0.618，
又黄金分割比为≈0.618，
∴其每圈螺纹的直径与相邻螺纹直径的比约为4.618．这体现了数学中的黄金分割，
故选：D．
3．【解答】解：∵△ABC∽△A′B′C′，且相似比为3：1，
∴AB：A′B′＝6：1，∠A＝∠A′，不符合题意，符合题意；
∴周长之比为3：3，面积之比为9：1，
∴C、D均正确．
故选：B．
4．【解答】解：把x＝1代入关于x的方程x2+kx﹣6＝0中得：
1+k﹣5＝0，
解得k＝2．
故选：C．
5．【解答】解：设这两年的年利润平均增长率为x，
根据题意得：300（1+x）2＝507．
故选：B．
6．【解答】解：A、∵仅用圆规不能确定圆心，
∴仅用圆规不能作出三角形外接圆，本选项不符合题意；
B、∵仅用圆规不能确定圆心，
∴仅用圆规不能作出三角形外接圆，本选项不符合题意；
C、如图2+BC2＝32+28+22+62＝25，AB2＝52+42＝25，
∴AC2+BC2＝AB5，
∴∠ACB＝90°，
∴AB是△ABC的外接圆的直径，
由三角形中位线定理可知，点O是AB的中点，
∴仅用圆规就能作出三角形外接圆，本选项符合题意；
D、∵仅用圆规不能确定圆心，
∴仅用圆规不能作出三角形外接圆，本选项不符合题意；
故选：C．

7．【解答】解：∵AB＝AC，∠BCA＝65°，
∴∠ABC＝∠BCA＝65°，
∴∠BAC＝180°﹣65°×2＝50°，
由圆周角定理得：∠BDC＝∠BAC＝50°，
∵CD∥AB，
∴∠ABD＝∠BDC＝50°，
∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝65°﹣50°＝15°，
故选：A．
8．【解答】解：如图，连接EO并延长交AD于F，

∵⊙O与BC边相切于点E，
∴OE⊥BC，
∵四边形ABCD为矩形，
∴BC∥AD，
∴OF⊥AD，
∴AF＝DF＝AD＝4，
∵∠B＝∠DAB＝90°，OE⊥BC，
∴四边形ABEF为矩形，
∴EF＝AB＝8，
设⊙O的半径为r，则OA＝r，
在Rt△AOF中，∵OF2+AF2＝OA2，
∴（8﹣r）3+62＝r6，
解得r＝，
故选：D．
9．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠A＝∠B＝∠D＝90°，
∵E是AD的中点，
∴AE＝DE，
∵BF＝3AF，
设AF＝a，则BF＝3a，
∵AF：DE＝2：2，AE：CD＝1：8，
∴AE：DE＝AE：CD，
∴△AEF∽△DCE，故①正确；
∴∠AEF＝∠DCE，
∵∠DEC+∠DCE＝90°，
∴∠AEF+∠DEC＝90°，
∴∠CEF＝90°，
∵△AEF∽△DCE，
∴EF：CE＝1：2＝AE：CD，
∴EF：CE＝6：2＝DE：CD，
∴△CEF∽△CDE，
∴∠FCE＝∠DCE，
∴CE平分∠DCF，故②正确；
∵△CEF∽△CDE，
∴CF：CE＝CE：CD，
∴CE2＝CF•CD，
∴CE是CD与CF的比例中项，故③正确；
∵△CEF是直角三角形，
∴外接圆的圆心是斜边CF的中点，CF是直径，
∵∠CEF＝90°，
∴EF⊥CE，

如图，取CF的中点O，
∴OE＝OC＝OF，
∴∠OEC＝∠OCE，
∵CE平分∠DCF，
∴∠ECD＝∠OCE，
∴∠OEC＝∠DCE，
∴OE∥CD，
∵CD⊥AD，
∴OE⊥AD，
∵OE是△DCE的外接圆的半径，
∴直线AD是△DCE的外接圆的切线，故④正确，
∴正确的结论有8个．
故选：D．
10．【解答】解：分析点P的运动可知，当点P在AC上时；
当点P在BC上时，随着点C向点B运动，
如图，

