天津第二耀华中学2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷(含答案)

2022-2023学年天津第二耀华中学九年级（上）期中数学试卷

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 下列四个图形分别是四届国际数学家大会的会标，其中属于中心对称图形的有(    )
    

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

2. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标为(    )

A.  B.  C.  D.

3. 函数的图象与轴的交点坐标为(    )

A.  B.  C.  D.

4. 已知一元二次方程，下列判断正确的是(    )

A. 该方程有两个相等的实数根 B. 该方程有两个不相等的实数根
C. 该方程无实数根 D. 该方程根的情况不确定

5. 某校初三年级举行班级篮球友谊赛，每两个班都要进行一场比赛，张老师告诉小丽总共要进行场比赛，小丽想通过列方程求出参与比赛的班级数．设参与比赛的班级有个，则所列方程正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

6. 如图，四边形是的内接四边形，的半径为，，则的度数(    )

A.
B.
C.
D.

7. 抛物线与轴两交点间的距离是(    )

A.  B.  C.  D.

8. 二次函数的图象可以由二次函数的图象平移而得到，下列平移正确的是(    )

A. 先向左平移个单位，再向上平移个单位
B. 先向左平移个单位，再向下平移个单位
C. 先向右平移个单位，再向上平移个单位
D. 先向右平移个单位，再向下平移个单位

9. 如图，将等边三角形放在平面直角坐标系中，点坐标，将绕点逆时针旋转，则旋转后点的对应点的坐标为(    )

A.  B.  C.  D.

10. 如图，将绕点顺时针旋转得，点的对应点恰好落在延长线上，连接下列结论一定正确的是(    )
     

A.  B.  C.  D.

11. 已知二次函数，其中，，是方程的两个根，则实数、、、的大小关系是(    )

A.  B.  C.  D.

12. 已知抛物线是常数，与轴的一个交点为，，其对称轴是直线有下列结论：；；．
    其中，正确结论的个数是(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

13. 若关于的一元二次方程的一个根是，则另一个根是______．
14. 如图，在半径为的中，，则弦的长度为______．

15. 已知点，，都在二次函数的图象上，则、、的大小关系是______．
16. 某一型号飞机着陆后滑行的距离单位：与滑行时间单位：之间的函数关系式是，该型号飞机着陆后滑行 ________才能停下来．
17. 如图，是半圆的直径，点在半圆上，，，是弧上的一个动点，连接，过点作于连接，在点移动的过程中，的最小值是______．
18. 如图，正方形和正方形的边长分别为和，点，分别在边，上，为的中点，连接，则的长为______．

三、解答题（本大题共7小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19. 本小题分
    解方程：
    ；
    ．
20. 本小题分
    在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为，，．
    Ⅰ请在图中作出关于原点对称的，并写出各顶点的坐标；
    Ⅱ求的面积．

21. 本小题分
    如图，点，，，都在半径为的上，若，，
    问：求的度数；
    求弦的长．

22. 本小题分
    某水果超市经销一种高档水果，售价每千克元．
    Ⅰ若连续两次降价后每千克元，且每次下降的百分率相同，求每次下降的百分率；
    Ⅱ若按现售价销售，每千克盈利元，每天可售出千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，超市决定采取适当的涨价措施，但超市规定每千克涨价不能超过元，若每千克涨价元，日销售量将减少千克．现该超市希望每天盈利元，那么每千克应涨价多少元？
    Ⅲ在Ⅱ的基础上，利用函数关系式求出每千克水果涨价多少元时，超市每天可获得最利润？最大利润是多少？
23. 本小题分
    已知是的直径，是的切线，，交于点，是上一点，延长交于点．
    如图，求和的大小；
    如图，当时，求的大小．
     
24. 本小题分
    在平面直角坐标系中，已知为坐标原点，点，，以点为旋转中心，把顺时针旋转，得．
    Ⅰ如图，当旋转后满足轴时，求点的坐标．
    Ⅱ如图，当旋转后点恰好落在轴正半轴上时，求点的坐标．
    Ⅲ在Ⅱ的条件下，边上的一点旋转后的对应点为，当取得最小值时，求点的坐标直接写出结果即可
     
25. 本小题分
    已知抛物线是常数经过点．
    求该抛物线的解析式和顶点坐标；
    为抛物线上的一个动点，关于原点的对称点为．
    当点落在该抛物线上时，求的值；
    当点落在第二象限内，取得最小值时，求的值．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：第一个图形是中心对称图形，
第二个图形不是中心对称图形，
第三个图形是中心对称图形，
第四个图形不是中心对称图形，
所以，中心对称图有个．
故选：．
根据中心对称的概念对各图形分析判断即可得解．
本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后两部分重合．
 

2.【答案】 

【解析】解：点关于原点对称的点的坐标为．
故选：．
直接利用关于原点对称点的性质得出答案．
此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确掌握横纵坐标的符号关系是解题关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：当时，，
函数的图象与轴的交点坐标为．
故选：．
代入求出值，此题得解．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，牢记图象上点的坐标都满足函数关系式是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查一元二次方程根的判别式，判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式的值的符号就可以了．
总结：一元二次方程根的情况与判别式的关系：方程有两个不相等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程没有实数根．
【解答】
解：，，，
，
方程有两个不相等的实数根．
故选：．  

