四川省成都市青羊区树德中学2022-2023学年八年级上学期期中数学试卷(含答案)

2022-2023学年四川省成都市青羊区树德中学八年级（上）期中数学试卷

一、选择题（本题共8小题，共32分）

1. 下列实数中，无理数是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 使有意义的的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 在平面直角坐标系中，点在(    )

A. 第二象限 B. 轴上 C. 第四象限 D. 轴上

4. 下列运算中，正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

5. 如图，建立适当的直角坐标系后，正方形网格上、的坐标分别为，，那么点的坐标为(    )

A.
B.
C.
D.

6. 关于函数，下列结论中，正确的是(    )

A. 函数图象经过点 B. 随的增大而减小
C. 函数图象经过一、三象限 D. 不论为何值，总有

7. 如图，三角形是直角三角形，四边形是正方形，已知正方形的面积是，正方形的面积是，则半圆的面积是(    )

A.
B.
C.
D.

8. 如图为正比例函数的图象，则一次函数的大致图象是(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本题共10小题，共40分）

9. 的算术平方根是______；______．
10. 已知，则在______象限．
11. 已知，是一次函数的图象上的两个点，则，的大小关系是______．
12. 下列说法：
    数轴上的点和有理数一一对应；
    点到轴的距离是；
    负数没有立方根；
    和，是同类二次根式，其中正确的有______填序号．
13. 如图，有一个圆柱，底面圆周长为，高，为的中点，一只蚂蚁从点出发沿着圆柱的表面爬到点的最短距离为______．

14. 比较大小 ______．
15. 已知点在直线上，则的值为______．
16. 如图，在轴，轴上分别截取，，使，再分别以点，为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点若点的坐标为，则的值为______．

17. 如图，在直角坐标系中，点在轴上，，以为边作等边，延长到点，使；以为边作等边，延长到点，使；以为边作等边，延长延长到点，使：按照以上方式依次作，，则点的坐标为______．

18. 如图，在直角坐标系中，直线：与轴交于点，与轴变于点，分别以、为边作矩形，点、在直线上，且，则的最小值是______ ．

三、解答题（本题共8小题，共78分）

19. 化简或解方程．
    ；
    ；
    ；
    ．
20. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点，，均在正方形网格的格点上．
    画出关于轴对称的图形并写出顶点的坐标；
    求的面积．

21. 已知一次函数，
    当为何值时，图象过原点？
    若将该一次函数图象向上平移个单位后经过点，求平移后的函数表达式．
22. 如图，在笔直的公路旁有一座山，从山另一边的处到公路上的停靠站的距离为，与公路上另一停靠站的距离为，停靠站、之间的距离为，为方便运输货物现要从公路上的处开凿隧道修通一条公路到处，且．
    求修建的公路的长；
    若公路修通后，一辆货车从处经过点到处的路程是多少？

23. 如图，已知在中，，，，是上的一点，，点从点出发沿射线方向以每秒个单位的速度向右运动．设点的运动时间为连接．
    当秒时，求的长度；
    当为等腰三角形时，求所有符合条件的值；
    过点作于点在点的运动过程中，直接写出当为何值时，能使？

24. 如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为，，且以点为圆心，为半径作半圆，与数轴相交于点和点，点表示的数记为，点表示的数记为，
    ______，______．
    求的值；
    若，求的值．

25. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、点，点在轴的负半轴上，若将沿直线折叠，点恰好落在轴正半轴上的点处．
    求线段的长；
    若在轴上有点，使得，求点坐标；
    求点的坐标和直线的解析式．

26. 已知中，．
    如图，在中，若，且，求证：；
    如图，在中，若，且垂直平分，，，求的长；
    如图，在中，当垂直平分于，且时，试探究，，之间的数量关系，并证明．
    
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：是整数，属于有理数，故本选项不合题意；
B.是有限小数，属于有理数，故本选项不合题意；
C.，是整数，属于有理数，故本选项不合题意；
D.是无理数，故本选项符合题意．
故选：．
分别根据无理数、有理数的定义即可判定选择项．
此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．
 

2.【答案】 

【解析】解：由题意得：，
解得：，
故选：．
根据二次根式中的被开方数是非负数可得，再解不等式即可．
此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．
 