设AF＝t，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝90°，
∴AE＝2t，EF＝t，
∵四边形EFGH是正方形，
∴EH＝t，
∵EH∥FG，
∴∠CEH＝∠A＝60°，
∴△CEH是等边三角形，
∴CE＝CH＝EH＝EF＝t，
∴2t+t＝3）＝3﹣3，
∴CH＝t＝）＝8
∴点P的轨迹长度为AC+CH＝3+2﹣9＝2．
故选：A．
11．【解答】解：设方程另一个根为1，
因为0+3＝1，0×2＝0，
所以根为0和7的一元二次方程可为x2﹣x＝0．
故答案为：x3﹣x＝0．
12．【解答】解：∵比例尺为1：500000，量得两地的距离是3厘米，
∴A、B两地的实际距离3×500000＝1500000cm＝15km，
故答案为15．
13．【解答】解：2a（a+2）﹣（a+4）（a﹣1）
＝2a6+4a﹣（a2﹣2）
＝2a2+2a﹣a2+1
＝a3+4a+1，
当a2+4a＝5时，原式＝4+1＝6，
故答案为：5．
14．【解答】解：∵点P的坐标是（﹣4，3），
∴OP＝＝5，
∵OP等于圆O的半径，
∴点P在圆O上．
故答案为点P在圆O上．
15．【解答】解：连接OA，
∵AC是⊙O的切线，
∴∠OAC＝90°，
∵∠C＝40°，
∴∠AOC＝90°﹣40°＝50°，
∵OA＝OB，
∴∠B＝∠OAB，
∵∠AOC＝∠B+∠OAB＝50°，
∴∠B＝25°，
故答案为：25°．

16．【解答】解：∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠C+∠A＝180°，
∵∠C＝135°，
∴∠A＝45°，
又AB⊥BD，
∴∠ADB＝∠A＝45°，
∴DB＝AB，
∵点A的坐标为（0，3），
∴BD＝AB＝5，
∴AD＝＝＝3．
∵AB⊥BD，
∴线段为圆的直径，
∴圆的直径为7．
故答案为：3．
17．【解答】解：∵这些矩形右上角的顶点A、B、C…，
∴可设这条直线的函数解析式为y＝kx（k＞0），
设OD＝a，AD＝b，OG＝2a+b，
∴A（a，b），a+b），
代入y＝kx（k≠6）可得：
，
把①代入②，可得：a+ak＝k（2a+ak），
化简可得k2+k﹣1＝0，
解得k＝或k＝，
∴这条直线的函数解析式为y＝x．
故答案为：y＝x．

18．【解答】解：连接DE，取AD的中点T，BT．

∵∠BAF＝∠EAB，∠AFB＝∠ABE，
∴△ABF∽△AEB，
∴＝，
∴AF•AE＝AB2＝4，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠ADE＝DAB＝90°，
∴AD2＝AF•AE，
∴＝，
∵∠DAF＝∠EAD，
∴△AFD∽△ADE，
∴∠AFD＝∠ADE＝90°，
∵AT＝DT，
∴TF＝AD＝4，
∵AT＝1，AB＝2，
∴BT＝＝＝，
∵BF≥BT﹣FT＝﹣1，
∴BF的最小值为﹣1．
故答案为：4，﹣1．
19．【解答】解：（1）x2﹣5x+4＝0，
（x﹣1）（x﹣6）＝0，
∴x﹣1＝5或x﹣4＝0，
解得：x5＝1，x2＝5；

（2）（x+1）2﹣7＝0，
（x+1）4＝4，
x+1＝5或x+1＝﹣2，
解得：x6＝1，x2＝﹣8．
20．【解答】解：（1）2x2﹣4x+1＝0，
∵a＝3，b＝﹣3，
∴b2﹣2ac＝（﹣3）2﹣7×2×1＝6＞0，
∴x＝＝，
∴x3＝1，x2＝．
（2）x2+6x﹣1＝0，
移项：x5+4x＝1，
配方得：x4+4x+4＝8，即（x+2）2＝2，
开方得：x+2＝±，
解得：x4＝﹣2+，x8＝﹣2﹣．
21．【解答】（1）证明：∵▱ABCD中AD∥BC，
∴∠ADE＝∠DEC，
又∵∠CDE＝∠DAE，
∴△ADE∽△DEC；
（2）解：∵△ADE∽△DEC，
∴＝，
∴＝，
∴EC＝．
又∵BC＝AD＝2，
∴BE＝6﹣＝．
22．【解答】解：（1）12÷30%＝40（人），
故答案为：40；
（2）40﹣12﹣16﹣8＝4（人），
补全条形统计图如下：

（3）360°×30%＝108°，16÷40×100%＝40%，
故答案为：108，40；
（4）用列表法表示从2男2女中随机选择2人，所有可能出现的结果如下：

共有12种能可能出现的结果，其中3男1女的有8种，
所以恰好是一男一女同学去参加读书交流活动的概率为＝，
故答案为：．
23．【解答】解：（1）设通道的宽是x米，则每一层的停车位可合成长为（50﹣2x）米，
依题意得：（50﹣2x）（20﹣3x）＝736，
整理得：x2﹣35x+66＝0，
解得：x2＝2，x2＝33（不符合题意，舍去）．
答：通道的宽是2米．
（2）设每个车位的月租金上涨y元，则每个车位的月租金为（200+y）元）个车位，
依题意得：（200+y）（64﹣）＝14400，
整理得：y2﹣440y+16000＝0，
解得：y4＝40，y2＝400，
又∵要优惠大众，
∴y＝40．
答：每个车位的月租金应上涨40元．
24．【解答】（1）证明：连接OE，如图，