5.【答案】 

【解析】解：设邀请个队，每个队都要赛场，但两队之间只有一场比赛，
由题意得，，
故选：．
赛制为单循环形式每两队之间都赛一场，个球队比赛总场数，由此可得出方程．
本题考查了由实际问题抽象一元二次方程的知识，解决本题的关键是读懂题意，得到总场数与球队之间的关系．
 

6.【答案】 

【解析】解：连接，，
为圆内接四边形，，
，
与都对，
，
故选C
连接，，由圆内接四边形对角互补求出的度数，再利用圆周角定理求出所求角度数即可．
此题考查了圆内接四边形的性质，以及圆周角定理，熟练掌握圆内接四边形的性质是解本题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：当时，，
解得，
，．
与轴的交点坐标为，．
则抛物线与轴两交点间的距离为．
故选A．
求出抛物线与轴的交点坐标，即可根据坐标求出两点间的距离．
本题考查了抛物线与轴的交点，令，将函数转化为关于的一元二次方程是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：根据题意，按照“左加右减，上加下减”的规律，它可以由二次函数先向左平移个单位，再向下平移个单位得到．
故选B．
把二次函数化为顶点坐标式，再观察它是怎样通过二次函数的图象平移而得到．
此题不仅考查了对平移的理解，同时考查了学生将一般式转化顶点式的能力．
 

9.【答案】 

【解析】解：如图，故点作于，设交轴于．

，
，
是等边三角形，，
，，
，
，，
，
，
，
，
，关于轴对称，
，
故选：．
如图，故点作于，设交轴于求出点的坐标，证明，关于轴对称，即可解决问题．
本题考查坐标与图形的性质，旋转变换，轴对称，等边三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
 

10.【答案】 

【解析】

【分析】
由旋转的性质得到，，推出是等边三角形，得到，于是得到结论．
本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，平行线的判定，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
【解答】
解：绕点顺时针旋转得，

，，
是等边三角形，
，
，
，
故选：．  

11.【答案】 

【解析】解：二次函数相当于向上平移一个单位，
又二次项系数为，开口向下，如图所示：

由图可得：．
故选：．
函数与轴的交点坐标的横坐标为与，二次函数相当于向上平移一个单位，可以画函数，由函数图象即可求得答案．
此题考查了二次函数与轴的交点坐标问题与函数的平移的性质．解此题的关键是注意数形结合思想的应用，画出函数草图，由函数图象直观形象地得出结论，避免了繁琐复杂的计算．
 

12.【答案】 

【解析】解：抛物线是常数，与轴的一个交点为，，其对称轴是直线，
，
对称轴直线，
，
，
故正确；
当时，，，
，即，
故正确；
，
，
当时，，，
，
故正确．
故选：．
由抛物线的开口向下，对称轴为直线，与轴的一个交点为，，即可判断，，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断即可．
本题考查了二次函数的图象与系数的关系，关键是对二次函数性质的掌握和运用．
 

13.【答案】 

【解析】解：关于的一元二次方程的一个根是，
，
解得：，
则关于的一元二次方程为：，
解得：，，
故答案为：．
首先利用方程解得意义得出的值，进而解方程得出即可．
此题主要考查了一元二次方程的解，正确得出的值是解题关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：作于，
则，
，，
，
，
由勾股定理得，，
，
故答案为：．
作，根据垂径定理得到，根据直角三角形的性质求出，根据勾股定理求出，得到答案．
本题考查的是垂径定理、圆心角、弧、弦的关系定理，正确作出辅助性、灵活运用定理是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：明确二次函数图象上点的坐标满足其解析式．方法一：分别计算出自变量为，和时的函数值，然后比较函数值的大小即可．方法二：根据二次函数图象上的点，满足横坐标离对称轴越远，纵坐标越大，比较横坐标与的差的绝对值的大小，即可得纵坐标的大小关系．
【解答】
解：方法一：把，，分别代入，得：
，，，
，
所以．
故答案为．
方法二：二次函数，
对称轴为，在对称轴左侧随的增大而减小，在对称轴右侧，随的增大而增大．
故二次函数图象上的点，满足横坐标离越远，纵坐标越大．
，，，
，
所以．
故答案为．  

16.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了二次函数的应用，运用二次函数求最值问题常用公式法或配方法得出是解题关键．
根据飞机从滑行到停止的路程就是滑行的最大路程，即是求函数的最大值．
【解答】
解：，
函数有最大值．
，
即飞机着陆后滑行米才能停止．
故答案为：．  