3.【答案】 

【解析】解：在平面直角坐标系中，点在轴上，
故选B
根据点的坐标特点判断即可．
此题考查了点的坐标，熟练掌握平面直角坐标系中点的特征是解本题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：、，故A不符合题意；
B、与不能合并，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D符合题意；
故选：．
根据二次根式的除法，减法，二次根式的性质，进行计算逐一判断即可解答．
本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：如图所示：
点的坐标为：．
故选：．
直接利用已知点位置得出原点位置进而得出答案．
此题主要考查了点的坐标，正确得出原点位置是解题关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：当时，，
函数图象不经过点，选项A不符合题意；
B.，
随的增大而增大，选项B不符合题意；
C.，
函数图象经过第一、三象限，选项C符合题意；
D.只有当时，，选项D不符合题意．
故选：．
A.利用一次函数图象上点的坐标特征，可得出函数图象不经过点；
B.利用正比例函数的性质，可得出随的增大而增大；
C.利用一次函数图象与系数的关系，可得出函数图象经过第一、三象限；
D.利用不等式的性质，可得出只有当时，．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、正比例函数的性质以及一次函数图象与系数的关系，逐一分析各选项的正误是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：正方形的面积是，正方形的面积是，
，，
在中，由勾股定理得，，
半圆的半径为，
半圆的面积，
故选：．
由正方形的性质得，，再由勾股定理求出的长，然后由圆的面积公式计算即可．
本题考查的是勾股定理、正方形的性质以及圆面积公式等知识，如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么．
 

8.【答案】 

【解析】解：因为正比例函数的图象经过第二、四象限，
所以，
所以一次函数的图象经过一、三、四象限，
故选：．
根据正比例函数经过第二、四象限，得出的取值范围，进而解答即可．
此题考查正比例函数的图象，关键是根据正比例函数经过第二、四象限，得出的取值范围．
 

9.【答案】  

【解析】解：的算术平方根是；
．
故答案为：，．
分别根据算术平方根的定义和绝对值的性质解答即可．
本题考查的是实数的性质，熟知算术平方根的定义和绝对值的性质是解题的关键．
 

10.【答案】二 

【解析】解：根据题意得，
，，
，，
，
点在第二象限，
故答案为：二．
根据非负数的性质得到，的值，得到点的坐标，即可知道点所在的象限．
本题考查了非负数的性质，点的坐标，掌握两个非负数的和为，则这两个非负数分别等于是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：，
随的增大而增大，
又，是一次函数的图象上的两个点，且，
．
故答案为：．
由，利用一次函数的性质可得出随的增大而增大，结合，可得出．
本题考查了一次函数的性质，牢记“，随的增大而增大；，随的增大而减小”是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：数轴上的点和实数一一对应关系，不符合题意；
点到轴的距离是，符合题意；
负数也有立方根，不符合题意；
，，
与是同类二次根式，符合题意．
故答案为：．
分别根据实数与数轴上各点的关系，坐标的意义及立方根的定义，同类二次根式的定义逐一分析即可．
本题考查的是同类二次根式，熟知把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：已知如图：
圆柱底面周长为、高，为的中点，
，，
在中，，
蚂蚁从点出发沿着圆柱的表面爬到点的最短距离为，
故答案为：．
把圆柱的侧面展开，连接，利用勾股定理即可得出的长，即蚂蚁从点爬到点的最短距离．
本题考查的是平面展开最短路径问题，根据题意画出圆柱的侧面展开图，利用勾股定理求解是解答此题的关键．
 

14.【答案】解：

；




；




；


则，
解得：或． 

【解析】直接利用二次根式的性质以及立方根的性质分别化简，进而得出答案；
直接利用二次根式的乘除运算法则计算得出答案；
直接利用零指数幂的性质、负整数指数幂，完全平方公式以及二次根式的性质、分母有理化，分别化简，进而得出答案；
直接利用平方根的定义计算得出答案．
此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
 

15.【答案】解：如图，即为所求；顶点的坐标为；

的面积． 

【解析】根据轴对称的性质即可画出关于轴对称的图形，进而写出顶点的坐标；
根据割补法即可求的面积．
本题考查了作图轴对称变换，解决本题的关键是掌握轴对称的性质．
 

16.【答案】解：一次函数的图象经过原点，
，
解得；
一次函数图象向上平移个单位后的解析式为，
将点代入，
得，
解得，
平移后的函数表达式为． 

【解析】根据一次函数的图象经过原点，可得，即可求出的值；
将点代入平移后的解析式，求出的值，即可确定平移后的解析式．
本题考查了一次函数图象与平移，待定系数法求解析式，一次函数图象与系数的关系，熟练掌握待定系数法求解析式是解题的关键．
 

17.【答案】解：，，，，
，
是直角三角形，，
，
，
，
答：修建的公路的长是；
在中，，
．
答：一辆货车从处经过点到处的路程是． 

【解析】根据勾股定理的逆定理得，再根据三角形面积公式即可求解；
根据勾股定理求出的长，即可得出结论．
本题考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理以及三角形面积等知识，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键．
 

18.【答案】解：根据题意，得，
，
在中，，
根据勾股定理，得，
答：的长为．

在中，，，
根据勾股定理，得，
为等腰三角形，
若，则，
在中，根据勾股定理得，，解得．
若，则，
若，则，，
即满足条件的的值为或或．

点在线段上时，过点作于，如图所示：
则，
，
，
，
又，
≌，
，，
，
，
，
在中，由勾股定理得：，
解得：；
点在线段的延长线上时，过点作于，如图所示：
同得：≌，
，，
，
，
，
在中，由勾股定理得：，
解得：；
综上所述，在点的运动过程中，当的值为或时，． 