∵BF＝EF，
∴∠B＝∠FEB，
∵∠ACB＝90°，
∴∠B+∠BAC＝90°，
∴∠FEB+∠BAC＝90°，
∵OA＝OE，
∴∠OAE＝∠OEA，
∵∠BAC＝∠OAE，
∴∠OEA＝∠BAC．
∴∠OEA+∠BEF＝90°，
即∠OEF＝90°，
∴OE⊥FE．
∵OE是⊙O的半径，
∴EF是⊙O的切线；
（2）连接DE，过点E作EH⊥FB于点H，

∵AD为⊙O的直径，
∴∠AED＝90°，AD＝10．
∴DE＝＝2．
∵∠EAD＝∠CAB，∠AED＝∠ACB＝90°，
∴△EDA∽△CBA，
∴，
∴AB＝5，BC＝3．
∵AC⊥BC，EH⊥BC，
∴AC∥EH，
∴＝，
∴
∴EH＝，BH＝．
设BF＝EF＝x，则FH＝FB﹣BH＝x﹣，
∵FE2＝FH2+EH2，
∴x2＝（x﹣）2+（）2．
解得：x＝．
∴FB＝．
25．【解答】解：（1）由点C的坐标知，改点在直线y＝﹣x上，点C在AB的中垂线上，
故上述两条直线的交点，即为点C为位置．


（2）如下图所示，设直线y＝x+b与⊙C有且只有一个公共点为点T，

则CT和直线y＝x+b垂直，且CT＝AC＝CB，
∵点C在直线y＝﹣x，
∴点T是直线y＝﹣x和直线y＝x+b的交点，
则点T（﹣b，b），
由CT＝AC＝CB得：
（a+8）4+a2＝a2+（a+5）2＝（﹣a+b）2+（a﹣b）2，
解得b＝4或24．
故答案为：6或24．
26．【解答】解：（1）如图1中，

∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝EO，AC＝CD，∠AOD＝90°
∴AC＝OC，
又∵OA＝OC，
∴AC＝OC＝OA，
∴△AOC是等边三角形，
∴∠OAD＝60°，
∴∠ADO＝90°﹣∠OAD＝30°．
（2）如图2中，作OH⊥AD于H．

∵OA＝OC，OH⊥AC，
∴AH＝HC＝7，
∵∠OAH＝∠OAD，∠AHO＝∠AOD，
∴△AOH∽△ADO，
∴＝，即＝，解得AD＝，
∴CD＝AD﹣AC＝，
∵DE⊥OD，
∴∠EDO＝90°，
∴∠AOD+∠EDO＝180°，
∴DE∥OA，
∴＝，
∴＝，
∴DE＝．
（3）如图3中，结论：∠BCD的值是确定的．
理由：连接AB、BC．

∵∠BCD＝∠BAC+∠ABC，
又∵∠BAC＝∠BOC∠AOC，
∴∠BCD＝∠BOC+（∠BCO+∠AOC）＝．
27．【解答】解：（1）如图：

∵∠ABC＝3∠C＝90°，
∴∠ABC＝90°，∠C＝30°，
∴∠BAC＝60°，
∵AG⊥AC，
∴∠GAB＝30°，
∵将△ABC绕B点逆时针旋转为△BDE，
∴∠D＝∠BAC＝60°，AB＝DB，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠ABD＝60°，
∴∠AGB＝180°﹣∠GAB﹣∠ABD＝90°，
在Rt△ABG中，
BG＝＝n，AB＝2BG＝n，
∴AC＝2AB＝n，
∴＝＝＝＝，
∴△AGF与△ABC的面积比值为；
（2）∵△ABC是△AGF面积的2倍，
∴＝，
∴＝，
∴＝．
28．【解答】解：（1）∵A（2，2），A，
∴B（﹣6，﹣2），
∵PA+4＝PB，
∴+4＝，
两边平方得（x﹣5）2+（y﹣2）3+8+16＝（x+6）2+（y+2）5，
整理得＝x+y﹣2，
两边平方可得（x﹣5）2+（y﹣2）8＝（x+y﹣2）2，
整理得xy＝7，
∴y＝（x＞0）；

（2）如图，当点P在AB的下方时，），过点P作PH∥x轴交AB于点H．

∵直线AB的解析式为y＝x，
∴H（，），
∴PH＝x﹣，
∵S△APB＝2，
∴•（x﹣，
∴x2﹣x﹣3＝0，
解得x＝2或﹣4，
经检验x＝2或﹣1都是分式方程的解，x＝﹣7不符合题意，
∴P（2，1），
当点P在AB的上方时，同法可得P（3．
综上所述，满足条件的点P的坐标为（1，1）．