17.【答案】 

【解析】解：连接，取的中点，连接，
，
点在以为圆心，为半径的圆上，
当、、三点共线时，最小，
是直径，
，
，，
，，
在中，，
，
故答案为：．
连接，取的中点，连接，由题可知点在以为圆心，为半径的圆上，当、、三点共线时，最小；求出，在中，，所以，即为所求．
本题考查点的运动轨迹；能够根据点的运动情况，确定点的运动轨迹是解题的关键．
 

18.【答案】 

【解析】解：如图，

延长，相交于，
四边形和四边形是正方形，
，
，，
点是的中点，
，
≌，
，，
，，
根据勾股定理得，，
，
故答案为．
延长，相交于，先证明≌，进而求出，，最后用勾股定理即可得出结论．
本题考查了勾股定理、全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线构造直角三角形是关键．
 

19.【答案】解：方程整理，得：，
，，，
，
则，
即，；

，
，
则或，
解得，． 

【解析】整理为一般式，再利用公式法求解即可；
利用因式分解法求解即可．
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
 

20.【答案】解：Ⅰ如图，为所作；，，；

Ⅱ的面积． 

【解析】Ⅰ利用关于原点对称的点的坐标特征写出、、的坐标，然后描点即可；
Ⅱ用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算的面积．
本题考查了作图旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
 

21.【答案】解：如图，
于，
，，
；
在中，，
，
． 

【解析】由于，先根据垂径定理得到，，再利用圆周角定理得到；
在中利用含度的直角三角形三边的关系求出，从而得到的长．
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理．
 

22.【答案】解：Ⅰ设每次下降的百分率为，
根据题意得：，
解得：，不合题意舍去，
答：平均下降的百分率为；
Ⅱ设每千克应涨价元，由题意，得
，
整理，得，
解得：或，
超市规定每千克涨价不能超过元，
，
答：该超要保证每天盈利元，那么每千克应涨价元；
Ⅲ设超市每天可获得利润为元，
则

，
，
当时，有最大值，最大值为，
答：当每千克水果涨价元时，超市每天可获得最大利润，最大利润是元． 

【解析】Ⅰ设每次降价的百分率为，为两次降价的百分率，降至就是方程的平衡条件，列出方程求解即可；
Ⅱ设每千克应涨价元，根据获得利润等于元列出方程，解方程，再根据，求出的值即可；
Ⅲ根据题意列出关于上涨价格的二次函数解析式，然后将其配方成顶点式，最后根据二次函数的性质可得其最值情况．
此题主要考查了二次函数以及一元二次方程的应用，根据等量关系写出方程和函数解析式是解题关键．
 

23.【答案】解：如图，连接，

是切线，是的直径，
，即，
，
，
由是的直径，得，
，
；
如图，连接，

在中，，，
，
，
，
，
，
． 

【解析】本题考查了圆的切线、圆周角定理、等腰三角形的性质、三角形的内角和，熟练掌握切线的性质是关键，注意运用同弧所对的圆周角相等．
根据切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径，得，根据三角形内角和得的度数，由直径所对的圆周角是直角和同弧所对的圆周角相等得的度数；
如图，连接，根据等边对等角得：，利用同圆的半径相等知：，同理，由此可得结论．
 

24.【答案】解：如图中，作轴于．

，，
，
四边形是矩形，
，，
，
．

如图中，作于．

在中，，，
，
，
，
，
，
如图中，连接、，作点关于轴的对称点，连接交轴于，连接．

由题意，
，
根据两点之间线段最短，可知当点与点重合时，的值最小．
，，
直线的解析式为，
点坐标 

【解析】本题考查了旋转的基本性质，轴对称最短路径问题，矩形的判定与性质，勾股定理，两点之间线段最短等知识，解题的关键是会利用两点之间线段最短解决最短路径问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考压轴题．
如图中，作轴于只要证明四边形是矩形，利用矩形的性质即可解决问题；
如图中，作于在中，求出、即可解决问题；
如图中，连接、，作点关于轴的对称点，连接交轴于，连接由题意，推出，根据两点之间线段最短，可知当点与点重合时，的值最小．只要求出直线的解析式即可解决问题；
 

25.【答案】解：
抛物线经过点，
，解得，
抛物线解析式为，
，
抛物线顶点坐标为；

由在抛物线上可得，
点与关于原点对称，
，
点落在抛物线上，
，即，
，解得或；
由题意可知在第二象限，
，，即，，
抛物线的顶点坐标为，
，
在抛物线上，
，
，
，，
；
当时，有最小值，
，解得或，
，
不合题意，舍去，
的值为． 

【解析】把点坐标代入抛物线解析式可求得的值，则可求得抛物线解析式，进一步可求得其顶点坐标；
由对称可表示出点的坐标，再由和都在抛物线上，可得到关于的方程，可求得的值；由点在第二象限，可求得的取值范围，用表示出，再由点在抛物线上，可以消去，整理可得到关于的二次函数，利用二次函数的性质可求得其取得最小值时的值，则可求得的值．
本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、中心对称、二次函数的性质、勾股定理、方程思想等知识．在中注意待定系数法的应用，在中求得点的坐标，得到关于的方程是解题的关键，在中用表示出是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．