【解析】根据动点的运动速度和时间先求出，再根据勾股定理即可求解；
根据动点运动过程中形成三种等腰三角形，分情况即可求解；
分两种情况：点在线段上时，过点作于，先证≌，得出，，再由勾股定理求出，则，然后在中，由勾股定理得出方程，解方程即可；
点在线段的延长线上时，过点作于，同得≌，得出，，再由勾股定理得，则，然后在中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的性质以及分类讨论等知识；本题综合性强，熟练掌握等腰三角形的性质和勾股定理，证明三角形全等是解本题的关键．
 

19.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
，
，
，
．
故答案是：．
把的分子分母同时乘以，再比较与的大小即可．
本题考查了实数大小的比较，把比较两个式子的大小问题转化为比较两个等价的式子是关键．
 

20.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式是解题的关键．
由点在直线上，利用一次函数图象上点的坐标特征可得出，将其代入中即可求出结论．
【解答】
解：点在直线上，
，
，
．
故答案为：．  

21.【答案】 

【解析】解：，分别以点，为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点，
点在的角平分线上，
点到轴和轴的距离相等，
又点在第一象限，点的坐标为，
，
．
故答案为：．
根据作图方法可知点在的角平分线上，由角平分线的性质可知点到轴和轴的距离相等，结合点在第一象限，可得关于的方程，求解即可．
本题考查了角平分线的作法及其性质在坐标与图形性质问题中的应用，明确题中的作图方法及角平分线的性质是解题的关键．、
 

22.【答案】 

【解析】解：由题意可知，，，，，，，，

由此可得规律，
为自然数，
，
，
，
，
，
，
点的坐标为，
故答案为：．
根据题意可得规律，为自然数，，，，，，根据规律求解即可．
本题主要考查点的坐标规律，根据题意找出点的坐标的规律是解题的关键．
 

23.【答案】 

【解析】解：如图，过点作交轴于，在直线上截取，过点作于，过点作于，连接．

与轴交于点，与轴变于点，
，，
，，
，
，
，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，，
，
的最小值为，
故答案为．
如图，过点作交轴于，在直线上截取，过点作于，过点作于，连接证明，再根据，求出即可解决问题．
本题考查一次函数的性质，解直角三角形，垂线段最短，矩形的性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题．
 

24.【答案】   

【解析】解：由题意可知：，，
由勾股定理可知：，
，，
，，
故答案为：，；




；
由题意可知：，



．
根据勾股定理可求出的长度，从而可求出与的值．
根据完全平方公式即可求出答案．
先求出的值，然后根据完全平方公式即可求出答案．
本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用勾股定理以及整式的运算法则，本题属于中等题型．
 

25.【答案】解：令得：，
．

令得：，解得：，
．
．
在中，；
设点的纵坐标为，则，
解得或，
点坐标为或；
，
，
设，则．
在中，，即，解得：，
．
设的解析式为，将代入得：，解得：，
直线的解析式为． 

【解析】先求得点和点的坐标，则可得到、的长，然后依据勾股定理可求得的长；
根据三角形的面积公式可得答案；
依据翻折的性质可得到的长，于是可求得的长，从而可得到点的坐标，设，则，中，依据勾股定理可求得的值，从而可得到点，然后利用待定系数法求解即可．
本题主要考查的是一次函数的综合应用，解答本题主要应用了翻折的性质、勾股定理、待定系数法求函数解析式，依据勾股定理列出关于的方程是解题的关键．
 

26.【答案】证明：，
，
即．
在与中，
，
≌，
；

解：如图中，连接，

垂直平分
，
，
是等边三角形，
，
≌，
，，
，，
；

解：结论：．
理由：如图，过作，且，连接，则四边形是平行四边形，

，
设，，
则，
，，，
，
，
在和中，
，
≌，
，
而，
． 

【解析】求出，再利用“边角边”证明和全等，再根据全等三角形对应边相等即可得证；
连接，先求出是等边三角形，再根据全等三角形对应边相等可得，全等三角形对应角相等可得，然后求出，再利用勾股定理列式进行计算即可得解；
过作，且，连接，先求出四边形是平行四边形，根据平行四边形对边相等可得，设，，根据平行四边形的邻角互补与等腰三角形的性质求出，从而得到，然后利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，然后利用勾股定理列式计算即可得解．
本题考属于三角形综合题，查了勾股定理，全等三角形的判定与性质，线段的垂直平分线的性质，等边三角形的判定与性质等知识，作辅助线构造出全等三角形与直角三角形是解题的关键．